СВОЙСТВА РАВЕНСТВА - МАТЕМАТИКА - 2026

В свойстве равенства относится к отношениям между двумя математическими объектами, являются ли они числами или переменными. Он обозначается знаком «=», который всегда находится между этими двумя объектами. Это выражение используется, чтобы установить, что два математических объекта представляют один и тот же объект; другими словами, два объекта - это одно и то же.

Есть случаи, когда использовать равенство тривиально. Например, ясно, что 2 = 2. Однако, когда дело доходит до переменных, это уже нетривиально и имеет конкретное применение. Например, если у нас есть y = x, а с другой стороны x = 7, мы можем сделать вывод, что y = 7.

Приведенный выше пример основан на одном из свойств равенства, как вы вскоре увидите. Эти свойства необходимы для решения уравнений (равенств с переменными), которые составляют очень важную часть математики.

Каковы свойства равенства?

Отражающее свойство

Рефлексивное свойство в случае равенства гласит, что каждое число равно самому себе и выражается как b = b для любого действительного числа b.

В частном случае равенства это свойство кажется очевидным, но в других типах отношений между числами это не так. Другими словами, не все отношения действительных чисел соответствуют этому свойству. Например, такой случай отношения «меньше чем» (<); нет числа меньше, чем он сам.

Симметричное свойство

Симметричное свойство равенства говорит, что если a = b, то b = a. Независимо от того, какой порядок используется в переменных, он будет сохранен отношением равенства.

Определенная аналогия этого свойства с коммутативностью наблюдается в случае сложения. Например, благодаря этому свойству это эквивалентно записи y = 4 или 4 = y.

Переходная собственность

Транзитивное свойство равенства гласит, что если a = b и b = c, то a = c. Например, 2 + 7 = 9 и 9 = 6 + 3; следовательно, по транзитивному свойству 2 + 7 = 6 + 3.

Вот простое приложение: предположим, что Джулиану 14 лет, а Марио того же возраста, что и Роза. Если Роза того же возраста, что и Хулиан, сколько лет Марио?

За этим сценарием дважды используется транзитивное свойство. Математически это интерпретируется следующим образом: пусть «a» будет возрастом Марио, «b» - возрастом Розы, а «c» - возрастом Джулиана. Известно, что b = c и c = 14.

По транзитивности имеем b = 14; то есть Розе 14 лет. Поскольку a = b и b = 14, снова используя транзитивное свойство, получаем, что a = 14; то есть возраст Марио тоже 14 лет.

Единая собственность

Единообразное свойство состоит в том, что если обе части равенства складываются или умножаются на одинаковую величину, равенство сохраняется. Например, если 2 = 2, то 2 + 3 = 2 + 3, что ясно, поскольку 5 = 5. Это свойство наиболее полезно при решении уравнения.

Например, предположим, что вас попросили решить уравнение x-2 = 1. Удобно помнить, что решение уравнения состоит из явного определения задействованной переменной (или переменных) на основе определенного числа или ранее указанной переменной.

Возвращаясь к уравнению x-2 = 1, вам нужно явно определить, сколько стоит x. Для этого необходимо очистить переменную.

Было ошибочно учено, что в этом случае, поскольку число 2 отрицательно, оно переходит в другую сторону равенства с положительным знаком. Но так говорить некорректно.

По сути, вы применяете свойство uniform, как мы увидим ниже. Идея состоит в том, чтобы очистить «x»; то есть оставьте его в покое на одной стороне уравнения. Обычно его оставляют слева.

Для этого нужно «исключить» число -2. Это можно сделать, добавив 2, поскольку -2 + 2 = 0 и x + 0 = 0. Чтобы сделать это без изменения равенства, ту же операцию нужно применить к другой стороне.

Это позволяет нам реализовать свойство uniform: поскольку x-2 = 1, если число 2 добавлено с обеих сторон равенства, свойство uniform означает, что оно не изменяется. Тогда у нас есть x-2 + 2 = 1 + 2, что эквивалентно тому, что x = 3. Таким образом, уравнение будет решено.

Точно так же, если вы хотите решить уравнение (1/5) y-1 = 9, вы можете продолжить использование свойства uniform следующим образом:

В более общем плане можно сделать следующие утверждения:

- Если ab = cb, то a = c.

- Если xb = y, то x = y + b.

- Если (1 / a) z = b, то z = a ×

- Если (1 / c) a = (1 / c) b, то a = b.

Свойство отмены

Свойство отмены является частным случаем универсального свойства, особенно с учетом случая вычитания и деления (которые, в основном, также соответствуют сложению и умножению). Это свойство рассматривает этот случай отдельно.

Например, если 7 + 2 = 9, то 7 = 9-2. Или, если 2y = 6, то y = 3 (деление на два с обеих сторон).

Аналогично предыдущему случаю, следующие утверждения могут быть установлены через свойство отмены:

- Если a + b = c + b, то a = c.

- Если x + b = y, то x = yb.

- Если az = b, то z = b / a.

- Если ca = cb, то a = b.

Замещающая собственность

Если нам известно значение математического объекта, свойство подстановки утверждает, что это значение можно подставить в любое уравнение или выражение. Например, если b = 5 и a = bx, то подставляя значение «b» во второе равенство, мы получаем, что a = 5x.

Другой пример: если «m» делит «n», а также «n» делит «m», то мы должны иметь, что m = n.

Действительно, утверждение, что «m» делит «n» (или, что то же самое, «m» является делителем «n»), означает, что деление m ÷ n является точным; то есть деление «m» на «n» дает целое число, а не десятичное. Это можно выразить, сказав, что существует целое число «k» такое, что m = k × n.

Поскольку «n» также делит «m», тогда существует целое число «p» такое, что n = p × m. Благодаря свойству подстановки мы имеем, что n = p × k × n, и для этого есть две возможности: n = 0, и в этом случае мы будем иметь тождество 0 = 0; op × k = 1, следовательно, тождество n = n.

Предположим, что «n» ненулевое. Тогда обязательно p × k = 1; следовательно, p = 1 и k = 1. Снова используя свойство подстановки, подставляя k = 1 в равенство m = k × n (или, что то же самое, p = 1 в n = p × m), мы наконец получаем, что m = n, что мы и хотели доказать.

Власть собственности в равенстве

Как и ранее, было замечено, что если операция, такая как сложение, умножение, вычитание или деление, выполняется в обоих терминах равенства, она сохраняется, точно так же могут применяться другие операции, которые не изменяют равенство.

Главное - всегда выполнять это по обе стороны от равенства и заранее быть уверенным, что операция может быть выполнена. Таков случай наделения полномочиями; то есть, если обе части уравнения возведены в одну и ту же степень, мы все равно имеем равенство.

Например, поскольку 3 = 3, поэтому 3 ² = 3 ² (9 = 9). В общем случае, если задано целое число «n», если x = y, то x ⁿ = y ⁿ .

Корневое свойство в равенстве

Это частный случай наделения полномочиями и применяется, когда степень является нецелым рациональным числом, таким как ½, которое представляет собой квадратный корень. Это свойство указывает, что если один и тот же корень применяется к обеим сторонам равенства (когда это возможно), равенство сохраняется.

В отличие от предыдущего случая, здесь необходимо проявлять осторожность с четностью применяемого корня, поскольку хорошо известно, что четный корень отрицательного числа не определен должным образом.

В том случае, если радикал четный, проблем нет. Например, если x ³ = -8, даже если это равенство, вы не можете, например, применить квадратный корень к обеим сторонам. Однако, если вы можете применить кубический корень (что еще более удобно, если вы хотите явно знать значение x), получив, таким образом, x = -2.

Ссылки

1. Эйлвин, CU (2011). Логика, множества и числа. Мерида - Венесуэла: Совет по публикациям, Университет Лос-Андес.
2. Хименес, Дж., Рофригес, М., и Эстрада, Р. (2005). Математика 1 сен. Порог.
3. Лира, ML (1994). Симон и математика: учебник по математике для второго класса: учебник. Андрес Белло.
4. Прециадо, Коннектикут (2005). Курс математики 3-й. Редакция Прогресо.
5. Сеговия, BR (2012). Математические задания и игры с Мигелем и Лусией. Бальдомеро Рубио Сеговия.
6. Торал К. и Прециадо М. (1985). 2-й курс математики. Редакция Прогресо.