ГЕКСАГОНАЛЬНАЯ ПИРАМИДА: ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ХАРАКТЕРИСТИКА И ПРИМЕРЫ - МАТЕМАТИКА - 2025

Шестиугольная пирамида представляет собой многогранник , образованный шестиугольник, который является базой, и шесть треугольников , которые начинаются от вершины шестиугольника и пересекаются в точке вне плоскости, содержащее основание. Эта точка параллелизма известна как вершина или вершина пирамиды.

Многогранник - это замкнутое трехмерное геометрическое тело, грани которого представляют собой плоские фигуры. Шестиугольник - это замкнутая плоская фигура (многоугольник), состоящая из шести сторон. Если все шесть сторон имеют одинаковую длину и образуют равные углы, это называется правильным; в противном случае это нерегулярно.

Определение

Шестиугольная пирамида состоит из семи граней, основания и шести боковых треугольников, из которых только основание не касается вершины.

Пирамида называется прямой, если все боковые треугольники равнобедренные. В этом случае высота пирамиды - это отрезок, идущий от вершины к центру шестиугольника.

В общем, высота пирамиды - это расстояние между вершиной и плоскостью основания. Пирамида называется наклонной, если не все боковые треугольники равнобедренные.

Если шестиугольник правильный и пирамида также прямая, то говорят, что это правильная шестиугольная пирамида. Точно так же, если шестиугольник неправильный или пирамида наклонная, говорят, что это неправильная шестиугольная пирамида.

характеристики

Вогнутый или выпуклый

Многоугольник является выпуклым, если размер всех внутренних углов меньше 180 градусов. С геометрической точки зрения это равносильно утверждению, что при наличии пары точек внутри многоугольника соединяющий их отрезок линии содержится в многоугольнике. В противном случае многоугольник называется вогнутым.

Если шестиугольник выпуклый, пирамида называется выпуклой шестиугольной пирамидой. В противном случае это будет вогнутая шестиугольная пирамида.

Края

Края пирамиды - это стороны шести составляющих ее треугольников.

Апофема

Апофема пирамиды - это расстояние между вершиной и сторонами основания пирамиды. Это определение имеет смысл только в том случае, если пирамида является правильной, потому что, если она нерегулярна, это расстояние зависит от рассматриваемого треугольника.

Напротив, в правильных пирамидах апофема будет соответствовать высоте каждого треугольника (поскольку каждый из них равнобедренный) и будет одинаковой для всех треугольников.

Апофема основания - это расстояние между одной из сторон основания и центром основания. Судя по определению, апофема основания также имеет смысл только в правильных пирамидах.

Обозначения

Высота гексагональной пирамиды обозначается буквой h , апофема основания (в обычном случае) - APb, а апофема пирамиды (также в обычном случае) - AP .

Характерной чертой правильных шестиугольных пирамид является то , что h , APb и AP образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой AP и катетами h и APb . По теореме Пифагора AP = √ (h ^ 2 + APb ^ 2).

Изображение выше представляет собой обычную пирамиду.

Как рассчитать площадь? Формулы

Рассмотрим правильную шестиугольную пирамиду. Пусть A будет мерой каждой стороны шестиугольника. Тогда A соответствует размеру основания каждого треугольника пирамиды и, следовательно, краям основания.

Площадь многоугольника - это произведение периметра (суммы сторон) и апофемы основания, разделенное на два. В случае шестиугольника это будет 3 * A * APb.

Видно, что площадь правильной шестиугольной пирамиды в шесть раз больше площади каждого треугольника пирамиды плюс площадь основания. Как упоминалось ранее, высота каждого треугольника соответствует апофеме пирамиды AP.

Следовательно, площадь каждого треугольника в пирамиде равна A * AP / 2. Таким образом, площадь правильной шестиугольной пирамиды равна 3 * A * (APb + AP), где A - край основания, APb - апофема основания, а AP - апофема пирамиды.

Расчет в неправильных шестиугольных пирамидах

В случае неправильной шестиугольной пирамиды нет прямой формулы для вычисления площади, как в предыдущем случае. Это потому, что каждый треугольник в пирамиде будет иметь разную площадь.

В этом случае площадь каждого треугольника нужно рассчитывать отдельно и площадь основания. Тогда площадь пирамиды будет суммой всех ранее рассчитанных площадей.

Как рассчитать объем? Формулы

Объем пирамиды правильной шестиугольной формы равен произведению высоты пирамиды и площади основания, разделенных на три. Таким образом, объем правильной шестиугольной пирамиды определяется как A * APb * h, где A - край основания, APb - апофема основания, а h - высота пирамиды.

Расчет в неправильных шестиугольных пирамидах

Аналогично площади, в случае неправильной шестиугольной пирамиды нет прямой формулы для вычисления объема, поскольку края основания не имеют одинаковых размеров, потому что это неправильный многоугольник.

В этом случае площадь основания необходимо рассчитать отдельно, а объем будет (h * Площадь основания) / 3.

пример

Найдите площадь и объем правильной шестиугольной пирамиды высотой 3 см, основание которой представляет собой правильный шестиугольник с шириной 2 см с каждой стороны и апофемой основания 4 см.

Решение

Сначала необходимо рассчитать апофему пирамиды (AP), которая является единственными недостающими данными. Глядя на изображение выше, можно увидеть, что высота пирамиды (3 см) и апофема основания (4 см) образуют прямоугольный треугольник; Поэтому для вычисления апофемы пирамиды используется теорема Пифагора:

AP = √ (3 ^ 2 + 9 ^ 2) = √ (25) = 5.

Таким образом, используя формулу, написанную выше, следует, что площадь равна 3 * 2 * (4 + 5) = 54см ^ 2.

С другой стороны, используя формулу объема, получается, что объем данной пирамиды равен 2 * 4 * 3 = 24см ^ 3.

Ссылки

1. Биллштейн, Р., Либескинд, С., и Лотт, Дж. У. (2013). Математика: подход к решению проблем для учителей начальной школы. Редакторы Лопеса Матеоса.
2. Фрегосо, Р.С., и Каррера, С.А. (2005). Математика 3. Редакция Прогресо.
3. Галлардо, Г., и Пилар, П.М. (2005). Математика 6. Редакция Прогресо.
4. Гутьеррес, Коннектикут, и Сиснерос, член парламента (2005). 3-й курс математики. Редакция Прогресо.
5. Кинси, Л., и Мур, Т. Е. (2006). Симметрия, форма и пространство: введение в математику через геометрию (иллюстрировано, перепечатано под ред.). Springer Science & Business Media.
6. Митчелл, К. (1999). Ослепительные конструкции математических линий (иллюстрированный ред.). Scholastic Inc.
7. Р., депутат (2005). Рисую 6-й. Редакция Прогресо.