ОДНОМЕРНЫЕ ВОЛНЫ: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ И ПРИМЕРЫ - ФИЗИЧЕСКИЙ - 2026

Одно- мерные волны являются те , которые распространяются только в одном направлении, независимо от того, происходит ли вибрация в том же направлении распространения или нет. Хорошим примером этого является волна, которая проходит через туго натянутую струну, как у гитары.

В поперечной плоской волне частицы колеблются в вертикальном направлении (они поднимаются и падают, см. Красную стрелку на рисунке 1), но это одномерно, поскольку возмущение распространяется только в одном направлении, следуя желтой стрелке.

Рисунок 1: Изображение представляет собой одномерную волну. Обратите внимание, что гребни и впадины образуют линии, параллельные друг другу и перпендикулярные направлению распространения. Источник: самодельный.

Одномерные волны в повседневной жизни появляются довольно часто. В следующем разделе описаны некоторые их примеры, а также не одномерные волны, чтобы четко установить различия.

Примеры одномерных волн и неодномерных волн

Одномерные волны

Вот несколько примеров одномерных волн, которые можно легко наблюдать:

- Звуковой импульс, который проходит через прямую полосу, поскольку это возмущение, которое распространяется по всей длине полосы.

- Волна, которая проходит через канал с водой, даже если водная поверхность перемещается не параллельно каналу.

- Волны, распространяющиеся по поверхности или в трехмерном пространстве, также могут быть одномерными, если их волновые фронты параллельны друг другу и распространяются только в одном направлении.

Неодномерные волны

Пример неодномерной волны можно найти в волнах, которые образуются на поверхности неподвижной воды, когда падает камень. Это двумерная волна с цилиндрическим волновым фронтом.

Рисунок 2. Изображение представляет собой пример того, чем НЕ ЯВЛЯЕТСЯ одномерная волна. Обратите внимание, что гребни и впадины образуют круги, а направление распространения радиально наружу, тогда это круговая двумерная волна. Источник: Pixabay.

Другой пример неодномерной волны - звуковая волна, которую фейерверк генерирует, взрываясь на определенной высоте. Это трехмерная волна со сферическими волновыми фронтами.

Математическое выражение одномерной волны

Наиболее общий способ выразить одномерную волну, которая распространяется без затухания в положительном направлении оси xy со скоростью v, математически выглядит так:

В этом выражении y представляет возмущение в позиции x в момент времени t. Форма волны задается функцией f. Например, волновая функция, показанная на рисунке 1, выглядит следующим образом: y (x, t) = cos (x - vt), а изображение волны соответствует моменту t = 0.

Такая волна, описываемая функцией косинуса или синуса, называется гармонической волной. Хотя это не единственная существующая форма волны, она чрезвычайно важна, потому что любую другую волну можно представить как суперпозицию или сумму гармонических волн. Это хорошо известная теорема Фурье, которая так широко используется для описания сигналов любого типа.

Когда волна движется в отрицательном направлении оси x, просто измените v на -v в аргументе, оставив:

На рисунке 3 показана анимация волны, движущейся влево: это форма, называемая функцией Лоренца, и ее математическое выражение:

В этом примере скорость распространения равна v = 1, - одна единица пространства на каждую единицу времени -.

Рис. 3. Пример лоренцевой волны, бегущей влево со скоростью v = 1. Источник: Подготовлено Ф. Сапатой совместно с Geogebra.

Одномерное волновое уравнение

Волновое уравнение представляет собой уравнение в частных производных, решением которого, конечно же, является волна. Он устанавливает математические отношения между пространственной и временной частью и имеет вид:

Пример работы

Ниже приводится общее выражение y (x, t) для гармонической волны:

а) Опишите физический смысл параметров A, k, ω и θo.

б) Какое значение имеют знаки ± в аргументе косинуса?

c) Убедитесь, что данное выражение действительно является решением волнового уравнения из предыдущего раздела, и найдите скорость v распространения.

Решение для)

Характеристики волны находятся в следующих параметрах:

Вторая производная по t: ∂ ² и / ∂t ² = -ω ² . A ⋅ cos (k ⋅ x ± ω ⋅ t + θo)

Эти результаты подставляются в волновое уравнение:

И A, и косинус упрощены, поскольку они появляются по обе стороны от равенства, а аргумент косинуса тот же, поэтому выражение сводится к:

Это позволяет получить уравнение для v через ω и k:

Ссылки

1. Электронное обучение. Уравнение одномерных гармонических волн. Получено с: e-ducativa.catedu.es
2. Уголок физики. Волновые классы. Получено с: fisicaparatontos.blogspot.com.
3. Фигероа, Д. 2006. Волны и квантовая физика. Серия: Физика для науки и техники. Отредактировал Дуглас Фигероа. Университет Симона Боливара. Каракас Венесуэла.
4. Лаборатория физики Волновое движение. Получено с: fisicalab.com.
5. Пирс, А. Лекция 21: Одномерное волновое уравнение: решение Даламбера. Получено с: ubc.ca.
6. Волновое уравнение. Получено с: en.wikipedia.com