ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА: ОСНОВЫ, ВЕЛИЧИНЫ, ВЕКТОРЫ - МАТЕМАТИКА

Вектор алгебра является раздел математики , который изучает системы линейных уравнений, векторы, матрицы, векторных пространств и линейных преобразований. Это связано с такими областями, как инженерия, решение дифференциальных уравнений, функциональный анализ, исследование операций, компьютерная графика и другие.

Еще одна область, принятая линейной алгеброй, - это физика, поскольку благодаря ей стало возможно развить изучение физических явлений, описывая их с помощью векторов. Это сделало возможным лучшее понимание Вселенной.

основы

Векторная алгебра возникла из изучения кватернионов (расширение действительных чисел) 1, i, j и k, а также из декартовой геометрии, продвигаемой Гиббсом и Хевисайдом, которые поняли, что векторы будут служить инструментом для представляют собой различные физические явления.

Векторная алгебра изучается по трем основным направлениям:

Геометрически

Векторы представлены линиями, имеющими ориентацию, а такие операции, как сложение, вычитание и умножение на действительные числа, определяются с помощью геометрических методов.

Аналитически

Описание векторов и их операций выполняется с помощью чисел, называемых компонентами. Этот тип описания является результатом геометрического представления, поскольку используется система координат.

аксиоматически

Описание векторов производится независимо от системы координат или любого типа геометрического представления.

Изучение фигур в космосе осуществляется через их представление в системе отсчета, которая может быть в одном или нескольких измерениях. Среди основных систем:

- Одномерная система, которая представляет собой прямую линию, где одна точка (O) представляет начало координат, а другая точка (P) определяет масштаб (длину) и ее направление:

- прямоугольная система координат (двумерная), которая состоит из двух перпендикулярных линий, называемых осью x и осью y, которые проходят через точку (O) начала координат; Таким образом, плоскость делится на четыре области, называемые квадрантами. В этом случае точка (P) на плоскости задается расстояниями, которые существуют между осями и P.

- Полярная система координат (двухмерная). В этом случае система состоит из точки O (начало координат), которая называется полюсом, и луча с началом в точке O, называемой полярной осью. В этом случае точка P плоскости относительно полюса и полярной оси задается углом (Ɵ), который образуется расстоянием между началом координат и точкой P.

- Прямоугольная трехмерная система, образованная тремя перпендикулярными линиями (x, y, z), начало которых лежит в точке O в пространстве. Формируются три координатные плоскости: xy, xz и yz; пространство будет разделено на восемь областей, называемых октантами. Ссылка на точку P в пространстве определяется расстояниями, которые существуют между плоскостями и P.

Величины

Величина - это физическая величина, которую можно подсчитать или измерить числовым значением, как в случае некоторых физических явлений; однако во многих случаях необходимо уметь описывать эти явления не числовыми факторами. Поэтому величины делятся на два типа:

Скалярная величина

Это те количества, которые определены и представлены численно; то есть на модуль вместе с единицей измерения. Например:

а) Время: 5 секунд.

б) Масса: 10 кг.

в) Объем: 40 мл.

г) Температура: 40 ºC.

Векторная величина

Это те величины, которые определены и представлены модулем вместе с единицей, а также смыслом и направлением. Например:

а) Скорость: (5ȋ - 3ĵ) м / с.

б) ускорение: 13 м / с ² ; Ю.ш. 45º в. Д.

c) Сила: 280 Н, 120º.

г) Масса: -40 кгс.

Векторные величины графически представлены векторами.

Что такое векторы?

Векторы - это графические представления векторной величины; то есть они представляют собой отрезки линии, конечным концом которых является острие стрелки.

Они определяются его модулем или длиной сегмента, его направлением, которое указывается острием стрелки, и его направлением в соответствии с линией, к которой он принадлежит. Начало вектора также известно как точка приложения.

Элементы вектора следующие:

модуль

Это расстояние от начала координат до конца вектора, представленное действительным числом вместе с единицей. Например:

-OM- = -A- = A = 6 см

Адрес

Это мера угла, который существует между осью x (от положительного значения) и вектором, а также используются стороны света (север, юг, восток и запад).

Смысл

Он задается стрелкой, расположенной в конце вектора, указывающей, куда он идет.

Классификация векторов

Как правило, векторы классифицируются как:

Фиксированный вектор

Это тот, чья точка приложения (происхождение) фиксирована; то есть он остается связанным с точкой в пространстве, поэтому не может двигаться в нем.

Бесплатный вектор

Он может свободно перемещаться в пространстве, потому что его источник перемещается в любую точку, не меняя своего модуля, направления или направления.

Вектор слайдера

Это тот, который может передавать свое происхождение по своей линии действия, не меняя своего модуля, направления или направления.

Свойства векторов

Среди основных свойств векторов можно выделить следующие:

Векторы тимлинзы

Это те свободные векторы, которые имеют одинаковый модуль, направление (или они параллельны) и смысл как скользящий вектор или фиксированный вектор.

Эквивалентные векторы

Это происходит, когда два вектора имеют одинаковое направление (или параллельны), одно и то же значение и, несмотря на разные модули и точки приложения, вызывают одинаковые эффекты.

Векторное равенство

Они имеют одинаковый модуль, направление и смысл, даже если их начальные точки различны, что позволяет параллельному вектору перемещаться, не влияя на него.

Противоположные векторы

Это те, которые имеют одинаковый модуль и направление, но их смысл противоположен.

Единичный вектор

Это тот, в котором модуль равен единице (1). Это получается путем деления вектора на его модуль и используется для определения направления и смысла вектора, либо в плоскости, либо в пространстве, с использованием базовых или нормализованных единичных векторов, а именно:

Нулевой вектор

Это тот, модуль которого равен 0; то есть его начало и конец совпадают в одной и той же точке.

Компоненты вектора

Компоненты вектора - это значения проекций вектора на оси системы отсчета; В зависимости от разложения вектора, который может быть на двух или трехмерной оси, будут получены две или три составляющие соответственно.

Компоненты вектора - действительные числа, которые могут быть положительными, отрицательными или даже нулевыми (0).

Таким образом, если у нас есть вектор Ā с началом в прямоугольной системе координат в плоскости xy (двумерной), проекция на ось x равна Āx, а проекция на ось y - Āy. Таким образом, вектор будет выражен как сумма составляющих его векторов.

Примеры

Первый пример

У нас есть вектор Ā, который начинается из начала координат и даны координаты его концов. Таким образом, вектор Ā = (Ā _x , A _y ) = (4, 5) см.

Если вектор Ā действует в начале трехмерной треугольной системы координат (в пространстве) x, y, z, вплоть до другой точки (P), проекции на его оси будут x, Āy и Āz; таким образом, вектор будет выражен как сумма трех составляющих его векторов.

Второй пример

У нас есть вектор Ā, который начинается из начала координат и даны координаты его концов. Таким образом, вектор Ā = (A _x , A _y, A _z ) = (4, 6, -3) см.

Векторы, имеющие прямоугольные координаты, могут быть выражены через их базовые векторы. Для этого каждая координата должна быть умножена только на соответствующий ей единичный вектор таким образом, чтобы для плоскости и пространства они были следующими:

Для плоскости: Ā = A _x i + A _y j.

Для пространства: Ā = A _x i + A _y j + A _z k.

Векторные операции

Есть много величин, у которых есть модуль, смысл и направление, например, ускорение, скорость, смещение, сила.

Они применяются в различных областях науки, и для их применения в некоторых случаях необходимо выполнять такие операции, как сложение, вычитание, умножение и деление векторов и скаляров.

сложение и вычитание векторов

Сложение и вычитание векторов считается одной алгебраической операцией, потому что вычитание можно записать в виде суммы; например, вычитание векторов Ā и Ē может быть выражено как:

Ā - Ē = Ā + (-Ē)

Существуют разные методы сложения и вычитания векторов: они могут быть графическими или аналитическими.

Графические методы

Используется, когда у вектора есть модуль, направление и направление. Для этого рисуются линии, образующие фигуру, которая в дальнейшем помогает определить результат. Среди наиболее известных можно выделить следующие:

Метод параллелограмма

Чтобы произвести сложение или вычитание двух векторов, на координатной оси выбирается общая точка, которая будет представлять точку происхождения векторов, с сохранением ее модуля, направления и направления.

Затем линии проводят параллельно векторам, образуя параллелограмм. Результирующий вектор - это диагональ, идущая от исходной точки обоих векторов до вершины параллелограмма:

Метод треугольника

В этом методе векторы располагаются один за другим, сохраняя их модули, направления и направления. Результирующий вектор будет объединением начала первого вектора с концом второго вектора:

аналитические методы

Два или более вектора могут быть добавлены или вычтены геометрическим или векторным методом:

Геометрический метод

Когда два вектора образуют треугольник или параллелограмм, m) .push ({});

- Скалярное распределительное свойство: если вектор умножается на сумму двух скаляров, он равен умножению вектора для каждого скаляра.

Умножение векторов

Умножение или произведение векторов может быть выполнено как сложение или вычитание, но такое выполнение теряет физический смысл и почти никогда не встречается в приложениях. По этой причине наиболее часто используемые типы произведений - это скалярное и векторное произведение.

Скалярное произведение

Он также известен как скалярное произведение двух векторов. Когда модули двух векторов умножаются на косинус наименьшего угла, образованного между ними, получается скаляр. Чтобы выразить скалярное произведение между двумя векторами, между ними помещается точка, которую можно определить как:

Значение угла, который существует между двумя векторами, будет зависеть от того, параллельны они или перпендикулярны; таким образом, вам необходимо:

- Если векторы параллельны и имеют одинаковый смысл, косинус 0º = 1.

- Если векторы параллельны и имеют противоположные направления, косинус 180º = -1.

- Если векторы перпендикулярны, косинус 90º = 0.

Этот угол также можно рассчитать, зная, что:

Скалярное произведение имеет следующие свойства:

- Коммутативность: порядок векторов не изменяет скаляр.

-Дистрибутивное свойство: если скаляр умножается на сумму двух векторов, он равен умножению скаляра для каждого вектора.

Векторный продукт

Умножение векторов или перекрестное произведение двух векторов A и B приведет к новому вектору C и выражается с помощью скрещивания векторов:

У нового вектора будут свои особенности. Туда:

- Направление: этот новый вектор будет перпендикулярен плоскости, которая определяется исходными векторами.

- Направление: определяется правилом правой руки, где вектор A вращается в сторону B, указывая направление вращения пальцами, а направление вектора отмечается большим пальцем.

- Модуль: он определяется умножением модулей векторов AxB на синус наименьшего угла, который существует между этими векторами. Выражается:

Значение угла, который существует между двумя векторами, будет зависеть от того, параллельны они или перпендикулярны. Итак, можно констатировать следующее:

- Если векторы параллельны и имеют одинаковый смысл, синус 0º = 0.

- Если векторы параллельны и имеют противоположные направления, синус 180º = 0.

- Если векторы перпендикулярны, синус 90º = 1.

Когда векторное произведение выражается через его базовые векторы, мы имеем: