ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ЧИСЛА: ЧТО ЭТО ТАКОЕ, ФОРМУЛЫ, ПРИМЕРЫ, УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2026

Эти цифры трансцендентные являются те , которые не могут быть получены , как в результате полиномиального уравнения. Противоположностью трансцендентному числу является алгебраическое число, которое является решением полиномиального уравнения типа:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + …… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀ = 0

Где коэффициенты a _n , a _n-1 ,… .. a ₂ , a ₁ , a ₀ являются рациональными числами, называемыми коэффициентами полинома. Если число x является решением предыдущего уравнения, то это число не трансцендентно.

Рисунок 1. Два числа, имеющих большое значение для науки, - это превосходные числа. Источник: publicdomainpictures.net.

Мы проанализируем несколько чисел и посмотрим, трансцендентны они или нет:

а) 3 не является трансцендентным, потому что это решение x - 3 = 0.

б) -2 не может быть трансцендентным, потому что это решение x + 2 = 0.

в) ⅓ является решением 3x - 1 = 0

г) Решение уравнения x ² - 2x + 1 = 0 есть √2 -1, так что это число по определению не трансцендентно.

e) Также нет √2, потому что это результат уравнения x ² - 2 = 0. Возведение √2 в квадрат дает результат 2, который вычитается из 2, равен нулю. Итак, √2 - иррациональное число, но не трансцендентное.

Что такое трансцендентные числа?

Проблема в том, что не существует общего правила для их получения (мы скажем способ их получить позже), но некоторые из самых известных - это число пи и число Непера, обозначаемые соответственно: π и e.

Число π

Число π появляется естественным образом, если учесть, что математическое частное между периметром P круга и его диаметром D, независимо от того, маленький ли он или большой круг, всегда дает одно и то же число, называемое пи:

π = P / D ≈ 3,14159 ……

Это означает, что если за единицу измерения взять диаметр окружности, для всех из них, большого или малого, периметр всегда будет P = 3,14… = π, как можно увидеть на анимации на рисунке 2.

Рис. 2. Длина периметра круга равна длине диаметра в пи, умноженной на длину диаметра, причем число пи составляет приблизительно 3,1416.

Чтобы определить больше десятичных знаков, необходимо измерить P и D с большей точностью, а затем вычислить частное, что было сделано математически. Вывод состоит в том, что десятичные дроби частного не имеют конца и никогда не повторяются, поэтому число π, помимо того, что оно трансцендентно, также иррационально.

Иррациональное число - это число, которое нельзя выразить как деление двух целых чисел.

Известно, что каждое трансцендентное число иррационально, но неверно, что все иррациональные числа трансцендентны. Например, √2 иррационально, но не трансцендентно.

Рисунок 3. Трансцендентные числа иррациональны, но обратное неверно.

Число е

Трансцендентное число e является основанием натуральных логарифмов, а его десятичное приближение:

и ≈ 2,718281828459045235360….

Если бы вы хотели записать число е точно, необходимо было бы записать бесконечное количество десятичных знаков, потому что каждое трансцендентное число иррационально, как говорилось ранее.

Первые десять цифр е легко запомнить:

2,7 1828 1828, и хотя кажется, что он следует повторяющейся схеме, это не достигается в десятичных дробях порядка более девяти.

Более формальное определение e выглядит следующим образом:

Это означает, что точное значение e получается путем выполнения операции, указанной в этой формуле, когда натуральное число n стремится к бесконечности.

Это объясняет, почему мы можем получить только приближения к e, поскольку независимо от того, насколько велико число n, всегда можно найти большее n.

Давайте поищем несколько приближений самостоятельно:

-Когда n = 100, тогда (1 + 1/100) ¹⁰⁰ = 2,70481, что едва ли совпадает в первом десятичном знаке с «истинным» значением e.

-Если вы выберете n = 10,000, у вас будет (1 + 1 / 10,000) ^10,000 = 2,71815, что совпадает с «точным» значением e в первых трех десятичных разрядах.

Этому процессу нужно было бы следовать бесконечно, чтобы получить «истинное» значение e. Не думаю, что у нас есть на это время, но давайте попробуем еще раз:

Возьмем n = 100 000:

(1 + 1/100 000) ^{100 000} = 2,7182682372

У этого есть только четыре десятичных разряда, которые соответствуют значению, которое считается точным.

Важно понимать, что чем выше значение n, выбранное для вычисления e _n , тем ближе оно будет к истинному значению. Но это истинное значение будет иметь место только тогда, когда n бесконечно.

Рисунок 4. Графически показано, как чем выше значение n, тем ближе к e, но для получения точного значения n должно быть бесконечным.

Другие важные цифры

Помимо этих знаменитых чисел есть и другие превосходные числа, например:

- 2 ^√2

-Число Чамперноу в базе 10:

C_10 = 0,123456789101112131415161718192021….

-Число Шамперноу в базе 2:

C_2 = 0,1101110010110111….

-Гамма-число γ или постоянная Эйлера-Маскерони:

γ ≈ 0,577 215 664 901 532 860 606

Что получается в результате следующего расчета:

γ ≈ 1 + ½ + ⅓ + ¼ +… + 1 / n - ln (n)

Когда n очень-очень большое. Чтобы получить точное значение гамма-числа, необходимо выполнить расчет с бесконечностью n. Нечто похожее на то, что мы сделали выше.

И есть еще много запредельных чисел. Великий математик Георг Кантор, родившийся в России и живший между 1845 и 1918 годами, показал, что набор трансцендентных чисел намного больше, чем набор алгебраических чисел.

Формулы, в которых появляется трансцендентное число π

Периметр окружности

P = π D = 2 π R, где P - периметр, D - диаметр, а R - радиус окружности. Следует помнить, что:

-Диаметр окружности - это самый длинный сегмент, который соединяет две одинаковые точки и всегда проходит через его центр,

-Радиус составляет половину диаметра и представляет собой отрезок, идущий от центра к краю.

Площадь круга

А = π R ² = ¼ π D ²

Поверхность сферы

S = 4 π R ^2.

Да, хотя это может показаться не так, но поверхность сферы такая же, как у четырех кругов того же радиуса, что и сфера.

Объем сферы

V = 4/3 π R ³

упражнения

- Упражнение 1

В пиццерии «EXÓTICA» продаются пиццы трех диаметров: маленькие 30 см, средние 37 см и большие 45 см. Мальчик очень проголодался и понял, что две маленькие пиццы стоят столько же, сколько одна большая. Что для него будет лучше: две маленькие пиццы или одну большую?

Рисунок 5.- Площадь пиццы пропорциональна квадрату радиуса, пи - коэффициент пропорциональности. Источник: Pixabay.

Решение

Чем больше площадь, тем больше будет пиццы, по этой причине рассчитывается площадь большой пиццы и сравнивается с площадью двух маленьких пицц:

Площадь большой пиццы = ¼ π D ² = ¼ ⋅3,1416⋅45 ² = 1590,44 см ²

Площадь маленькой пиццы = ¼ π d ² = ¼ ⋅3,1416⋅30 ² = 706,86 см ²

Таким образом, две маленькие пиццы будут иметь площадь

2 х 706,86 = 1413,72 см ² .

Понятно: у вас будет больше пиццы, купив одну большую, чем две маленькие.

- Упражнение 2.

В пиццерии "EXÓTICA" также продается пицца с полусферическим резервуаром радиусом 30 см по той же цене, что и пицца прямоугольной формы размером 30 x 40 см с каждой стороны. Какой бы вы выбрали?

Рисунок 6.- Поверхность полусферы в два раза больше круглой поверхности основания. Источник: Ф. Сапата.

Решение

Как упоминалось в предыдущем разделе, площадь сферы в четыре раза больше, чем у круга того же диаметра, поэтому полусфера диаметром 30 см будет иметь:

Пицца с полусферическим резервуаром 30 см: 1413,72 см ² (два круга одинакового диаметра)

Прямоугольная пицца: (30 см) x (40 см) = 1200 см ² .

Пицца с полусферическим резервуаром имеет большую площадь.

Ссылки

1. Фернандес Х. Число e. Происхождение и курьезы. Получено с: soymatematicas.com
2. Наслаждайтесь математикой. Число Эйлера. Получено с: Enjoyylasmatematicas.com.
3. Фигера, Дж. 2000. Математика 1-й. Диверсифицированный. CO-BO редакции.
4. Гарсия, М. Число е в элементарном исчислении. Получено с: matematica.ciens.ucv.ve.
5. Wikipedia. PI-номер. Получено с: wikipedia.com
6. Wikipedia. Превосходные числа. Получено с: wikipedia.com