- Что такое трансцендентные числа?
- Число π
- Число е
- Формулы, в которых появляется трансцендентное число π
- Периметр окружности
- Площадь круга
- Поверхность сферы
- Объем сферы
- упражнения
- - Упражнение 1
- Решение
- - Упражнение 2.
- Решение
- Ссылки
Эти цифры трансцендентные являются те , которые не могут быть получены , как в результате полиномиального уравнения. Противоположностью трансцендентному числу является алгебраическое число, которое является решением полиномиального уравнения типа:
a n x n + a n-1 x n-1 + …… + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0
Где коэффициенты a n , a n-1 ,… .. a 2 , a 1 , a 0 являются рациональными числами, называемыми коэффициентами полинома. Если число x является решением предыдущего уравнения, то это число не трансцендентно.

Рисунок 1. Два числа, имеющих большое значение для науки, - это превосходные числа. Источник: publicdomainpictures.net.
Мы проанализируем несколько чисел и посмотрим, трансцендентны они или нет:
а) 3 не является трансцендентным, потому что это решение x - 3 = 0.
б) -2 не может быть трансцендентным, потому что это решение x + 2 = 0.
в) ⅓ является решением 3x - 1 = 0
г) Решение уравнения x 2 - 2x + 1 = 0 есть √2 -1, так что это число по определению не трансцендентно.
e) Также нет √2, потому что это результат уравнения x 2 - 2 = 0. Возведение √2 в квадрат дает результат 2, который вычитается из 2, равен нулю. Итак, √2 - иррациональное число, но не трансцендентное.
Что такое трансцендентные числа?
Проблема в том, что не существует общего правила для их получения (мы скажем способ их получить позже), но некоторые из самых известных - это число пи и число Непера, обозначаемые соответственно: π и e.
Число π
Число π появляется естественным образом, если учесть, что математическое частное между периметром P круга и его диаметром D, независимо от того, маленький ли он или большой круг, всегда дает одно и то же число, называемое пи:
π = P / D ≈ 3,14159 ……
Это означает, что если за единицу измерения взять диаметр окружности, для всех из них, большого или малого, периметр всегда будет P = 3,14… = π, как можно увидеть на анимации на рисунке 2.

Рис. 2. Длина периметра круга равна длине диаметра в пи, умноженной на длину диаметра, причем число пи составляет приблизительно 3,1416.
Чтобы определить больше десятичных знаков, необходимо измерить P и D с большей точностью, а затем вычислить частное, что было сделано математически. Вывод состоит в том, что десятичные дроби частного не имеют конца и никогда не повторяются, поэтому число π, помимо того, что оно трансцендентно, также иррационально.
Иррациональное число - это число, которое нельзя выразить как деление двух целых чисел.
Известно, что каждое трансцендентное число иррационально, но неверно, что все иррациональные числа трансцендентны. Например, √2 иррационально, но не трансцендентно.

Рисунок 3. Трансцендентные числа иррациональны, но обратное неверно.
Число е
Трансцендентное число e является основанием натуральных логарифмов, а его десятичное приближение:
и ≈ 2,718281828459045235360….
Если бы вы хотели записать число е точно, необходимо было бы записать бесконечное количество десятичных знаков, потому что каждое трансцендентное число иррационально, как говорилось ранее.
Первые десять цифр е легко запомнить:
2,7 1828 1828, и хотя кажется, что он следует повторяющейся схеме, это не достигается в десятичных дробях порядка более девяти.
Более формальное определение e выглядит следующим образом:

Это означает, что точное значение e получается путем выполнения операции, указанной в этой формуле, когда натуральное число n стремится к бесконечности.
Это объясняет, почему мы можем получить только приближения к e, поскольку независимо от того, насколько велико число n, всегда можно найти большее n.
Давайте поищем несколько приближений самостоятельно:
-Когда n = 100, тогда (1 + 1/100) 100 = 2,70481, что едва ли совпадает в первом десятичном знаке с «истинным» значением e.
-Если вы выберете n = 10,000, у вас будет (1 + 1 / 10,000) 10,000 = 2,71815, что совпадает с «точным» значением e в первых трех десятичных разрядах.
Этому процессу нужно было бы следовать бесконечно, чтобы получить «истинное» значение e. Не думаю, что у нас есть на это время, но давайте попробуем еще раз:
Возьмем n = 100 000:
(1 + 1/100 000) 100 000 = 2,7182682372
У этого есть только четыре десятичных разряда, которые соответствуют значению, которое считается точным.
Важно понимать, что чем выше значение n, выбранное для вычисления e n , тем ближе оно будет к истинному значению. Но это истинное значение будет иметь место только тогда, когда n бесконечно.

Рисунок 4. Графически показано, как чем выше значение n, тем ближе к e, но для получения точного значения n должно быть бесконечным.
Другие важные цифры
Помимо этих знаменитых чисел есть и другие превосходные числа, например:
- 2 √2
-Число Чамперноу в базе 10:
C_10 = 0,123456789101112131415161718192021….
-Число Шамперноу в базе 2:
C_2 = 0,1101110010110111….
-Гамма-число γ или постоянная Эйлера-Маскерони:
γ ≈ 0,577 215 664 901 532 860 606
Что получается в результате следующего расчета:
γ ≈ 1 + ½ + ⅓ + ¼ +… + 1 / n - ln (n)
Когда n очень-очень большое. Чтобы получить точное значение гамма-числа, необходимо выполнить расчет с бесконечностью n. Нечто похожее на то, что мы сделали выше.
И есть еще много запредельных чисел. Великий математик Георг Кантор, родившийся в России и живший между 1845 и 1918 годами, показал, что набор трансцендентных чисел намного больше, чем набор алгебраических чисел.
Формулы, в которых появляется трансцендентное число π
Периметр окружности
P = π D = 2 π R, где P - периметр, D - диаметр, а R - радиус окружности. Следует помнить, что:
-Диаметр окружности - это самый длинный сегмент, который соединяет две одинаковые точки и всегда проходит через его центр,
-Радиус составляет половину диаметра и представляет собой отрезок, идущий от центра к краю.
Площадь круга
А = π R 2 = ¼ π D 2
Поверхность сферы
S = 4 π R 2.
Да, хотя это может показаться не так, но поверхность сферы такая же, как у четырех кругов того же радиуса, что и сфера.
Объем сферы
V = 4/3 π R 3
упражнения
- Упражнение 1
В пиццерии «EXÓTICA» продаются пиццы трех диаметров: маленькие 30 см, средние 37 см и большие 45 см. Мальчик очень проголодался и понял, что две маленькие пиццы стоят столько же, сколько одна большая. Что для него будет лучше: две маленькие пиццы или одну большую?

Рисунок 5.- Площадь пиццы пропорциональна квадрату радиуса, пи - коэффициент пропорциональности. Источник: Pixabay.
Решение
Чем больше площадь, тем больше будет пиццы, по этой причине рассчитывается площадь большой пиццы и сравнивается с площадью двух маленьких пицц:
Площадь большой пиццы = ¼ π D 2 = ¼ ⋅3,1416⋅45 2 = 1590,44 см 2
Площадь маленькой пиццы = ¼ π d 2 = ¼ ⋅3,1416⋅30 2 = 706,86 см 2
Таким образом, две маленькие пиццы будут иметь площадь
2 х 706,86 = 1413,72 см 2 .
Понятно: у вас будет больше пиццы, купив одну большую, чем две маленькие.
- Упражнение 2.
В пиццерии "EXÓTICA" также продается пицца с полусферическим резервуаром радиусом 30 см по той же цене, что и пицца прямоугольной формы размером 30 x 40 см с каждой стороны. Какой бы вы выбрали?

Рисунок 6.- Поверхность полусферы в два раза больше круглой поверхности основания. Источник: Ф. Сапата.
Решение
Как упоминалось в предыдущем разделе, площадь сферы в четыре раза больше, чем у круга того же диаметра, поэтому полусфера диаметром 30 см будет иметь:
Пицца с полусферическим резервуаром 30 см: 1413,72 см 2 (два круга одинакового диаметра)
Прямоугольная пицца: (30 см) x (40 см) = 1200 см 2 .
Пицца с полусферическим резервуаром имеет большую площадь.
Ссылки
- Фернандес Х. Число e. Происхождение и курьезы. Получено с: soymatematicas.com
- Наслаждайтесь математикой. Число Эйлера. Получено с: Enjoyylasmatematicas.com.
- Фигера, Дж. 2000. Математика 1-й. Диверсифицированный. CO-BO редакции.
- Гарсия, М. Число е в элементарном исчислении. Получено с: matematica.ciens.ucv.ve.
- Wikipedia. PI-номер. Получено с: wikipedia.com
- Wikipedia. Превосходные числа. Получено с: wikipedia.com
