РЕАЛЬНЫЕ ЧИСЛА: ИСТОРИЯ, ПРИМЕРЫ, СВОЙСТВА, ОПЕРАЦИИ - МАТЕМАТИКА - 2026

В действительных числах представляют собой числовой набор , который включает в себя натуральные числа, целых числа, рациональные и иррациональные. Они обозначаются символом ℝ или просто R, и их область применения в науке, технике и экономике такова, что, говоря о «числе», почти само собой разумеющимся считается, что это действительное число.

Реальные числа использовались с древних времен, хотя такого названия им не давали. С тех пор, как Пифагор разработал свою знаменитую теорему, появились числа, которые нельзя было получить как частные натуральных или целых чисел.

Рисунок 1. Диаграмма Венна, показывающая, как набор действительных чисел содержит другие наборы чисел. Источник> Wikimedia Commons.

Примеры чисел: √2, √3 и π. Эти числа называются иррациональными, в отличие от рациональных чисел, которые происходят от частных целых чисел. Поэтому был необходим числовой набор, охватывающий оба класса чисел.

Термин «действительное число» был придуман великим математиком Рене Декартом (1596-1650), чтобы различать два вида корней, которые могут возникнуть в результате решения полиномиального уравнения.

Некоторые из этих корней могут быть даже корнями отрицательных чисел, Декарт называл эти «мнимыми числами», а те, которые не были, были действительными числами.

Номинал сохранялся с течением времени, что привело к появлению двух больших числовых наборов: действительных чисел и комплексных чисел, большего набора, который включает действительные числа, мнимые числа и те, которые частично являются действительными и частично мнимыми.

Эволюция действительных чисел продолжалась, пока в 1872 году математик Ричард Дедекинд (1831-1936) формально не определил множество действительных чисел с помощью так называемых дедекиндовских разрезов. Обобщение его работ было опубликовано в статье, увидевшей свет в том же году.

Примеры реальных чисел

В таблице ниже приведены примеры действительных чисел. Этот набор имеет как подмножества натуральные числа, целые числа, рациональное и иррациональное. Любое количество этих наборов само по себе является действительным числом.

Следовательно, 0, отрицательные, положительные, дробные и десятичные дроби являются действительными числами.

Рисунок 2. Примеры действительных чисел: натуральные, целые, рациональные, иррациональные и трансцендентные. Источник: Ф. Сапата.

Представление действительных чисел на реальной линии

Действительные числа могут быть представлены на действительной прямой R , как показано на рисунке. Необязательно, чтобы всегда присутствовал 0, однако удобно знать, что отрицательные действительные числа находятся слева, а положительные - справа. Вот почему это отличный ориентир.

На прямой берется шкала, в которой находятся целые числа:… 3, -2, -1, 1, 2, 3…. Стрелка указывает на то, что линия продолжается до бесконечности. Но это еще не все, в любом рассматриваемом интервале мы также всегда найдем бесконечные действительные числа.

Действительные числа представлены по порядку. Во-первых, есть порядок целых чисел, в котором положительные всегда больше 0, а отрицательные - меньше.

Этот порядок выдерживается в реальных числах. В качестве примера показаны следующие неравенства:

а) -1/2 <√2

б) e <π

в) π> -1/2

Рисунок 3.- Реальная линия. Источник: Wikimedia Commons.

Свойства действительных чисел

-Реальные числа включают натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа.

- Выполняется коммутативность сложения: порядок слагаемых не меняет суммы. Если a и b - два действительных числа, всегда верно следующее:

а + Ь = Ь + а

-0 - нейтральный элемент суммы: a + 0 = a

-Для суммы выполнено ассоциативное свойство. Если a, b и c - действительные числа: (a + b) + c = a + (b + c).

-Апротивоположность действительному числу -a.

-Вычитание определяется как сумма противоположного: a - b = a + (-b).

-Коммутативность продукта выполняется: порядок факторов не меняет продукт: ab = ba

-В изделии также применяется ассоциативное свойство: (ab) .c = a. (Bc)

- 1 - нейтральный элемент умножения: a.1 = a

-Дистрибутивное свойство умножения действительно в отношении сложения: a. (b + c) = ab + ac

-Разделение на 0 не определено.

-Любое действительное число a, кроме 0, имеет мультипликативный обратный к ^-1 , так что aa ^-1 = 1.

-Если a - действительное число: a ⁰ = 1 и a ¹ = a.

-Абсолютное значение или модуль действительного числа - это расстояние между указанным числом и 0.

Операции с действительными числами

С действительными числами вы можете выполнять операции, которые выполняются с другими наборами чисел, включая сложение, вычитание, умножение, деление, расширение прав и возможностей, излучение, логарифмы и многое другое.

Как всегда, деление на 0 не определено, как и логарифмы отрицательных чисел или 0, хотя верно, что log 1 = 0 и что логарифмы чисел от 0 до 1 отрицательны.

Приложения

Применение действительных чисел во всех ситуациях чрезвычайно разнообразно. Действительные числа появляются как ответы на многие проблемы точных наук, информатики, инженерии, экономики и социальных наук.

Все виды величин и величин, такие как расстояния, время, силы, интенсивность звука, деньги и многое другое, выражаются в реальных числах.

Передачей телефонных сигналов, изображения и звука видео, температурой кондиционера, обогревателя или холодильника можно управлять в цифровом виде, что означает преобразование физических величин в числовые последовательности.

То же самое происходит при совершении банковских транзакций через Интернет или при использовании мгновенных сообщений. Реальные числа везде.

Упражнение решено

С помощью упражнений мы увидим, как эти числа работают в обычных ситуациях, с которыми мы сталкиваемся ежедневно.

Упражнение 1

Почтовое отделение принимает только посылки, длина которых плюс размер обхвата не превышает 108 дюймов. Следовательно, для того, чтобы отображаемый пакет был принят, необходимо, чтобы:

L + 2 (х + у) ≤ 108

а) Пройдет ли упаковка шириной 6 дюймов, высотой 8 дюймов и длиной 5 футов?

б) А что насчет того, который имеет размеры 2 x 2 x 4 фута ³ ?

c) Какая максимальная допустимая высота для упаковки с квадратным основанием размером 9 x 9 дюймов ² ?

отвечать на

L = 5 футов = 60 дюймов

x = 6 дюймов

y = 8 дюймов

Решаемая операция:

L + 2 (x + y) = 60 + 2 (6 + 8) дюймов = 60 + 2 x 14 дюймов = 60 + 28 дюймов = 88 дюймов

Посылка принята.

Ответ б

Размеры этого пакета меньше, чем у пакета a), поэтому они оба проходят.

Ответ c

В этом пакете:

x = L = 9 дюймов

Необходимо отметить, что:

9+ 2 (9 + y) ≤ 108

27 + 2лет ≤ 108

2лет ≤ 81

и ≤ 40,5 дюймов

Ссылки

1. Карена, М. 2019. Учебное пособие по довузовской математике. Национальный университет Литорала.
2. Диего, А. Действительные числа и их свойства. Получено с: matematica.uns.edu.ar.
3. Фигера, Дж. 2000. Математика 9-е. Степень. CO-BO редакции.
4. Хименес, Р. 2008. Алгебра. Прентис Холл.
5. Стюарт, Дж. 2006. Precalculus: математика для исчисления. 5-е. Издание. Cengage Learning.