ПРОСТЫЕ ЧИСЛА: ХАРАКТЕРИСТИКИ, ПРИМЕРЫ, УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2026

В простых числах , называемые также простых абсолютные, являются теми натуральными числами , которые только делятся сам по себе и 1. Этой категория номер , как 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 и множество плюс.

Вместо этого составное число делится само на себя, на 1 и как минимум на одно другое число. У нас есть, например, 12, которое делится на 1, 2, 4, 6 и 12. По соглашению 1 не включается в список простых чисел или в список составных чисел.

Рисунок 1. Некоторые простые числа. Источник: Wikimedia Commons.

Знание простых чисел восходит к древним временам; древние египтяне уже использовали их, и они наверняка были известны задолго до этого.

Эти числа очень важны, поскольку любое натуральное число может быть представлено произведением простых чисел, причем это представление уникально, за исключением порядка множителей.

Этот факт полностью установлен в теореме, называемой Фундаментальной теоремой арифметики, которая утверждает, что числа, которые не являются простыми, обязательно состоят из произведений чисел, которые есть.

Характеристики простых чисел

Вот основные характеристики простых чисел:

-Они бесконечны, так как независимо от того, насколько велико простое число, вы всегда можете найти большее.

-Если простое число p не делит в точности другое число a, то говорят, что p и a простые числа друг для друга. Когда это происходит, единственный общий делитель, который есть у обоих, равен 1.

Необязательно, чтобы а было абсолютным простым числом. Например, 5 является простым числом, а 12 - нет, оба числа являются простыми по отношению друг к другу, поскольку оба имеют 1 в качестве общего делителя.

-Когда простое число p делит степень числа n, оно также делит n. Давайте рассмотрим 100, что является степенью 10, а именно 10 ² . Бывает, что 2 делит и 100, и 10.

-Все простые числа нечетные, за исключением 2, поэтому его последняя цифра 1, 3, 7 или 9. 5 не включается, потому что, хотя оно нечетное и простое, оно никогда не является последней цифрой другого простого числа. На самом деле все числа, оканчивающиеся на 5, кратны этому, и поэтому они не простые.

-Если p является простым делителем произведения двух чисел ab, то p делит одно из них. Например, простое число 3 делит произведение 9 x 11 = 99, так как 3 делится на 9.

Как узнать, простое ли число

Первобытность - это название, данное качеству быть первостепенным. Французский математик Пьер де Ферма (1601-1665) нашел способ проверить простоту числа в так называемой малой теореме Ферма, которая гласит:

«Учитывая простое натуральное число p и любое натуральное число a больше 0, верно, что ^p - a делится на p, пока p простое».

Мы можем подтвердить это с помощью небольших чисел, например, предположим, что p = 4, которое, как мы уже знаем, не является простым и уже = 6:

6 ⁴ - 6 = 1296 - 6 = 1290

Число 1290 не делится на 4 в точности, поэтому 4 не является простым числом.

Давайте теперь проведем тест с p = 5, которое простое, и ya = 6:

6 ⁵ - 6 = 7766 - 6 = 7760

7760 делится на 5, так как любое число, заканчивающееся на 0 или 5, равно. Фактически 7760/5 = 1554. Поскольку малая теорема Ферма верна, мы можем гарантировать, что 5 - простое число.

Доказательство с помощью теоремы является эффективным и прямым с небольшими числами, в которых операцию легко выполнить, но что делать, если нас просят выяснить простоту большого числа?

В этом случае число последовательно делится между всеми меньшими простыми числами, пока не будет найдено точное деление или пока частное не станет меньше делителя.

Если какое-либо деление точное, это означает, что число составное, а если частное меньше делителя, это означает, что число простое. Мы применим это на практике в решенном упражнении 2.

Способы найти простое число

Простых чисел бесконечно много, и нет единой формулы для их определения. Однако, глядя на некоторые простые числа, подобные этим:

3, 7, 31, 127 …

Замечено, что они имеют вид 2 ⁿ - 1, при n = 2, 3, 5, 7, 9 … Убедимся в этом:

2 ² - 1 = 4 - 1 = 3 ; 2 ³ - 1 = 8 - 1 = 7 ; 2 ⁵ - 1 = 32 - 1 = 31 ; 2 ⁷ - 1 = 128 - 1 = 127

Но мы не можем гарантировать, что в общем случае 2 ⁿ - 1 будет простым, потому что есть некоторые значения n, для которых это не работает, например 4:

2 ⁴ - 1 = 16 - 1 = 15

И число 15 не является простым, так как оно заканчивается на 5. Однако одно из самых больших известных простых чисел, найденное компьютерными вычислениями, имеет форму 2 ⁿ - 1 с:

n = 57 885 161

Формула Мерсенна убеждает нас, что 2 ^p - 1 всегда простое число, если p тоже простое число. Например, 31 простое число, поэтому очевидно, что 2 ³¹ - 1 также простое число :

2 ³¹ - 1 = 2 147 483 647

Однако формула позволяет определять только некоторые простые числа, а не все.

Формула Эйлера

Следующий многочлен позволяет находить простые числа при условии, что n находится в диапазоне от 0 до 39:

П (п) = п ² + п + 41

Далее в разделе решенных упражнений будет пример его использования.

Сито Эратосфена

Эратосфен был физиком и математиком из Древней Греции, жившим в 3 веке до нашей эры. Он изобрел графический метод нахождения простых чисел, который мы можем применить на практике с малыми числами, он называется сито Эратосфена (сито похоже на сито).

-Цифры помещаются в таблицу, как показано в анимации.

-Четные числа затем вычеркиваются, за исключением 2, которая, как мы знаем, является простой. Все остальные кратны этому и поэтому не являются простыми.

- Также отмечены числа, кратные 3, 5, 7 и 11, за исключением всех, потому что мы знаем, что они простые.

- Кратные 4, 6, 8, 9 и 10 уже отмечены, потому что они составные и, следовательно, кратные некоторым из указанных простых чисел.

-Наконец, числа, которые не помечены, являются простыми.

Рис. 2. Анимация сита Эратосфена. Источник: Wikimedia Commons.

упражнения

- Упражнение 1

Используя многочлен Эйлера для простых чисел, найдите 3 числа больше 100.

Решение

Это полином, который Эйлер предложил для поиска простых чисел, который работает для значений n от 0 до 39.

П (п) = п ² + п + 41

Методом проб и ошибок выбираем значение n, например n = 8:

П (8) = 8 ² + 8 + 41 = 113

Поскольку n = 8 дает простое число больше 100, мы вычисляем многочлен для n = 9 и n = 10:

П (9) = 9 ² + 9 + 41 = 131

П (10) = 10 ² + 10 + 41 = 151

- Упражнение 2.

Узнайте, простые ли следующие числа:

а) 13

б) 191

Решение для

Число 13 достаточно мало, чтобы использовать маленькую теорему Ферма и помощь калькулятора.

Мы используем a = 2, чтобы числа не были слишком большими, хотя также можно использовать a = 3, 4 или 5:

2 ¹³ - 2 = 8190

8190 делится на 2, так как оно четное, поэтому 13 простое число. Читатель может подтвердить это, выполнив тот же тест с a = 3.

Решение б

191 слишком велик, чтобы его можно было доказать с помощью теоремы и обычного калькулятора, но мы можем найти деление между каждым простым числом. Мы опускаем деление на 2, потому что 191 не является четным, и деление не будет точным или частное будет меньше 2.

Пробуем разделить на 3:

191/3 = 63 666 …

И он не дает точного, и частное не меньше делителя (63 666… больше 3)

Таким образом, мы продолжаем пытаться разделить 191 между простыми числами 5, 7, 11, 13, и не достигается ни точное деление, ни частное, меньшее делителя. Пока он не разделится на 17:

191/17 = 11, 2352 …

Поскольку оно неточно и 11,2352… меньше 17, число 191 простое.

Ссылки

1. Балдор, А. 1986. Арифметика. Издания и распространения Кодекса.
2. Прието, С. Простые числа. Получено с: paginas.matem.unam.mx.
3. Свойства простых чисел. Получено с: mae.ufl.edu.
4. Smartick. Простые числа: как найти их с помощью сита Эратосфена. Получено с: smartick.es.
5. Wikipedia. Простое число. Получено с: es.wikipedia.org.