ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА: СВОЙСТВА, ПРИМЕРЫ, УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2026

Эти числа представляют собой набор полезных номеров для подсчета объектов полных имущих и нет. Также для подсчета тех, кто находится по одну и другую сторону от определенного места ссылки.

Также с целыми числами вы можете выполнять вычитание или разность между числом и другим большим, например, результатом погашения как долга. Различия между доходами и долгами обозначаются знаками + и - соответственно.

Рисунок 1. Числовая строка для целых чисел. Источник: Wikimedia Commons. Leomg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Таким образом, в набор целых чисел входят:

-Положительные целые числа, перед которыми стоит знак + или просто без знака, поскольку также подразумевается, что они положительные. Например: +1, +2, + 3… и так далее.

- 0, в котором знак не имеет значения, так как не имеет значения добавлять его, чтобы вычесть его из некоторой величины. Но 0 очень важен, так как это ссылка для целых чисел: с одной стороны положительные, а с другой - отрицательные, как мы видим на рисунке 1.

-Отрицательные целые числа, перед которыми всегда должен стоять знак -, поскольку с ними различаются суммы, такие как долги, и все те, которые находятся по другую сторону ссылки. Примеры отрицательных целых чисел: -1, -2, -3… и далее.

Как представлены целые числа?

Вначале мы представляем целые числа с заданным обозначением: Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, + 4…}, то есть списки и организовано. Но очень полезным представлением является числовая линия. Для этого нужно нарисовать линию, которая обычно является горизонтальной, на которой отмечен 0 и разделен на идентичные участки:

Рисунок 2. Представление целых чисел на числовой прямой. Справа от 0 положительные целые числа, слева от 0 отрицательные. Источник: Ф. Сапата.

Негативы идут слева от 0, а положительные - справа. Стрелки на числовой прямой означают, что числа уходят в бесконечность. Для любого целого числа всегда можно найти одно большее или меньшее.

Абсолютное значение целого числа

Абсолютное значение целого числа - это расстояние между числом и 0. А расстояния всегда положительны. Следовательно, абсолютное значение отрицательного целого числа - это число без знака минус.

Например, абсолютное значение -5 равно 5. Абсолютное значение обозначается полосами, как показано ниже:

--5- = 5

Чтобы визуализировать это, просто посчитайте пробелы в числовой строке от -5 до 0. Хотя абсолютное значение положительного целого числа - это то же самое число, например - + 3- = 3, поскольку его расстояние от 0 равно с 3 пробелами:

Рис. 3. Абсолютное значение целого числа всегда является положительной величиной. Источник: Ф. Сапата.

свойства

-Набор целых чисел обозначается Z и включает набор натуральных чисел N, элементы которых бесконечны.

-Целое число и то, что следует за ним (или то, что предшествует ему) всегда различаются в единстве. Например, после 5 идет 6, а разница между ними равна 1.

-У каждого целого числа есть предшественник и последователь.

-Любое положительное целое число больше 0.

-Отрицательное целое число всегда меньше 0 и любого положительного числа. Возьмите, например, число -100, оно меньше 2, 10 и 50. Но оно также меньше -10, -20 и -99 и больше -200.

-У 0 не учитывается знак, поскольку он не является ни отрицательным, ни положительным.

-С целыми числами вы можете выполнять те же операции, что и с натуральными числами, а именно: сложение, вычитание, умножение, расширение возможностей и многое другое.

- Целое число напротив некоторого целого числа x равно –x, а сумма целого числа с его противоположностью равна 0:

х + (-х) = 0.

Операции с целыми числами

- Сумма

-Если добавляемые числа имеют одинаковый знак, их абсолютные значения складываются, а результат помещается со знаком, который есть у слагаемых. Вот некоторые примеры:

а) (+8) + (+9) = 8 + 9 = +17

б) (-12) + (- 10) = - (12 + 10) = -22

-Если числа имеют другой знак, абсолютные значения вычитаются (наивысшее из наименьшего), и результат помещается со знаком числа с наибольшим абсолютным значением, как показано ниже:

а) (-8) + (21) = 21 - 8 = 13

б) (-9) + (+4) = - (9-4) = -5

Свойства суммы целых чисел

-Сумма коммутативна, поэтому порядок суммирования не меняет сумму. Пусть a и b - два целых числа, это правда, что a + b = b + a

-0 - нейтральный элемент суммы целых чисел: a + 0 = a

-Любое целое число, добавленное к его противоположности, равно 0. Противоположность + a - –a, и, наоборот, противоположность –a - + a. Следовательно: (+ a) + (-a) = 0.

Рисунок 2. Правило знаков для сложения целых чисел. Источник: Wikimedia Commons.

- Вычитание

Чтобы вычитать целые числа, нужно руководствоваться этим правилом: вычитание равносильно сложению числа с его противоположностью. Пусть a и b - два числа, тогда:

а - b = а + (-b)

Например, предположим, что вам нужно выполнить следующую операцию: (-3) - (+7), затем:

(-3) - (+7) = (-3) + (-7) = - (3 + 7) = -10

- Умножение

Умножение целых чисел происходит по определенным правилам для знаков:

-Произведение двух чисел с одинаковым знаком всегда положительно.

-При умножении двух чисел с разными знаками результат всегда отрицательный.

-Ценность продукта равна умножению на соответствующие абсолютные значения.

Сразу несколько примеров, поясняющих сказанное:

(-5) х (+8) = - 5 х 8 = -40

(-10) х (-12) = 10 х 12 = 120

(+4) х (+32) = 4 х 32 = 128

Свойства умножения целых чисел

-Множение коммутативно. Пусть a и b - два целых числа, верно, что: ab = ba, что также может быть выражено как:

-Нейтральный элемент умножения равен 1. Пусть a - целое число, поэтому a.1 = 1.

-Любое целое число, умноженное на 0, равно 0: a.0 = 0

Распределительная собственность

Умножение соответствует распределительному свойству в отношении сложения. Если a, b и c - целые числа, тогда:

а. (b + c) = ab + ac

Вот пример того, как применить это свойство:

(-3). = (-3). (- 4) + (- 3). 11 = 12-33 = 12 + (-33) = -21

Расширение прав и возможностей

-Если база положительная, результат операции всегда положительный.

-Когда основание отрицательное, если показатель степени четный, результат положительный. а если показатель нечетный, результат отрицательный.

- Дивизия

При делении действуют те же правила знаков, что и при умножении:

-При делении двух целых чисел одного знака результат всегда положительный.

-Когда два целых числа с разными знаками делятся, частное отрицательное.

Например:

(-12) ÷ (-4) = 3

33 ÷ (-3) = -11

Важно : деление не коммутативно, другими словами a ÷ b ≠ b ÷ a и, как всегда, деление на 0 не допускается.

- Расширение возможностей

Пусть a будет целым числом, и мы хотим возвести его в степень n, тогда мы должны умножить a на себя n раз, как показано ниже:

а ^п = аааа… .. .а

Также примите во внимание следующее, учитывая, что n - натуральное число:

-Если a отрицательно, а n четно, результат положительный.

-Когда a отрицательно, а n нечетно, получается отрицательное число.

-Если a положительное, а n четное или нечетное, всегда получается положительное целое число.

-Любое целое число, возведенное в 0, равно 1: a ⁰ = 1

-Любое число, увеличенное до 1, равно числу: a ¹ = a

Скажем, например, что мы хотим найти (–3) ⁴ , для этого мы умножаем (-3) четыре раза на себя, например: (–3). (- 3). (- 3). (- 3) = 81.

Другой пример, также с отрицательным целым числом:

(-2) ³ = (-2). (- 2). (- 2) = -8

Произведение степеней равной базы

Предположим, две степени равного основания, если мы их умножим, мы получим другую степень с тем же основанием, показатель степени которой является суммой данных показателей:

а ^н а ^м = а ^{н + м}

Фактор равных базовых степеней

При делении степеней с одинаковым основанием результатом является степень с тем же основанием, показатель степени которой является вычитанием данных показателей:

а ^н ÷ а ^м = а ^{н - м}

Вот два примера, поясняющих эти моменты:

(-2) ^3. (- 2) ⁵ = (-2) ^{3 + 5} = (-2) ⁸

5 ⁶ ÷ 5 ⁴ = 5 ^6-4 = 5 ²

Примеры

Давайте посмотрим на простые примеры применения этих правил, помня, что в случае положительных целых чисел можно обойтись без знака:

а) (+6) + (+14) = 6 + 14 = 20

б) (-8) + (- 10) = - (8 + 10) = -18

в) (-16) + (+7) = - 16 + 7 = -9

г) (+4) + (-8) + (-25) = + (-25) = -25 = -4-25 = -29

д) (-8) - (+15) = (-8) + (-15) = -8-15 = -23

е) (+3) х (+9) = 3 х 9 = 27

ж) (- 4) х (-11) = 4 х 11 = 44

з) (+5) х (-12) = - 5 х 12 = -60

i) (-2) ³ = (-2) x (-2) x (-2) = - 8

Решенные упражнения

- Упражнение 1

Муравей движется по числовой прямой на рисунке 1. Начиная с точки x = +3, он совершает следующие движения:

-Перемещается на 7 единиц вправо

-Теперь вы возвращаете 5 единиц влево

-Пройдите еще 3 единицы налево.

-Он возвращается и перемещается на 4 единицы вправо.

В какой момент муравей завершает экскурсию?

Решение

Назовем смещения D. Когда они справа, им дается положительный знак, а когда они слева - отрицательный. Таким образом, начиная с x = +3, мы имеем:

-Первый D: x ₁ = +3 + 7 = +10

-Второй D: x ₂ = +10 + (-5) = +5

-Третий D: x ₃ = +5 + (-3) = +2

-Комната D: x ₄ = +2 + 4 = +6

Когда муравей заканчивает свою прогулку, он оказывается в позиции x = +6. То есть на 6 единиц справа от 0 в числовой строке.

- Упражнение 2.

Решите следующую операцию:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]}

Решение

Эта операция содержит знаки группировки, которые представляют собой круглые скобки, квадратные скобки и фигурные скобки. При решении вы должны сначала позаботиться о круглых скобках, затем о скобках и, наконец, о скобках. Другими словами, нужно работать изнутри.

В этом упражнении точка представляет собой умножение, но если между числом и круглой скобкой или другим символом нет точки, это также считается произведением.

Ниже шаг за шагом разрешения цвета служат ориентиром, чтобы проследить результат уменьшения скобок, которые являются самыми внутренними символами группировки:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]} =

= {36 +}. {- + 2 (-2)]} =

= {36 +}. {- 4]} =

= {52}. {1–4]} = {52}. {- 3} = -156

- Упражнение 3

Решите уравнение первой степени:

12 + х = 30 + 3х

Решение

Члены сгруппированы с неизвестными слева от равенства и числовыми членами справа:

х - 3х = 30 - 12

- 2x = 18

х = 18 / (-2)

х = - 9

Ссылки

1. Карена, М. 2019. Учебное пособие по довузовской математике. Национальный университет Литорала.
2. Фигера, Дж. 2000. Математика для 7-го класса. CO-BO редакции.
3. Хоффманн, Дж. 2005. Выбор тем по математике. Публикации Монфорт.
4. Хименес, Р. 2008. Алгебра. Прентис Холл.
5. Целые числа. Получено с: Cimanet.uoc.edu.