- Что такое метод Эйлера?
- Решенные упражнения
- Упражнение 1
- Решение
- Упражнение 2.
- Решение
- Упражнение 3.
- Решение
- Ньютоновская динамика и метод Эйлера
- Упражнение 4.
- Решение
- Предлагаемые упражнения для дома
- Упражнение 1
- Упражнение 2.
- Ссылки
Метод Эйлера - это самая основная и простая процедура, используемая для нахождения численных решений, приближенных к обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка, при условии, что начальное условие известно.
Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) - это уравнение, которое связывает неизвестную функцию одной независимой переменной с ее производными.

Последовательные приближения методом Эйлера. Источник: Олег Александров
Если наибольшая производная, которая появляется в уравнении, имеет степень один, то это обыкновенное дифференциальное уравнение первой степени.
Самый общий способ написать уравнение первой степени:

х = х 0
у = у 0
Что такое метод Эйлера?
Идея метода Эйлера состоит в том, чтобы найти численное решение дифференциального уравнения в интервале между X 0 и X f .
Сначала интервал дискретизируется на n + 1 балл:
x 0 , x 1 , x 2 , x 3 …, x n
Которые получаются так:
x i = x 0 + ih
Где h - ширина или шаг подынтервалов:

С начальным условием также можно узнать производную в начале:
y '(x o ) = f (x o , y o )
Эта производная представляет собой наклон касательной к кривой функции y (x) точно в точке:
Ао = (х о , у о )
Затем делается приблизительный прогноз значения функции y (x) в следующей точке:
у (х 1 ) ≈ у 1
y 1 = y o + (x 1 - x o ) f (x o , y o ) = y o + hf (x o , y o )
Затем была получена следующая приближенная точка решения, которая будет соответствовать:
А 1 = (х 1 , у 1 )
Процедура повторяется для получения последовательных баллов.
A 2 , A 3 …, x n
На рисунке, показанном в начале, синяя кривая представляет точное решение дифференциального уравнения, а красная - последовательные приближенные точки, полученные с помощью процедуры Эйлера.
Решенные упражнения
Упражнение 1
I ) Пусть дифференциальное уравнение имеет вид:

При начальном условии x = a = 0; и a = 1
Используя метод Эйлера, получить приближенное решение y при координате X = b = 0,5, разделив интервал на n = 5 частей.
Решение

Численные результаты резюмируются следующим образом:

Из чего делается вывод, что решение Y для значения 0,5 составляет 1,4851.
Примечание. Для выполнения вычислений использовалась бесплатная программа Smath Studio.
Упражнение 2.
II ) Продолжая работу с дифференциальным уравнением из упражнения I), найдите точное решение и сравните его с результатом, полученным методом Эйлера. Найдите ошибку или разницу между точным и приблизительным результатом.
Решение

Точное решение найти не очень сложно. Производная функции sin (x) известна как функция cos (x). Следовательно, решение y (x) будет:
у (х) = грех х + С
Чтобы начальное условие было выполнено и (0) = 1, константа C должна быть равна 1. Затем точный результат сравнивается с приблизительным:

Сделан вывод, что в расчетном интервале аппроксимация имеет три значащих цифры точности.
Упражнение 3.
III ) Рассмотрим дифференциальное уравнение и его начальные условия, указанные ниже:
у '(х) = - у 2
При начальном условии x 0 = 0; и 0 = 1
Воспользуйтесь методом Эйлера, чтобы найти приближенные значения решения y (x) на интервале x =. Используйте шаг h = 0,1.
Решение
Метод Эйлера очень подходит для использования с электронной таблицей. В этом случае мы будем использовать электронную таблицу геогебры, бесплатную программу с открытым исходным кодом.
В электронной таблице на рисунке показаны три столбца (A, B, C), первый - это переменная x, второй столбец представляет переменную y, а третий столбец - это производная y '.
Строка 2 содержит начальные значения X, Y, Y '.
Шаг значения 0,1 помещен в ячейку абсолютного положения ($ D $ 4).
Начальное значение y0 находится в ячейке B2, а y1 - в ячейке B3. Для вычисления y 1 используется формула:
y 1 = y o + (x 1 - x o ) f (x o , y o ) = y o + hf (x o , y o )
Эта формула электронной таблицы будет иметь вид B3: = B2 + $ D $ 4 * C3.
Точно так же y2 будет в ячейке B4, и его формула показана на следующем рисунке:

На рисунке также показан график точного решения и точки A, B,…, P приближенного решения по методу Эйлера.
Ньютоновская динамика и метод Эйлера
Классическая динамика была разработана Исааком Ньютоном (1643 - 1727). Первоначальная мотивация Леонарда Эйлера (1707–1783) к разработке своего метода заключалась именно в решении уравнения второго закона Ньютона в различных физических ситуациях.
Второй закон Ньютона обычно выражается в виде дифференциального уравнения второй степени:

Где x представляет положение объекта в момент времени t. Указанный объект имеет массу m и на него действует сила F. Функция f связана с силой и массой следующим образом:


Для применения метода Эйлера требуются начальные значения времени t, скорости v и положения x.
В следующей таблице объясняется, как, начиная с начальных значений t1, v1, x1, можно получить приближение скорости v2 и положения x2 в момент t2 = t1 + Δt, где Δt представляет небольшое увеличение и соответствует шагу в методе Эйлер.

Упражнение 4.
IV ) Одна из фундаментальных проблем механики - это проблема блока массы M, привязанного к пружине (или пружине) с постоянной упругостью K.
Второй закон Ньютона для этой проблемы будет выглядеть так:

В этом примере для простоты мы возьмем M = 1 и K = 1. Найти приближенные решения для положения x и скорости v методом Эйлера на временном интервале, разбив интервал на 12 частей.
Возьмите 0 в качестве начального момента, начальную скорость 0 и начальное положение 1.
Решение

Численные результаты представлены в следующей таблице:

Также отображаются графики положения и скорости между временами от 0 до 1,44.


Предлагаемые упражнения для дома
Упражнение 1
Используйте электронную таблицу, чтобы найти приближенное решение с помощью метода Эйлера для дифференциального уравнения:
y '= - Exp (-y) с начальными условиями x = 0, y = -1 в интервале x =
Начните с шага 0,1. Постройте результат.
Упражнение 2.
Используя электронную таблицу, найдите численные решения следующего квадратного уравнения, где y является функцией независимой переменной t.
y '' = - 1 / y² с начальным условием t = 0; и (0) = 0,5; у '(0) = 0
Найдите решение в интервале с шагом 0,05.
Постройте результат: y vs t; y 'vs t
Ссылки
- Метод Эрлера Взято с wikipedia.org
- Решатель Эйлера. Взято с en.smath.com
