МЕТОД ЭЙЛЕРА: ДЛЯ ЧЕГО ОН НУЖЕН, ПОРЯДОК ДЕЙСТВИЙ И УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2026

Метод Эйлера - это самая основная и простая процедура, используемая для нахождения численных решений, приближенных к обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка, при условии, что начальное условие известно.

Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) - это уравнение, которое связывает неизвестную функцию одной независимой переменной с ее производными.

Последовательные приближения методом Эйлера. Источник: Олег Александров

Если наибольшая производная, которая появляется в уравнении, имеет степень один, то это обыкновенное дифференциальное уравнение первой степени.

Самый общий способ написать уравнение первой степени:

х = х ₀

у = у ₀

Что такое метод Эйлера?

Идея метода Эйлера состоит в том, чтобы найти численное решение дифференциального уравнения в интервале между X ₀ и X _f .

Сначала интервал дискретизируется на n + 1 балл:

x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ …, x _n

Которые получаются так:
x _i = x ₀ + ih

Где h - ширина или шаг подынтервалов:

С начальным условием также можно узнать производную в начале:

y '(x _o ) = f (x _o , y _o )

Эта производная представляет собой наклон касательной к кривой функции y (x) точно в точке:

Ао = (х _о , у _о )

Затем делается приблизительный прогноз значения функции y (x) в следующей точке:

у (х ₁ ) ≈ у ₁

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o ) f (x _o , y _o ) = y _{o +} hf (x _o , y _o )

Затем была получена следующая приближенная точка решения, которая будет соответствовать:

А ₁ = (х ₁ , у ₁ )

Процедура повторяется для получения последовательных баллов.

A ₂ , A ₃ …, x _n

На рисунке, показанном в начале, синяя кривая представляет точное решение дифференциального уравнения, а красная - последовательные приближенные точки, полученные с помощью процедуры Эйлера.

Решенные упражнения

Упражнение 1

I ) Пусть дифференциальное уравнение имеет вид:

При начальном условии x = a = 0; и _a = 1

Используя метод Эйлера, получить приближенное решение y при координате X = b = 0,5, разделив интервал на n = 5 частей.

Решение

Численные результаты резюмируются следующим образом:

Из чего делается вывод, что решение Y для значения 0,5 составляет 1,4851.

Примечание. Для выполнения вычислений использовалась бесплатная программа Smath Studio.

Упражнение 2.

II ) Продолжая работу с дифференциальным уравнением из упражнения I), найдите точное решение и сравните его с результатом, полученным методом Эйлера. Найдите ошибку или разницу между точным и приблизительным результатом.

Решение

Точное решение найти не очень сложно. Производная функции sin (x) известна как функция cos (x). Следовательно, решение y (x) будет:

у (х) = грех х + С

Чтобы начальное условие было выполнено и (0) = 1, константа C должна быть равна 1. Затем точный результат сравнивается с приблизительным:

Сделан вывод, что в расчетном интервале аппроксимация имеет три значащих цифры точности.

Упражнение 3.

III ) Рассмотрим дифференциальное уравнение и его начальные условия, указанные ниже:

у '(х) = - у ²

При начальном условии x ₀ = 0; и ₀ = 1

Воспользуйтесь методом Эйлера, чтобы найти приближенные значения решения y (x) на интервале x =. Используйте шаг h = 0,1.

Решение

Метод Эйлера очень подходит для использования с электронной таблицей. В этом случае мы будем использовать электронную таблицу геогебры, бесплатную программу с открытым исходным кодом.

В электронной таблице на рисунке показаны три столбца (A, B, C), первый - это переменная x, второй столбец представляет переменную y, а третий столбец - это производная y '.

Строка 2 содержит начальные значения X, Y, Y '.

Шаг значения 0,1 помещен в ячейку абсолютного положения ($ D $ 4).

Начальное значение y0 находится в ячейке B2, а y1 - в ячейке B3. Для вычисления y ₁ используется формула:

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o ) f (x _o , y _o ) = y _{o +} hf (x _o , y _o )

Эта формула электронной таблицы будет иметь вид B3: = B2 + $ D $ 4 * C3.

Точно так же y2 будет в ячейке B4, и его формула показана на следующем рисунке:

На рисунке также показан график точного решения и точки A, B,…, P приближенного решения по методу Эйлера.

Ньютоновская динамика и метод Эйлера

Классическая динамика была разработана Исааком Ньютоном (1643 - 1727). Первоначальная мотивация Леонарда Эйлера (1707–1783) к разработке своего метода заключалась именно в решении уравнения второго закона Ньютона в различных физических ситуациях.

Второй закон Ньютона обычно выражается в виде дифференциального уравнения второй степени:

Где x представляет положение объекта в момент времени t. Указанный объект имеет массу m и на него действует сила F. Функция f связана с силой и массой следующим образом:

Для применения метода Эйлера требуются начальные значения времени t, скорости v и положения x.

В следующей таблице объясняется, как, начиная с начальных значений t1, v1, x1, можно получить приближение скорости v2 и положения x2 в момент t2 = t1 + Δt, где Δt представляет небольшое увеличение и соответствует шагу в методе Эйлер.

Упражнение 4.

IV ) Одна из фундаментальных проблем механики - это проблема блока массы M, привязанного к пружине (или пружине) с постоянной упругостью K.

Второй закон Ньютона для этой проблемы будет выглядеть так:

В этом примере для простоты мы возьмем M = 1 и K = 1. Найти приближенные решения для положения x и скорости v методом Эйлера на временном интервале, разбив интервал на 12 частей.

Возьмите 0 в качестве начального момента, начальную скорость 0 и начальное положение 1.

Решение

Численные результаты представлены в следующей таблице:

Также отображаются графики положения и скорости между временами от 0 до 1,44.

Предлагаемые упражнения для дома

Упражнение 1

Используйте электронную таблицу, чтобы найти приближенное решение с помощью метода Эйлера для дифференциального уравнения:

y '= - Exp (-y) с начальными условиями x = 0, y = -1 в интервале x =

Начните с шага 0,1. Постройте результат.

Упражнение 2.

Используя электронную таблицу, найдите численные решения следующего квадратного уравнения, где y является функцией независимой переменной t.

y '' = - 1 / y² с начальным условием t = 0; и (0) = 0,5; у '(0) = 0

Найдите решение в интервале с шагом 0,05.

Постройте результат: y vs t; y 'vs t

Ссылки

1. Метод Эрлера Взято с wikipedia.org
2. Решатель Эйлера. Взято с en.smath.com