МОРГАН ЛОУС - МАТЕМАТИКА

Л глаза Моргана правила вывода , используемые в логике высказываний, которые устанавливают , что в результате отказа в дизъюнкцию и конъюнкцию предложений или пропозициональных переменных. Эти законы были определены математиком Августом Де Морганом.

Законы Моргана представляют собой очень полезный инструмент, демонстрирующий обоснованность математических рассуждений. Позже они были обобщены в рамках концепции множеств математиком Джорджем Булем.

Это обобщение, сделанное Булевым, полностью эквивалентно исходным законам Моргана, но оно разработано специально для множеств, а не для предложений. Это обобщение также известно как законы Моргана.

Обзор логики высказываний

Прежде чем рассматривать, что конкретно представляют собой законы Моргана и как они используются, полезно вспомнить некоторые основные понятия логики высказываний. (Подробнее см. Статью о логике высказываний).

В области математической (или пропозициональной) логики умозаключение - это вывод, который делается на основе набора предпосылок или гипотез. Этот вывод вместе с вышеупомянутыми предпосылками приводит к так называемому математическому рассуждению.

Такое рассуждение должно быть доказуемо или опровергнуто; то есть, не все умозаключения или заключения в математических рассуждениях верны.

ошибочность

Ложный вывод, сделанный на основании определенных гипотез, которые считаются истинными, известен как заблуждение. Заблуждения имеют особенность быть аргументами, которые кажутся верными, но математически это не так.

Логика высказываний в точности отвечает за разработку и предоставление методов, с помощью которых без какой-либо двусмысленности математическое рассуждение может быть подтверждено или опровергнуто; то есть сделать правильный вывод из посылок. Эти методы известны как правила вывода, частью которых являются законы Моргана.

Предложения

Существенными элементами логики высказываний являются предложения. Утверждения - это утверждения, о которых можно сказать, действительны они или нет, но которые не могут быть истинными или ложными одновременно. В этом вопросе не должно быть двусмысленности.

Подобно тому, как числа можно комбинировать с помощью операций сложения, вычитания, умножения и деления, предложениями можно оперировать с помощью хорошо известных логических связок (или соединителей): отрицание (¬, «не»), дизъюнкция (V , «Или»), конъюнкция (Ʌ, «и»), условная (→, «если…, то…») и двояковыпуклая (↔, «если и только если»).

В более общем плане, вместо рассмотрения конкретных предложений, рассматриваются пропозициональные переменные, которые представляют любые предложения, и они обычно обозначаются строчными буквами p, q, r, s и т. Д.

Пропозициональная формула - это комбинация пропозициональных переменных посредством некоторых логических связок. Другими словами, это композиция пропозициональных переменных. Их обычно обозначают греческими буквами.

Говорят, что пропозициональная формула логически подразумевает другую, когда последняя истинна, каждый раз, когда истинна первая. Это обозначается:

Когда логическая импликация между двумя пропозициональными формулами является взаимной, т. Е. Когда предыдущая импликация также действительна в противоположном смысле, формулы называются логически эквивалентными, и это обозначается как

Логическая эквивалентность - это своего рода равенство между пропозициональными формулами, позволяющее при необходимости заменять одну другую.

Законы Моргана

Законы Моргана состоят из двух логических эквивалентностей двух пропозициональных форм, а именно:

Эти законы позволяют отделить отрицание дизъюнкции или конъюнкции как отрицание задействованных переменных.

Первое можно прочесть так: отрицание дизъюнкции равно конъюнкции отрицаний. А второй читается так: отрицание союза есть дизъюнкция отрицаний.

Другими словами, отрицание дизъюнкции двух пропозициональных переменных эквивалентно конъюнкции отрицаний обеих переменных. Точно так же отрицание конъюнкции двух пропозициональных переменных эквивалентно дизъюнкции отрицаний обеих переменных.

Как упоминалось ранее, замена этой логической эквивалентности помогает доказать важные результаты наряду с другими существующими правилами вывода. С их помощью вы можете упростить многие пропозициональные формулы, чтобы с ними было удобнее работать.

Ниже приводится пример математического доказательства с использованием правил вывода, включая законы Моргана. В частности, показано, что формула:

Это эквивалентно:

Последнее проще понять и развить.

демонстрация

Следует отметить, что справедливость законов Моргана можно продемонстрировать математически. Один из способов - сравнить ваши таблицы истинности.

наборы

Те же правила вывода и понятия логики, применяемые к предложениям, также могут быть разработаны с учетом множеств. Это так называемая булева алгебра в честь математика Джорджа Буля.

Чтобы различать случаи, необходимо изменить обозначения и перенести на множества все уже знакомые понятия логики высказываний.

Набор - это набор предметов. Наборы обозначаются прописными буквами A, B, C, X, …, а элементы набора обозначаются строчными буквами a, b, c, x и т. Д. Когда элемент a принадлежит множеству X, он обозначается:

Когда он не принадлежит X, обозначение будет следующим:

Наборы можно представить, поместив их элементы в фигурные скобки. Например, набор натуральных чисел представлен следующим образом:

Наборы также могут быть представлены без написания явного списка их элементов. Их можно выразить в форме {:}. Двоеточие читается как «такое что». Слева от двух точек помещается переменная, представляющая элементы набора, а справа - свойство или условие, которым они удовлетворяют. Это:

Например, набор целых чисел больше -4 может быть выражен как:

Или, что эквивалентно и более сокращенно, как:

Точно так же следующие выражения представляют наборы четных и нечетных чисел соответственно:

Объединение, пересечение и дополнения множеств

Далее мы увидим аналоги логических связок в случае множеств, которые являются частью основных операций между множествами.

Союз и пересечение

Объединение и пересечение множеств определяются соответственно следующим образом:

Например, рассмотрим наборы:

Итак, вам необходимо:

комплемент

Дополнение набора формируется элементами, которые не принадлежат указанному набору (того же типа, что и оригинал). Дополнение к множеству A обозначается:

Например, в натуральных числах дополнением набора четных чисел является дополнение набора нечетных чисел, и наоборот.

Для определения дополнения набора универсальный или главный набор рассматриваемых элементов должен быть ясен с самого начала. Например, рассматривать дополнение множества по натуральным числам не одно и то же, как по рациональным числам.

В следующей таблице показаны отношения или аналогии, существующие между операциями над ранее определенными множествами и связями логики высказываний:

Законы Моргана для множеств

Наконец, законы Моргана о множествах:

На словах: дополнение к объединению - это пересечение дополнений, а дополнение к пересечению - это объединение дополнений.

Математическое доказательство первого равенства будет следующим:

Доказательство второго аналогично.

Ссылки

Альмагер, Г. (2002). Математика 1. От редакции Лимуса.
Эйлвин, CU (2011). Логика, множества и числа. Мерида - Венесуэла: Совет по публикациям, Университет Лос-Андес.
Баррантес, Х., Диас, П., Мурильо, М., и Сото, А. (1998). Введение в теорию чисел. EUNED.
Кастаньеда, С. (2016). Базовый курс теории чисел. Северный университет.
Кофре А. и Тапиа Л. (1995). Как развивать математическое логическое мышление. Издательство университета.
Гевара, MH (nd). Теория чисел. EUNED.
Сарагоса, AC (SF). Теория чисел Редакция Vision Libros.

МОРГАН ЛОУС - МАТЕМАТИКА - 2026