ПРЕДЕЛ ФЕРМА: ИЗ ЧЕГО ОН СОСТОИТ И РЕШАЕМЫЕ УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2026

Предел Ферма является численным методом , используемым для получения значения наклона линии, которая является касательной к функции в определенной точке в своей области. Он также используется для получения критических точек функции. Его выражение определяется как:

Очевидно, что Ферма не знал основ вывода, однако именно его исследования побудили группу математиков задуматься о касательных прямых и их применении в исчислении.

Что такое предел Ферма?

Он состоит из подхода из 2 точек, которые в предыдущих условиях образуют секущую линию к функции с пересечением по парам значений.

При приближении переменной к значению «а» пара точек вынуждена встретиться. Таким образом, ранее секущая линия становится касательной к точке (a; f (a)).

Значение частного (x - a) при оценке в точке «a» дает неопределенность пределов типа K между нулем (K / 0). Где с помощью различных методов факторинга эти неопределенности могут быть устранены.

Наиболее часто используемые операционные методы:

-Разность квадратов (a ² - b ² ) = (a + b) (a - b); Существование элемента (a - b) в большинстве случаев подразумевает множитель, упрощающий выражение (x - a) в частном от предела Ферма.

- Завершение квадратов (ax ² + bx); После завершения квадратов получается бином Ньютона, в котором один из его двух множителей упрощается выражением (x - a), нарушая неопределенность.

- Конъюгат (a + b) / (a ​​+ b); Умножение и деление выражения на конъюгат некоторого фактора может оказаться большим подспорьем для устранения неопределенности.

- Общий делитель; Во многих случаях результат использования числителя предела Ферма f (x) - f (a) скрывает множитель (x - a), необходимый для факторизации. Для этого внимательно наблюдают, какие элементы повторяются в каждом факторе выражения.

Применение предела Ферма для максимумов и минимумов

Несмотря на то, что предел Ферма не различает максимумы и минимумы, поскольку он может идентифицировать только критические точки в соответствии с его определением, он обычно используется при вычислении вершин или этажей функций на плоскости.

Базовых знаний графической теории функций в сочетании с этой теоремой может быть достаточно для установления максимальных и минимальных значений между функциями. Фактически, точки перегиба могут быть определены с помощью теоремы о среднем значении в дополнение к теореме Ферма.

Кубическая притча

Самый значительный парадокс для Ферма пришел из изучения кубической параболы. Поскольку его внимание было направлено на касательные линии функции для данной точки, он столкнулся с проблемой определения упомянутой касательной в точке перегиба функции.

Казалось невозможным определить касательную к точке. Так начинается исследование, которое привело бы к дифференциальному исчислению. Определен позже важными представителями математики.

Максимус и минимальный

Изучение максимумов и минимумов функции было проблемой для классической математики, где требовался однозначный и практический метод их определения.

Ферма создал метод, основанный на использовании малых дифференциальных значений, которые после факторинга исключаются, уступая место искомому максимальному и минимальному значению.

Эта переменная должна быть оценена в исходном выражении, чтобы определить координату указанной точки, которая вместе с аналитическими критериями будет определяться как максимум или минимум выражения.

метод

В своем методе Ферма использует буквальную символику Виета, которая состоит из исключительного использования заглавных букв: гласные для неизвестных и согласные для известных количеств.

Для случая радикальных значений Ферма реализовал особый процесс, который позже будет использован при факторизации пределов неопределенности бесконечности между бесконечностью.

Этот процесс состоит из деления каждого выражения на значение используемой разницы. В случае Ферма он использовал букву E, где после деления на высшую степень E искомое значение критической точки становится ясным.

история

Предел Ферма на самом деле является одним из наименее известных достижений в длинном списке математиков. Его исследования перешли от простых чисел к созданию основы для расчетов.

В свою очередь, Ферма был известен своей эксцентричностью в отношении своих гипотез. Для него было обычным делом оставлять своего рода вызов другим математикам того времени, когда у него уже было решение или доказательство.

У него было множество споров и союзов с разными математиками того времени, которые либо любили, либо ненавидели работать с ним.

Его последняя теорема была главной причиной его всемирной известности, в которой он заявил, что обобщение теоремы Пифагора для любой степени «n» невозможно. Он утверждал, что у него есть веские доказательства этого, но умер, не обнародовав это.

Этой демонстрации пришлось ждать около 350 лет. В 1995 году математики Эндрю Уайлс и Ричард Тейлор положили конец беспокойству, оставленному Ферма, доказав, что он был прав, с помощью действительного доказательства своей последней теоремы.

упражнения

Упражнение 1

Определите наклон касательной к кривой f (x) = x ² в точке (4, 16)

Подставляя в выражение предела Ферма, получаем:

Коэффициенты (x - 4) упрощены

При оценке у вас есть

М = 4 + 4 = 8

Упражнение 2.

Определите критическую точку выражения f (x) = x ² + 4x, используя предел Ферма

Осуществляется стратегическая группировка элементов, стремящаяся сгруппировать пары XX ₀

Наименьшие квадраты разработаны

Соблюдайте общий множитель XX _{0 и извлекайте}

Теперь выражение можно упростить, а неопределенность сломать

В точках минимума известно, что наклон касательной равен нулю. Таким образом, мы можем приравнять найденное выражение к нулю и найти значение X ₀

2 Х ₀ + 4 = 0

Х ₀ = -4/2 = -2

Чтобы получить недостающую координату, необходимо только оценить точку в исходной функции

F (-2) = (-2) ² + 4 (-2) = 4-8 = - 4

Критическая точка - P (-2, -4).

Ссылки

1. Реальный анализ. Исторический подход Зауль Шталь, John Wiley & Sons, 5 августа. 1999.
2. Математическая карьера Пьера де Ферма, 1601-1665: второе издание. Майкл Шон Махони. Princeton University Press, 5 июня. 2018
3. От Ферма до Минковского: лекции по теории чисел и ее историческому развитию. В. Шарлау, Х. Ополка, Springer Science & Business Media, 1985
4. Последняя теорема Ферма: генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. Гарольд М. Эдвардс. Springer Science & Business Media, 14 января 2000
5. Ферма Дни 85: математика для оптимизации. Ж.-Б. Hiriart-Urruty Elsevier, 1 января. 1986