- Происхождение и история
- Аристотель
- Что изучает математическая логика?
- Предложения
- Таблицы истинности
- Типы математической логики
- районы
- Ссылки
Математическая логика или символическая логика представляет собой математический язык , который охватывает инструменты , через которые можно подтвердить или опровергнуть математические рассуждения.
Хорошо известно, что в математике нет двусмысленностей. Учитывая математический аргумент, он либо действителен, либо просто нет. Оно не может быть ложным и истинным одновременно.
Особый аспект математики состоит в том, что у нее есть формальный и строгий язык, с помощью которого может быть определена обоснованность аргумента. Что делает определенное рассуждение или любое математическое доказательство неопровержимым? Вот в чем суть математической логики.
Таким образом, логика - это математическая дисциплина, которая отвечает за изучение математических рассуждений и доказательств, а также предоставляет инструменты, позволяющие сделать правильный вывод из предыдущих утверждений или предложений.
Для этого используются аксиомы и другие математические аспекты, которые будут разработаны позже.
Происхождение и история
Точные даты в отношении многих аспектов математической логики неизвестны. Тем не менее, большинство библиографий по этому вопросу ведет свое происхождение от Древней Греции.
Аристотель
Начало строгого подхода к логике частично приписывается Аристотелю, который написал ряд логических работ, которые позже были составлены и развиты различными философами и учеными, вплоть до Средневековья. Это можно было считать «старой логикой».
Позже, в так называемую современную эпоху, Лейбниц, движимый глубоким желанием создать универсальный язык для математического мышления, и другие математики, такие как Готтлоб Фреге и Джузеппе Пеано, оказали заметное влияние на развитие математической логики. в том числе аксиомы Пеано, которые формулируют необходимые свойства натуральных чисел.
Математики Джордж Буль и Георг Кантор также имели большое влияние в то время, внося важный вклад в теорию множеств и таблицы истинности, выделяя, среди прочего, булеву алгебру (Джорджа Буля) и аксиому выбора. (Джордж Кантор).
Есть также Август Де Морган с хорошо известными законами Моргана, которые рассматривают отрицания, союзы, дизъюнкции и условные выражения между предложениями, ключи к развитию символической логики, и Джон Венн со знаменитыми диаграммами Венна.
В 20-м веке, примерно между 1910 и 1913 годами, Бертран Рассел и Альфред Норт Уайтхед выделяются своей публикацией Principia mathematica, набора книг, которые собирают, развивают и постулируют серию аксиом и результатов логики.
Что изучает математическая логика?
Предложения
Математическая логика начинается с изучения предложений. Утверждение - это утверждение, которое можно сказать без какой-либо двусмысленности, верно оно или нет. Ниже приведены примеры предложений:
- 2 + 4 = 6.
- 5 2 = 35.
- В 1930 году в Европе произошло землетрясение.
Первое - истинное утверждение, второе - ложное. Третье, даже если человек, читающий его, может не знать, правда ли это или сразу, - это утверждение, которое можно проверить и определить, действительно ли это произошло.
Ниже приведены примеры выражений, которые не являются предложениями:
- Она блондинка.
- 2х = 6.
- Давай сыграем!
- Вы любите фильмы
В первом предложении не указано, кто «она», поэтому ничего нельзя утверждать. Во втором предложении, что означает «x», не указано. Если бы вместо этого было сказано, что 2x = 6 для некоторого натурального числа x, в этом случае это соответствовало бы утверждению, фактически истинному, поскольку для x = 3 оно выполнено.
Последние два утверждения не соответствуют утверждению, поскольку их невозможно отрицать или подтверждать.
Два или более предложений можно объединить (или связать) с помощью хорошо известных логических связок (или соединителей). Эти:
- Отказ: «Дождь не идет».
- Дизъюнкция: «Луиза купила белую или серую сумку».
- Соединение: «4 2 = 16 и 2 × 5 = 10».
- При условии: «Если пойдет дождь, я не пойду сегодня в спортзал».
- Двояковыпуклый: «Я иду в спортзал сегодня днем, если и только если не будет дождя».
Предложение, не имеющее ни одной из предыдущих связок, называется простым (или атомарным) предложением. Например, «2 меньше 4» - простое утверждение. Утверждения, имеющие некоторую связку, называются составными предложениями, например: «1 + 3 = 4 и 4 - четное число».
Утверждения, сделанные с помощью предложений, обычно длинные, поэтому всегда утомительно писать их в том виде, в каком они уже видны. По этой причине используется символический язык. Предложения обычно обозначаются заглавными буквами, такими как P, Q, R, S и т. Д. И следующие символические связки:
Так что
Обратное условного суждения
предложение
И противоположность (или противоположность) предложения
предложение
Таблицы истинности
Еще одно важное понятие в логике - это таблица истинности. Значения истинности предложения - это две возможности для предложения: истинное (которое будет обозначено V и будет сказано, что его значение истинности равно V) или ложное (которое будет обозначено F и будет сказано, что его значение действительно F).
Значение истинности составного предложения зависит исключительно от значений истинности простых предложений, которые в нем появляются.
Чтобы работать в более общем плане, мы не будем рассматривать конкретные предложения, а будем рассматривать пропозициональные переменные p, q, r, s и т. Д., Которые будут представлять любые предложения.
С помощью этих переменных и логических связок формируются хорошо известные пропозициональные формулы, точно так же, как строятся сложные пропозиции.
Если каждая из переменных, которые появляются в формуле высказывания, заменяется предложением, получается составное предложение.
Ниже приведены таблицы истинности логических связок:
Существуют пропозициональные формулы, которые получают только значение V в своей таблице истинности, то есть последний столбец их таблицы истинности имеет только значение V. Эти типы формул известны как тавтологии. Например:
Ниже приводится таблица истинности формулы
Говорят, что из формулы α логически следует другая формула β, если α истинно каждый раз, когда истинно β. То есть, в таблице истинности α и β строки, где α имеет V, β также имеет V. Нас интересуют только строки, в которых α имеет значение V. Обозначения для логической импликации следующие. :
В следующей таблице приведены свойства логической импликации:
Две пропозициональные формулы называются логически эквивалентными, если их таблицы истинности идентичны. Для выражения логической эквивалентности используются следующие обозначения:
В следующих таблицах обобщены свойства логической эквивалентности:
Типы математической логики
Существуют разные типы логики, особенно если принять во внимание прагматическую или неформальную логику, указывающую, среди прочего, на философию.
Что касается математики, типы логики можно резюмировать следующим образом:
- Формальная или аристотелевская логика (античная логика).
- Логика высказываний: она отвечает за изучение всего, что связано с достоверностью аргументов и предложений, используя формальный и символический язык.
- Символическая логика: сфокусирована на изучении множеств и их свойств, также с помощью формального и символического языка, и глубоко связана с логикой высказываний.
- Комбинаторная логика: одна из самых последних разработанных, включает результаты, которые могут быть получены с помощью алгоритмов.
- Логическое программирование: используется в различных пакетах и языках программирования.
районы
Среди областей, в которых математическая логика незаменима при разработке своих рассуждений и аргументов, выделяются философия, теория множеств, теория чисел, алгебраическая конструктивная математика и языки программирования.
Ссылки
- Эйлвин, CU (2011). Логика, множества и числа. Мерида - Венесуэла: Совет по публикациям, Университет Лос-Андес.
- Баррантес, Х., Диас, П., Мурильо, М., и Сото, А. (1998). Введение в теорию чисел. EUNED.
- Кастаньеда, С. (2016). Базовый курс теории чисел. Северный университет.
- Кофре А. и Тапиа Л. (1995). Как развивать математическое логическое мышление. Издательство университета.
- Сарагоса, AC (SF). Теория чисел Редакция Vision Libros.