САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ: ДЕМОНСТРАЦИЯ, ПРИМЕРЫ, УПРАЖНЕНИЯ - ДУДАС - 2025

Два события являются независимыми , когда вероятность того, что одно из них произойдет, не зависит от того факта, что другое происходит или не происходит, учитывая, что эти события происходят случайно.

Это обстоятельство возникает всякий раз, когда процесс, генерирующий результат события 1, никоим образом не изменяет вероятность возможных результатов события 2. Но если этого не происходит, события называются зависимыми.

Рисунок 1. Цветные шарики часто используются для объяснения вероятности независимых событий. Источник: Pixabay.

Ситуация независимого события выглядит следующим образом: предположим, что брошены два шестигранных кубика, один синий, а другой розовый. Вероятность того, что на синем кубике выпадет 1, не зависит от вероятности того, что на розовом кубике выпадет или не будет выпадать 1.

Другой случай двух независимых событий - это подбрасывание монеты дважды подряд. Результат первого броска не будет зависеть от результата второго и наоборот.

Доказательство двух независимых событий

Чтобы убедиться, что два события независимы, мы определим понятие условной вероятности одного события по отношению к другому. Для этого необходимо различать эксклюзивные события и инклюзивные события:

Два события являются исключительными, если возможные значения или элементы события A не имеют ничего общего со значениями или элементами события B.

Следовательно, в двух исключительных событиях множество пересечения A и B является вакуумом:

Исключая события: A∩B = Ø

Напротив, если события являются инклюзивными, может случиться так, что результат события A также совпадет с результатом другого события B, при этом A и B будут разными событиями. В таком случае:

Инклюзивные мероприятия: A∩B ≠ Ø

Это приводит нас к определению условной вероятности двух инклюзивных событий, другими словами, вероятности наступления события A всякий раз, когда происходит событие B:

P (A¦B) = P (A∩B) / P (B)

Следовательно, условная вероятность - это вероятность того, что возникнут A и B, деленная на вероятность того, что произойдет B. Вероятность того, что B произойдет при условии A, также может быть определена:

P (B¦A) = P (A∩B) / P (A)

Критерии, позволяющие определить независимость двух событий

Далее мы дадим три критерия, чтобы узнать, независимы ли два события. Достаточно выполнить одно из трех, чтобы продемонстрировать независимость событий.

1.- Если вероятность того, что A произойдет всякий раз, когда произойдет B, равна вероятности A, тогда они являются независимыми событиями:

P (A¦B) = P (A) => A не зависит от B

2.- Если вероятность того, что B произойдет при заданном A, равна вероятности B, то существуют независимые события:

P (B¦A) = P (B) => B не зависит от A

3.- Если вероятность того, что произойдет A и B, равна произведению вероятности того, что произойдет A, и вероятности того, что B произойдет, то они являются независимыми событиями. Обратное также верно.

P (A∩B) = P (A) P (B) <=> A и B - независимые события.

Примеры независимых мероприятий

Сравниваются резиновые подошвы, произведенные двумя разными поставщиками. Образцы от каждого производителя подвергаются нескольким испытаниям, на основании которых делается вывод, соответствуют ли они спецификациям.

Рисунок 2. Разновидности резиновой подошвы. Источник: Pixabay.

Результирующая сводка по 252 образцам выглядит следующим образом:

Производитель 1; 160 соответствуют спецификациям; 8 не соответствуют спецификациям.

Производитель 2; 80 соответствуют спецификациям; 4 не соответствуют спецификациям.

Событие A: «образец от производителя 1».

Событие B: «что образец соответствует спецификациям».

Мы хотим знать, являются ли эти события A и B независимыми или нет, для чего мы применяем один из трех критериев, упомянутых в предыдущем разделе.

Критерий: P (B¦A) = P (B) => B не зависит от A

P (B) = 240/252 = 0,9523

P (B¦A) = P (A ⋂ B) / P (A) = (160/252) / (168/252) = 0,9523

Вывод: события A и B независимы.

Предположим, событие C: «образец поступил от производителя 2».

Будет ли событие B не зависеть от события C?

Применяем один из критериев.

Критерий: P (B¦C) = P (B) => B не зависит от C

P (B¦C) = (80/252) / (84/252) = 0,9523 = P (B)

Следовательно, исходя из имеющихся данных, вероятность того, что случайно выбранная резиновая подошва соответствует техническим требованиям, не зависит от производителя.

Преобразование независимого события в зависимое событие

Давайте посмотрим на следующий пример, чтобы различать зависимые и независимые события.

У нас есть пакет с двумя шариками из белого шоколада и двумя шариками черного цвета. Вероятность получить белый шар или черный шар с первой попытки равна.

Предположим, что получился биток. Если выпавший шар заменяется в сумке, то повторяется исходная ситуация: два белых шара и два черных шара.

Таким образом, во втором событии или ничьей шансы вытянуть биток или черный шар такие же, как и в первый раз. Следовательно, они являются независимыми событиями.

Но если биток, выпавший в первом событии, не заменяется из-за того, что мы его съели, во втором розыгрыше больше шансов вытянуть черный шар. Вероятность того, что при втором извлечении снова станет белым, отличается от вероятности первого события и обусловлена ​​предыдущим результатом.

упражнения

- Упражнение 1

В коробку мы кладем 10 шариков с рисунка 1, из которых 2 зеленые, 4 синие и 4 белые. Случайно будут выбраны два шарика: первый и второй. Требуется найти
вероятность того, что ни один из них не является синим, при следующих условиях:

а) С заменой, то есть возвращением первого шарика перед вторым выбором в коробку. Укажите, являются ли они независимыми или зависимыми событиями.

б) Без замены, таким образом, чтобы первый извлеченный шарик оставался вне коробки во время выполнения второго выбора. Аналогичным образом укажите, являются ли они зависимыми или независимыми событиями.

Решение для

Мы вычисляем вероятность того, что первый извлеченный шарик не синий, которая равна 1 минус вероятность того, что он синий P (A), или напрямую, что он не синий, потому что он вышел зеленым или белым:

Р (А) = 4/10 = 2/5

P (не будь синим) = 1 - (2/5) = 3/5

Хорошо:

P (зеленый или белый) = 6/10 = 3/5.

Если добытый мрамор вернуть, все как прежде. Во втором розыгрыше есть вероятность того, что выпавший шарик не синий, с вероятностью 3/5.

P (не синий, не синий) = (3/5). (3/5) = 9/25.

События независимы, так как извлеченный шарик был возвращен в коробку, и первое событие не влияет на вероятность появления второго.

Решение б

Для первого извлечения действуйте, как в предыдущем разделе. Вероятность того, что это не синий цвет - 3/5.

Для второго извлечения у нас в сумке 9 шариков, так как первый не вернулся, но он не был синим, поэтому в сумке 9 шариков и 5 не синих:

P (зеленый или белый) = 5/9.

P (нет синего) = P (сначала не синий). P (второй не синий / первый не синий) = (3/5). (5/9) = 1/3

В этом случае они не являются независимыми событиями, поскольку первое событие обусловливает второе.

- Упражнение 2.

В магазине 15 рубашек трех размеров: 3 маленьких, 6 средних и 6 больших. Случайно выбираются 2 рубашки.

а) Какова вероятность того, что обе выбранные футболки будут маленькими, если одна будет взята первой и без замены другой в партии?

б) Какова вероятность того, что обе выбранные футболки будут маленькими, если одна будет вытягиваться первой, заменена в партии, а вторая удалена?

Решение для

Вот два события:

Событие A: первая выбранная рубашка маленькая

Событие B: вторая выбранная рубашка маленькая

Вероятность того, что произойдет событие A: P (A) = 3/15

Вероятность того, что произойдет событие B, равна: P (B) = 2/14, потому что рубашка уже была снята (осталось 14), но, кроме того, требуется выполнение события A, первая снятая рубашка должна быть маленькой и, следовательно, оба 2 маленьких.

То есть вероятность того, что A и B будут произведением вероятностей, равна:

P (A и B) = P (B¦A) P (A) = (2/14) (3/15) = 0,029

Следовательно, вероятность того, что событие A и B произойдет, равна произведению того, что событие A происходит, умноженному на вероятность того, что событие B произойдет, если событие A.

Следует отметить, что:

P (B¦A) = 2/14

Вероятность того, что событие B произойдет независимо от того, произойдет событие A или нет, будет:

P (B) = (2/14), если первый был маленьким, или P (B) = 3/14, если первый не был маленьким.

В целом можно сделать следующие выводы:

P (B¦A) не равно P (B) => B не зависит от A

Решение б

Опять два события:

Событие A: первая выбранная рубашка маленькая

Событие B: вторая выбранная рубашка маленькая

Р (А) = 3/15

Помните, что каким бы ни был результат, рубашка, взятая из партии, заменяется, и снова рубашка вытягивается случайным образом. Вероятность того, что событие B произойдет, если событие A произошло, равна:

P (B¦A) = 3/15

Вероятность возникновения событий A и B будет:

P (A и B) = P (B¦A) P (A) = (3/15) (3/15) = 0,04

Обратите внимание, что:

P (B¦A) равно P (B) => B не зависит от A.

- Упражнение 3

Рассмотрим два независимых события A и B. Известно, что вероятность того, что событие A произойдет, равна 0,2, а вероятность того, что событие B произойдет, равна 0,3. Какова вероятность того, что оба события произойдут?

Решение 2

Зная, что события независимы, известно, что вероятность того, что оба события произойдут, является произведением индивидуальных вероятностей. То есть,

P (A∩B) = P (A) P (B) = 0,2 * 0,3 = 0,06

Обратите внимание, что это вероятность намного меньше, чем вероятность того, что каждое событие произойдет независимо от исхода другого. Или, другими словами, гораздо ниже, чем индивидуальные шансы.

Ссылки

1. Беренсон, М. 1985. Статистика для управления и экономики. Interamericana SA 126-127.
2. Монтеррейский институт. Вероятность независимых событий. Получено с: monterreyinstitute.org
3. Учитель математики. Самостоятельные мероприятия. Получено с: youtube.com
4. Superprof. Типы событий, зависимые события. Получено с: superprof.es
5. Виртуальный репетитор. Вероятность. Получено с: vitutor.net
6. Wikipedia. Независимость (вероятность). Получено с: wikipedia.com