КОЭФФИЦИЕНТ РЕСТИТУЦИИ: ПОНЯТИЕ, ФОРМУЛА, РАСЧЕТ, ПРИМЕР - ФИЗИЧЕСКИЙ - 2025

Коэффициент восстановления является фактором между относительной скоростью отступления и относительной скоростью сближения двух сталкивающихся тел. Когда тела соединяются после столкновения, этот коэффициент равен нулю. А единство стоит в том случае, если столкновение совершенно упругое.

Предположим, что сталкиваются две твердые сферы массой M1 и массой M2 соответственно. Непосредственно перед столкновением сферы имели скорости V1 и V2 относительно некоторой инерциальной системы отсчета. Сразу после столкновения их скорости меняются на V1 ' и V2' .

Рис. 1. Столкновение двух сфер масс M1 и M2 и их коэффициент восстановления e. Подготовил Рикардо Перес.

Жирный шрифт был помещен в скорости , чтобы указать , что они являются векторными величинами.

Эксперименты показывают, что каждое столкновение выполняет следующие отношения:

V1 ' - V2' = -e (V1 - V2)

Где e - действительное число от 0 до 1, называемое коэффициентом восстановления столкновения. Вышеприведенное выражение интерпретируется следующим образом:

Относительная скорость двух частиц до столкновения пропорциональна относительной скорости двух частиц после столкновения, коэффициент пропорциональности равен (-e), где e - коэффициент восстановления столкновения.

Для чего нужен коэффициент реституции?

Полезность этого коэффициента заключается в знании степени неупругости столкновения. В случае совершенно упругого столкновения коэффициент будет равен 1, в то время как при полностью неупругом столкновении коэффициент будет равен 0, поскольку в этом случае относительная скорость после столкновения равна нулю.

И наоборот, если коэффициент восстановления столкновения и скорости частиц до него известны, то скорости после этого столкновения можно предсказать.

инерция

В столкновениях, помимо отношения, устанавливаемого коэффициентом восстановления, существует еще одно фундаментальное соотношение - сохранение количества движения.

Импульс p частицы, или, как его еще называют, импульс, является произведением массы M частицы и ее скорости V. То есть импульс p является векторной величиной.

При столкновении линейный импульс P системы одинаков как до, так и сразу после столкновения, потому что внешние силы незначительны по сравнению с кратковременными, но интенсивными силами внутреннего взаимодействия во время столкновения. Но сохранения импульса P системы недостаточно для решения общей проблемы столкновения.

В ранее упомянутом случае, когда две сталкивающиеся сферы масс M1 и M2, сохранение количества движения записывается так:

M1 V1 + M2 V2 = M1 V1 ' + M2 V2' .

Невозможно решить проблему столкновения, если коэффициент восстановления неизвестен. Сохранение количества движения, хотя и необходимо, недостаточно для прогнозирования скорости после столкновения.

Когда в задаче говорится, что тела продолжают двигаться вместе после столкновения, неявно указывается, что коэффициент восстановления равен 0.

Рис. 2. В бильярдных шарах встречаются столкновения с коэффициентом восстановления немногим меньше 1. Источник: Pixabay.

Энергия и коэффициент реституции

Другой важной физической величиной, участвующей в столкновениях, является энергия. Во время столкновений происходит обмен кинетической энергией, потенциальной энергией и другими видами энергии, например тепловой энергией.

До и после столкновения потенциальная энергия взаимодействия практически равна нулю, поэтому энергетический баланс включает кинетическую энергию частиц до и после столкновения и величину Q, называемую рассеянной энергией.

Для двух сталкивающихся массовых сфер M1 и M2 баланс энергии до и после столкновения записывается следующим образом:

½ M1 V1 ^ 2 + ½ M2 V2 ^ 2 = ½ M1 V1 ' ^ 2 + ½ M2 V2' ^ 2 + Q

Когда силы взаимодействия при столкновении чисто консервативны, бывает, что полная кинетическая энергия сталкивающихся частиц сохраняется, то есть остается неизменной до и после столкновения (Q = 0). Когда это происходит, говорят, что столкновение является совершенно упругим.

В случае упругих столкновений энергия не рассеивается. А также выполняется коэффициент возмещения: e = 1.

Напротив, в неупругих столкновениях Q ≠ 0 и 0 ≤ e <1. Мы знаем, например, что столкновение бильярдных шаров не является идеально упругим, потому что звук, издаваемый во время удара, является частью рассеиваемой энергии ,

Для точного определения проблемы столкновения необходимо знать коэффициент восстановления или, альтернативно, количество энергии, рассеиваемой во время столкновения.

Коэффициент восстановления зависит от характера и типа взаимодействия между двумя телами во время столкновения.

Со своей стороны, относительная скорость тел перед столкновением будет определять интенсивность взаимодействия и, следовательно, ее влияние на коэффициент восстановления.

Как рассчитывается коэффициент реституции?

Чтобы проиллюстрировать, как рассчитывается коэффициент восстановления при столкновении, мы рассмотрим простой случай:

Предположим, что происходит столкновение двух сфер масс M1 = 1 кг и M2 = 2 кг, движущихся по прямому рельсу без трения (как на рисунке 1).

Первая сфера ударяется с начальной скоростью V1 = 1 м / с о вторую, которая изначально находится в состоянии покоя, то есть V2 = 0 м / с.

После столкновения они движутся следующим образом: первый останавливается (V1 '= 0 м / с), а второй движется вправо со скоростью V2' = 1/2 м / с.

Чтобы вычислить коэффициент восстановления в этом столкновении, мы применяем соотношение:

V1 '- V2' = -e ( V1 - V2 )

0 м / с - 1/2 м / с = - e (1 м / с - 0 м / с) => - 1/2 = - e => e = 1/2.

пример

При одномерном столкновении двух сфер из предыдущего раздела был вычислен его коэффициент восстановления, в результате чего e = ½.

Поскольку e ≠ 1, столкновение не является упругим, то есть кинетическая энергия системы не сохраняется, и имеется некоторое количество рассеянной энергии Q (например, нагрев сфер из-за столкновения).

Определите значение рассеиваемой энергии в Джоулях. Также рассчитайте процентную долю рассеиваемой энергии.

Решение

Начальная кинетическая энергия сферы 1 равна:

K1i = ½ M1 V1 ^ 2 = ½ 1 кг (1 м / с) ^ 2 = ½ Дж

в то время как сфера 2 равна нулю, потому что она изначально находится в состоянии покоя.

Тогда начальная кинетическая энергия системы Ki = ½ Дж.

После столкновения только вторая сфера движется со скоростью V2 '= ½ м / с, поэтому конечная кинетическая энергия системы будет:

Kf = ½ M2 V2 '^ 2 = ½ 2 кг (½ м / с) ^ 2 = Дж

То есть энергия, рассеиваемая при столкновении, равна:

Q = Ki - Kf = (½ Дж - Дж) = 1/4 Дж

А доля энергии, рассеиваемая при этом столкновении, рассчитывается следующим образом:

f = Q / Ki = / ½ = 0,5, то есть 50% энергии системы было рассеяно из-за неупругого столкновения, коэффициент восстановления которого равен 0,5.

Ссылки

1. Бауэр, В. 2011. Физика для инженерии и науки. Том 1. Мак Гроу Хилл.
2. Фигероа, Д. 2005. Серия: Физика для науки и техники. Том 1. Кинематика. Отредактировал Дуглас Фигероа (USB).
3. Найт, р. 2017. Физика для ученых и инженерии: стратегический подход. Пирсон.
4. Сирс, Земанский. 2016. Университетская физика с современной физикой. Четырнадцатое. Ред. Том 1.
5. Wikipedia. Объем движения Получено с: en.wikipedia.org.