МОДУЛЬ ЮНГА: ИСЧИСЛЕНИЕ, ПРИЛОЖЕНИЯ, ПРИМЕРЫ, УПРАЖНЕНИЯ - ФИЗИЧЕСКИЙ - 2025

Модуль Юнга или модуль упругости - это константа, связывающая растяжение или сжатие с соответствующим увеличением или уменьшением длины объекта под действием этих сил.

Внешние силы, приложенные к объектам, могут не только изменить их состояние движения, но также способны изменить их форму или даже сломать или сломать их.

Рис. 1. Движения кошки полны упругости и грации. Источник: Pixabay.

Модуль Юнга используется для изучения изменений, происходящих в материале при внешнем приложении растягивающей или сжимающей силы. Это очень полезно в таких предметах, как инженерия или архитектура.

Модель получила свое название от британского ученого Томаса Янга (1773-1829), который провел исследования материалов, предлагая измерить жесткость различных материалов.

Что такое модель Янга?

Модель Юнга - это мера жесткости. В материалах с низкой жесткостью (красный цвет) деформация больше при растяжении или сжатии. Tigraan / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

Насколько можно деформировать объект? Это то, что инженеры часто хотят знать. Ответ будет зависеть от свойств материала и размеров, которые он имеет.

Например, вы можете сравнить две алюминиевые планки разных размеров. Каждый из них имеет различную площадь поперечного сечения и длину, и оба подвергаются одинаковому растягивающему усилию.

Ожидаемое поведение будет следующим:

- Чем больше толщина (сечение) стержня, тем меньше растяжение.

- Чем больше начальная длина, тем больше конечная растяжка.

В этом есть смысл, потому что, в конце концов, опыт показывает, что пытаться деформировать резиновую ленту - не то же самое, что пытаться сделать это стальным стержнем.

Параметр, называемый модулем упругости материала, указывает на его упругую реакцию.

Как рассчитывается?

Будучи врачом, Янг хотел знать роль эластичности артерий в улучшении кровообращения. Из своего опыта он пришел к следующему эмпирическому выводу:

Можно графически представить поведение материала при приложении напряжения, как показано на следующем рисунке.

Рисунок 2. График зависимости напряжения от деформации для материала. Источник: самодельный.

От исходной точки до точки А

В первом разделе, который идет от начала координат до точки A, график представляет собой прямую линию. Здесь действует закон Гука:

F = kx

Где F - величина силы, которая возвращает материал в исходное состояние, x - деформация, испытываемая им, а k - константа, которая зависит от объекта, подвергающегося нагрузке.

Рассматриваемые здесь деформации небольшие, а поведение совершенно эластичное.

От а до б

От A до B материал также ведет себя упруго, но зависимость между напряжением и деформацией больше не является линейной.

От B до C

Между точками B и C материал подвергается постоянной деформации и не может вернуться в исходное состояние.

От C

Если материал продолжает растягиваться из точки C, он в конечном итоге ломается.

Математически наблюдения Юнга можно резюмировать следующим образом:

Напряжение ∝ Напряжение

Где постоянная пропорциональности - это в точности модуль упругости материала:

Напряжение = модуль упругости x деформация

Есть много способов деформировать материалы. Три наиболее распространенных типа стресса, которому подвергается объект:

- Напряжение или растяжение.

- Сжатие.

- Разрежьте или подрежьте.

Одним из напряжений, которым обычно подвергаются материалы, например, в гражданском строительстве или автомобильных деталях, является тяга.

Формулы

Когда объект длиной L растягивается или растягивается, он подвергается силе тяги, которая вызывает изменение его длины. Схема этой ситуации представлена ​​на рисунке 3.

Для этого требуется, чтобы сила величиной F была приложена к его концам на единицу площади, чтобы вызвать растяжение таким образом, чтобы его новая длина стала L + DL.

Усилие, прилагаемое для деформации объекта, будет как раз этой силой на единицу площади, в то время как испытываемая деформация будет ΔL / L.

Рис. 3. Объект, подвергаемый растяжению или растяжению, растягивается. Источник: самодельный.

Обозначая модуль Юнга как Y, и в соответствии с приведенным выше:

Ответ заключается в том, что деформация указывает относительную деформацию по отношению к исходной длине. Это не то же самое, что штанга длиной 1 м растягивается или сжимается на 1 см, поскольку конструкция длиной 100 метров одинаково деформируется на 1 см.

Для правильного функционирования деталей и конструкций существует допуск на допустимые относительные деформации.

Уравнение для расчета деформации

Если приведенное выше уравнение проанализировать следующим образом:

- Чем больше площадь поперечного сечения, тем меньше деформация.

- Чем больше длина, тем больше деформация.

- Чем выше модуль Юнга, тем меньше деформация.

Единицы измерения напряжения соответствуют ньютонам на квадратный метр (Н / м ² ). Они также являются единицами давления, которые в Международной системе носят имя Паскаль. Напротив, деформация ΔL / L безразмерна, поскольку представляет собой отношение двух длин.

Единицы английской системы - фунт / дюйм ^2, которые также используются очень часто. Коэффициент преобразования для перехода от одного к другому: 14,7 фунт / дюйм ² = 1,01325 x 10 ⁵ Па.

Это приводит к тому, что модуль Юнга также имеет единицы давления. Наконец, приведенное выше уравнение может быть выражено для решения относительно Y:

В материаловедении их упругая реакция на различные усилия важна для выбора наиболее подходящего для каждого применения, будь то производство крыла самолета или автомобильного подшипника. Характеристики материала, который будет использоваться, имеют решающее значение для ожидаемой реакции.

Чтобы выбрать лучший материал, необходимо знать напряжения, которым будет подвергаться определенная деталь; и, следовательно, выберите материал, свойства которого наиболее соответствуют дизайну.

Например, крыло самолета должно быть прочным, легким и способным к изгибу. Материалы, используемые при строительстве зданий, должны в значительной степени противостоять сейсмическим воздействиям, но они также должны обладать некоторой гибкостью.

Инженеры, проектирующие крылья самолетов, а также те, кто выбирает строительные материалы, должны использовать графики напряжения-деформации, подобные изображенному на рисунке 2.

Измерения для определения наиболее важных упругих свойств материала можно проводить в специализированных лабораториях. Таким образом, существуют стандартизированные испытания, которым подвергаются образцы, к которым прикладываются различные напряжения, а затем измеряются результирующие деформации.

Примеры

Как уже было сказано выше, Y зависит не от размера или формы объекта, а от характеристик материала.

Еще одно очень важное замечание: для применимости приведенного выше уравнения материал должен быть изотропным, то есть его свойства должны оставаться неизменными на всем протяжении.

Не все материалы изотропны: есть такие, упругий отклик которых зависит от определенных параметров направления.

Деформация, проанализированная в предыдущих сегментах, - лишь одна из многих, которым может подвергаться материал. Например, с точки зрения сжимающего напряжения это противоположно растягивающему напряжению.

Приведенные уравнения применимы к обоим случаям, а значения Y почти всегда одинаковы (изотропные материалы).

Заметным исключением является бетон или цемент, которые сопротивляются сжатию лучше, чем сцеплению. Поэтому его необходимо усилить, когда требуется сопротивление растяжению. Для этого рекомендуется сталь, так как она очень хорошо сопротивляется растяжению или растяжению.

Примеры структур, подвергающихся нагрузке, включают в себя строительные колонны и арки, классические строительные элементы многих древних и современных цивилизаций.

Рис. 4. Пон-Жюльен, римское сооружение 3 г. до н.э. на юге Франции.

Решенные упражнения

Упражнение 1

Стальная проволока длиной 2,0 м в музыкальном инструменте имеет радиус 0,03 мм. Когда кабель находится под натяжением 90 Н: насколько изменится его длина? Данные: модуль Юнга стали составляет 200 x 10 ⁹ Н / м ^2.

Решение

Требуется вычислить площадь поперечного сечения A = πR ² = π. (0,03 x 10 ^-3 м) ² = 2,83 x 10 ^-9 м ²

Напряжение - это напряжение на единицу площади:

Поскольку струна находится под натяжением, это означает, что она удлиняется.

Новая длина L = L _o + DL, где L _o - начальная длина:

L = 2,32 м

Упражнение 2.

Мраморная колонна, площадь поперечного сечения которой составляет 2,0 м ^2, выдерживает массу 25 000 кг. Найти:

а) Усилие в позвоночнике.

б) Напряжение.

в) Насколько короче колонна, если ее высота 12 м?

Решение

а) Усилие в колонне обусловлено весом 25000 кг:

P = мг = 25000 кг x 9,8 м / с ² = 245000 Н

Поэтому усилия следующие:

б) Деформация ΔL / L:

c) ΔL - изменение длины, определяемое по формуле:

ΔL = 2,45 х ^10-6 х 12 м = 2,94 х ^10-5 м = 0,0294 мм.

Ожидается, что мраморная колонна не сильно усадится. Обратите внимание, что хотя модуль Юнга у мрамора ниже, чем у стали, и что колонна также выдерживает гораздо большую силу, ее длина почти не изменилась.

С другой стороны, в канате из предыдущего примера изменение намного более заметно, хотя сталь имеет гораздо более высокий модуль Юнга.

Его большая площадь поперечного сечения вмешивается в колонну, и поэтому он намного менее деформируется.

О Томасе Янге

1822 г. Портрет Томаса Янга. Томас Лоуренс / Общественное достояние

Модуль упругости назван в честь Томаса Янга (1773-1829), разностороннего британского ученого, внесшего большой вклад в науку во многих областях.

Как физик, Янг не только изучал волновую природу света, выявленную в знаменитом эксперименте с двумя щелями, но он также был врачом, лингвистом и даже помог расшифровать некоторые египетские иероглифы на знаменитом Розеттском камне.

Он был членом Королевского общества, Шведской королевской академии наук, Американской академии искусств и наук или Французской академии наук, а также других благородных научных учреждений.

Однако следует отметить, что концепция модели была ранее разработана Леонаром Эйлером (1707-1873), и что такие ученые, как Джордано Риккати (1709-1790), уже провели эксперимент, который позволил бы применить модель Юнга на практике. ,

Ссылки

1. Бауэр, В. 2011. Физика для инженерии и науки. Том 1. Мак Гроу Хилл. 422-527.
2. Джанколи, Д. 2006. Физика: принципы с приложениями. Издание шестое. Прентис Холл. 238-249.