ТЕОРЕМА ШТЕЙНЕРА: ОБЪЯСНЕНИЕ, ПРИЛОЖЕНИЯ, УПРАЖНЕНИЯ - ФИЗИЧЕСКИЙ - 2025

Теорема Штейнера , также известная как теорема о параллельных осях, позволяет оценить момент инерции протяженного тела относительно оси, параллельной другой, проходящей через центр масс объекта.

Он был открыт швейцарским математиком Якобом Штайнером (1796–1863) и утверждает следующее: пусть I _{CM будет} моментом инерции объекта относительно оси, проходящей через его центр масс CM, а I _z момент инерции относительно другой оси. параллельно с этим.

Рис. 1. Прямоугольная дверь, вращающаяся на петлях, обладает моментом инерции, который можно вычислить, применив теорему Штейнера. Источник: Pixabay.

Зная расстояние D, разделяющее обе оси, и массу M рассматриваемого тела, момент инерции относительно неизвестной оси равен:

Момент инерции показывает, насколько легко объект вращается вокруг определенной оси. Это зависит не только от массы тела, но и от того, как она распределена. По этой причине он также известен как инерция вращения, являясь его единицей в Международной системе кг. м ² .

Теорема показывает, что момент инерции I _z всегда больше момента инерции I _CM на величину, задаваемую MD ² .

Приложения

Поскольку объект может вращаться вокруг множества осей, а в таблицах обычно указывается только момент инерции относительно оси, проходящей через центроид, теорема Штейнера упрощает расчет, когда необходимо вращать тела вокруг осей. которые не соответствуют этому.

Например, дверь обычно вращается не вокруг оси, проходящей через ее центр масс, а вокруг боковой оси, к которой примыкают петли.

Зная момент инерции, можно вычислить кинетическую энергию, связанную с вращением вокруг указанной оси. Если K - кинетическая энергия, I - момент инерции вокруг рассматриваемой оси и ω - угловая скорость, то отсюда следует, что:

Это уравнение очень похоже на хорошо знакомую формулу для кинетической энергии для объекта массы M, движущегося со скоростью v: K = ½ Mv ² . И дело в том, что момент инерции или вращательная инерция I играет во вращении ту же роль, что и масса M при поступлении.

Доказательство теоремы Штейнера

Момент инерции протяженного объекта определяется как:

I = ∫ r ² дм

Где dm - бесконечно малая часть массы, а r - расстояние между dm и осью вращения z. На рисунке 2 эта ось пересекает центр масс CM, но он может быть любым.

Рис. 2. Объект, вытянутый во вращении вокруг двух параллельных осей. Источник: Ф. Сапата.

Вокруг другой оси z 'момент инерции равен:

I _z = ∫ (r ') ² дм

Теперь, согласно треугольнику, образованному векторами D , r и r ' (см. Рисунок 2 справа), существует векторная сумма:

г + г ' = D → г' = D - г

Три вектора лежат на плоскости объекта, который может быть точкой xy. Начало системы координат (0,0) выбирается в CM, чтобы облегчить последующие вычисления.

Таким образом, квадрат модуля вектора r ' равен:

Теперь эта развертка подставляется в интеграл момента инерции I _z, а также используется определение плотности dm = ρ.dV:

Термин M. D ^2, который появляется в теореме Штейнера, происходит от первого интеграла, второй - это момент инерции относительно оси, проходящей через CM.

Со своей стороны, третий и четвертый интегралы имеют значение 0, поскольку по определению они составляют положение CM, которое было выбрано в качестве начала системы координат (0,0).

Решенные упражнения

-Решенное упражнение 1

Прямоугольная дверь на Рисунке 1 имеет массу 23 кг, ширину 1,30 и высоту 2,10 м. Определите момент инерции двери по отношению к оси, проходящей через петли, при условии, что дверь тонкая и однородная.

Рисунок 3. Схема рабочего примера 1. Источник: модифицировано с сайта Pixabay.

Решение

Из таблицы моментов инерции для прямоугольной пластины массы M и размеров a и b момент инерции относительно оси, проходящей через ее центр масс, равен: I _CM = (1/12) M (a ² + б ² ).

Предполагается однородный вентиль (приблизительное значение, поскольку вентиль на рисунке, вероятно, не является таковым). В таком случае центр масс проходит через его геометрический центр. На рисунке 3 проведена ось, которая проходит через центр масс и также параллельна оси, проходящей через шарниры.

I _CM = (1/12) x 23 кг x (1,30 ^{2 +} 2,10 ² ) м ² = 11,7 кг / м ²

Применяя теорему Штейнера для зеленой оси вращения:

I = I _CM + MD ² = 11,7 кг / м ² + 23 кг x 0,652 м ² = 21,4 кг.

-Решенное упражнение 2

Найдите момент инерции однородного тонкого стержня при его вращении вокруг оси, проходящей через один из его концов, см. Рисунок. Он больше или меньше момента инерции при вращении вокруг своего центра? Зачем?

Рисунок 4. Схема решенного примера 2. Источник: Ф. Запата.

Решение

Согласно таблице моментов инерции момент инерции I _CM тонкого стержня массы M и длины L равен: I _CM = (1/12) ML ²

И теорема Штейнера утверждает, что когда он вращается вокруг оси, проходящей через один конец D = L / 2, он остается:

Он больше, хотя и не просто вдвое, а в 4 раза больше, так как другая половина стержня (не заштрихованная на рисунке) вращается, описывая больший радиус.

Влияние расстояния до оси вращения не линейное, а квадратичное. Масса, которая вдвое превышает расстояние, будет иметь момент инерции, пропорциональный (2D) ² = 4D ² .

Ссылки

1. Бауэр, В. 2011. Физика для инженерии и науки. Том 1. Мак Гроу Хилл. 313-340.
2. Государственный университет Джорджии. Вращательное движение. Получено с: Phys.nthu.edu.tw.
3. Теорема о параллельной оси. Получено с: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Рекс, А. 2011. Основы физики. Пирсон. 190-200.
5. Wikipedia. Теорема о параллельной оси. Получено с: en.wikipedia.org