ПРОИЗВОДНАЯ КОТАНГЕНСА: РАСЧЕТ, ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

Производное котангенс равно противоположность квадрату косеканса «-Csc ² ». Эта формула подчиняется законам производной по определению и дифференцированию тригонометрических функций. Обозначается он следующим образом:

d (ctg u) = -csc ² u. дю

Где "du" символизирует выражение, полученное из функции аргумента по отношению к независимой переменной.

Источник: Pixabay.com

Как рассчитывается?

Процедура разработки этих производных довольно проста. Достаточно просто правильно определить аргумент и тип функции, которую он представляет.

Например, выражение Ctg (f / g) имеет деление в своем аргументе. Это потребует дифференциации относительно U / V после определения производной котангенса.

Котангенс - это величина, обратная касательной. Алгебраически это означает, что:

(1 / tg x) = ctg x

Ctg x = Cos x / Sen x

Неверно говорить, что функция котангенса является «обратной» касательной. Это связано с тем, что функция арктангенса по определению является арктангенсом.

(Tg ^-1 x) = arctg x

Согласно тригонометрии Пифагора, котангенс участвует в следующих разделах:

Ctg x = (cos x) / (sin x)

Ctg ² x + 1 = Csc ² x

Согласно аналитической тригонометрии, он отвечает следующим тождествам:

Ctg (a + b) = (1 - tg a. Tg b) / (tg a + tg b)

Ctg (a - b) = (1 + tg a. Tg b) / (tg a - tg b)

Ctg (2a) = (1 - tg ² a) / (2tg a)

Характеристики функции котангенса

Необходимо проанализировать различные характеристики функции f (x) = ctg x, чтобы определить аспекты, необходимые для изучения ее дифференцируемости и применения.

Вертикальные асимптоты

Функция котангенса не определена для значений, которые делают выражение "Senx" нулевым. Из-за его эквивалента Ctg x = (cos x) / (sin x) он будет иметь неопределенность во всех «nπ», где n принадлежит целым числам.

То есть в каждом из этих значений x = nπ будет вертикальная асимптота. При приближении слева значение котангенса будет быстро уменьшаться, а при приближении справа функция будет неограниченно увеличиваться.

Домен

Область определения функции котангенса выражается множеством {x ∈ R / x ≠ nπ, n ∈ Z}. Это читается как «x принадлежит набору действительных чисел, так что x отличается от nπ, а n принадлежит набору целых чисел».

Ранг

Диапазон функции котангенса - от минус до плюс бесконечности. Следовательно, можно сделать вывод, что его ранг - это множество действительных чисел R.

частота

Функция котангенса периодическая, ее период равен π. Таким образом, выполняется равенство Ctg x = Ctg (x + nπ), где n принадлежит Z.

Поведение

Это нечетная функция, поскольку Ctg (-x) = - Ctg x. Таким образом, известно, что функция представляет собой симметрию относительно начала координат. Он также представляет уменьшение каждого интервала, расположенного между двумя последовательными вертикальными асимптотами.

Он не имеет максимальных или минимальных значений из-за того, что его приближения к вертикальным асимптотам представляют поведение, при котором функция увеличивается или уменьшается до бесконечности.

Нули или корни функции котангенса находятся в нечетных кратных π / 2. Это означает, что Ctg x = 0 выполняется для значений вида x = nπ / 2 с n нечетным целым числом.

демонстрация

Есть 2 способа доказать производную функции котангенса.

Тригонометрическое дифференциальное доказательство

Доказана производная функции котангенса от ее эквивалента в синусах и косинусах.

Он рассматривается как производная от разделения функций

После получения факторы группируются, и цель состоит в том, чтобы подражать пифагорейской идентичности.

Подставляя тождества и применяя взаимность, выражение

Доказательство по определению производной

Следующее выражение соответствует производной по определению. Если расстояние между двумя точками функции приближается к нулю.

Подставляя котангенс, получаем:

Идентичности применяются для суммы аргументов и взаимности

Дробь в числителе традиционно оперируется

Исключая противоположные элементы и беря общий множитель, получаем

Применяя пифагорейские тождества и взаимность, мы должны

Элементы, вычисленные в x, являются постоянными по отношению к пределу, поэтому они могут оставить аргумент this. Затем применяются свойства тригонометрических пределов.

Лимит оценивается

Затем это факторизуется, пока не будет достигнуто желаемое значение.

Таким образом, производная котангенса отображается как противоположность квадрата косеканса.

Решенные упражнения

Упражнение 1

На основе функции f (x) определим выражение f '(x)

Соответствующий вывод применяется с соблюдением цепного правила

Вывод аргумента

Иногда для адаптации решений необходимо применять взаимные или тригонометрические тождества.

Упражнение 2.

Определите дифференциальное выражение, соответствующее F (x)

По формуле вывода и с соблюдением цепного правила

Аргумент выводится, а остальное остается прежним.

Получение всех элементов

Традиционное использование продуктов той же базы

Равные элементы складываются и общий множитель извлекается.

Знаки упрощены и управляются. Уступая полностью производному выражению

Ссылки

1. Тригонометрические ряды, Том 1. А. Зигмунд. Издательство Кембриджского университета, 2002 г.
2. Исчисление одной переменной. Рон Ларсон, Брюс Х. Эдвардс. Cengage Learning, 10 ноября 2008
3. Исчисление с тригонометрией и аналитической геометрией. Джон Х. Саксон, Джон Саксон, Фрэнк Ван, Дайана Харви. Саксонские издательства, 1988 г.
4. Многопараметрический анализ. Сатиш Ширали, Харкришан Лал Васудева. Springer Science & Business Media, 13 декабря. 2010
5. Системная динамика: моделирование, моделирование и управление мехатронными системами. Дин К. Карнопп, Дональд Л. Марголис, Рональд К. Розенберг. John Wiley & Sons, 7 марта 2012
6. Исчисление: математика и моделирование. Уильям Баулдри, Джозеф Р. Фидлер, Фрэнк Р. Джордано, Эд Лоди, Рик Витрей. Эддисон Уэсли Лонгман, 1 января 1999