СЧЕТНЫЕ ТЕХНИКИ: ТЕХНИКИ, ПРИЛОЖЕНИЯ, ПРИМЕРЫ, УПРАЖНЕНИЯ - ДУДАС - 2026

Эти методы подсчета представляют собой ряд вероятностных методов для подсчета числа возможных механизмов в наборе или несколько наборов объектов. Они используются, когда учетные записи вручную становятся сложными из-за большого количества объектов и / или переменных.

Например, решение этой проблемы очень простое: представьте, что ваш начальник просит вас подсчитать последние продукты, поступившие за последний час. В этом случае вы можете пойти и пересчитать товары один за другим.

Однако представьте, что проблема заключается в следующем: ваш начальник просит вас подсчитать, сколько групп из 5 продуктов одного типа можно сформировать из тех, которые прибыли за последний час. В этом случае расчет усложняется. Для этого типа ситуаций используются так называемые методы подсчета.

Эти методы разнообразны, но самые важные делятся на два основных принципа: мультипликативный и аддитивный; перестановки и комбинации.

Мультипликативный принцип

Приложения

Принцип мультипликативности вместе с аддитивом являются основными для понимания работы методов счета. В случае с мультипликативом он состоит из следующего:

Представим себе действие, которое включает в себя определенное количество шагов (мы отметим общее количество как «r»), где первый шаг может быть выполнен N1 способами, второй шаг - N2, а шаг «r» - Nr способами. В этом случае действие может быть выполнено с помощью ряда фигур, полученных в результате этой операции: N1 x N2 x ……… .x Nr фигур

Вот почему этот принцип называется мультипликативным, и он подразумевает, что каждый из шагов, необходимых для выполнения действия, должен выполняться один за другим.

пример

Представим себе человека, который хочет построить школу. Для этого учтите, что фундамент здания можно возвести двумя разными способами: из цемента или бетона. Что касается стен, то они могут быть из самана, цемента или кирпича.

Что касается кровли, то она может быть цементной или оцинкованной. Наконец, окончательную окраску можно выполнить только одним способом. Возникает вопрос: сколькими способами он может построить школу?

Сначала мы рассматриваем количество ступеней, на которых будет основание, стены, крыша и краска. Всего 4 ступени, поэтому r = 4.

Ниже следует перечислить N:

N1 = способы построения базы = 2

N2 = способы возведения стен = 3

N3 = способы изготовления крыши = 2

N4 = способы покраски = 1

Следовательно, количество возможных форм будет рассчитано по формуле, описанной выше:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 способов учиться в школе.

Аддитивный принцип

Приложения

Этот принцип очень прост и заключается в том, что в случае наличия нескольких альтернатив для выполнения одной и той же деятельности возможные способы состоят из суммы различных возможных способов выполнения всех альтернатив.

Другими словами, если мы хотим выполнить действие с тремя альтернативами, где первая альтернатива может быть выполнена M способами, вторая - N способами, а последняя - W способами, действие может быть выполнено за: M + N + ……… + W формы.

пример

Представим на этот раз человека, который хочет купить теннисную ракетку. Для этого у вас есть на выбор три бренда: Wilson, Babolat или Head.

Когда вы идете в магазин, вы видите, что ракетку Wilson можно купить с ручкой двух разных размеров, L2 или L3 в четырех разных моделях, и она может быть натянута или снята.

Ракетка Babolat, с другой стороны, имеет три ручки (L1, L2 и L3), есть две разные модели, и она также может быть натянута или снята.

Ракетка Head, в свою очередь, доступна только с одной ручкой, L2, в двух разных моделях и только без струны. Возникает вопрос: сколькими способами этот человек может купить ракетку?

M = количество способов выбора ракетки Wilson

N = количество способов выбрать ракетку Babolat

W = количество способов выбора ракетки для головы

Мы выполняем принцип множителя:

M = 2 x 4 x 2 = 16 форм

N = 3 x 2 x 2 = 12 способов

W = 1 x 2 x 1 = 2 пути

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 способов выбрать ракетку.

Чтобы знать, когда использовать принцип мультипликативности и добавку, вам нужно только посмотреть, есть ли в упражнении ряд шагов, которые необходимо выполнить, и, если есть несколько альтернатив, добавление.

Перестановки

Приложения

Чтобы понять, что такое перестановка, важно объяснить, что такое комбинация, чтобы вы могли различать их и знать, когда их использовать.

Комбинация будет представлять собой расположение элементов, в котором нас не интересует позиция, которую занимает каждый из них.

С другой стороны, перестановка - это расположение элементов, в котором нас интересует позиция, которую занимает каждый из них.

Приведем пример, чтобы лучше понять разницу.

пример

Представим себе класс из 35 учеников и со следующими ситуациями:

1. Учитель хочет, чтобы трое из его учеников помогали ему содержать класс в чистоте или раздавали материалы другим ученикам, когда это необходимо.
2. Учитель хочет назначить делегатов класса (президента, помощника и финансиста).

Решение было бы следующим:

1. Представим, что голосованием выбирают Хуана, Марию и Лусию для уборки класса или доставки материалов. Очевидно, из 35 возможных студентов могли быть сформированы другие группы из трех человек.

Мы должны задать себе следующий вопрос: важен ли порядок или положение каждого ученика при их выборе?

Если мы подумаем об этом, то увидим, что это на самом деле не важно, поскольку группа будет в равной степени отвечать за обе задачи. В данном случае это комбинация, так как нас не интересует положение элементов.

1. А теперь представим, что Хуан избран президентом, Мария - помощником, а Люсия - финансистом.

В таком случае будет ли иметь значение порядок? Ответ - да, потому что, если мы изменим элементы, результат изменится. То есть, если вместо того, чтобы назначить Хуана президентом, мы назначим его помощником, а Марию президентом, окончательный результат изменится. В данном случае это перестановка.

Как только разница будет понятна, мы получим формулы для перестановок и комбинаций. Однако сначала мы должны определить термин "n!" (ene factorial), поскольку он будет использоваться в разных формулах.

n! = произведение от 1 до n.

п! = 1 х 2 х 3 х 4 х ……… ..xn

Используя его с действительными числами:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 10 = 3 628 800

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 5 = 120

Формула для перестановок будет следующей:

nPr = n! / (nr)!

С его помощью мы можем узнать, где порядок важен, а где n элементов различны.

Комбинации

Приложения

Как мы уже комментировали ранее, комбинации - это схемы, при которых нам не важно положение элементов.

Его формула следующая:

nCr = n! / (nr)! r!

пример

Если есть 14 учеников, которые хотят добровольно убирать в классе, сколько групп уборки можно сформировать, если каждая группа должна состоять из 5 человек?

Следовательно, решение будет следующим:

п = 14, г = 5

14C5 = 14! / (14-5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 группы

Решенные упражнения

Упражнение 1

Источник: Pixabay.com

Мать просит Наталью пойти в продуктовый магазин и купить ей газировку, чтобы остыть. Когда Наталья просит продавца выпить, он говорит ей, что существует четыре вкуса безалкогольных напитков, три вида и три размера.

Ароматизаторы безалкогольных напитков могут быть: кола, лимон, апельсин и мята.

Типы колы могут быть: обычная, без сахара, без кофеина.

Размеры могут быть: маленькие, средние и большие.

Мама Натальи не уточнила, какой безалкогольный напиток она хотела, сколько способов у Натальи купить напиток?

Решение

M = Размер и номер типа, которые вы можете выбрать при выборе колы.

N = количество размера и типа, которые вы можете выбрать при выборе лимонной газировки.

W = размер и номер типа, которые вы можете выбрать при выборе апельсиновой газировки.

Y = размер и номер типа, которые вы можете выбрать при выборе мятной газировки.

Мы выполняем принцип множителя:

M = 3 × 3 = 9 путей

N = 3 × 3 = 9 путей

W = 3 × 3 = 9 путей

Y = 3 × 3 = 9 путей

M + N + W + Y = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 способов выбрать газировку.

Упражнение 2.

Источник: pixabay.com

Спортивный клуб рекламирует бесплатные семинары для детей, чтобы научиться кататься на коньках. Набрано 20 детей, поэтому они решают разделить их на две группы по десять человек, чтобы инструкторам было удобнее проводить занятия.

В свою очередь, они решают нарисовать, в какую группу попадет каждый ребенок. В сколько разных групп может войти ребенок?

Решение

В этом случае для поиска ответа используется техника комбинирования, формула которой была такой: nCr = n! / (Nr)! R!

n = 20 (количество детей)

r = 10 (размер группы)

20C10 = 20! / (20-10)! 10! = 20! / 10! 10! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15x 14x 13x 12x 11x 10! / 10! 10! = 184,756 групп.

Ссылки

1. Джеффри Р.К., Вероятность и искусство суждения, Cambridge University Press. (1992).
2. Уильям Феллер, "Введение в теорию вероятностей и ее приложения", (том 1), 3-е издание, (1968), Wiley
3. Финетти, Бруно де (1970). «Логические основы и измерение субъективной вероятности». Acta Psychologica.
4. Хогг, Роберт В.; Крейг, Аллен; Маккин, Джозеф В. (2004). Введение в математическую статистику (6-е изд.). Река Верхний Сэдл: Пирсон.
5. Франклин, Дж. (2001). Наука о предположениях: доказательства и вероятность до Паскаля, издательство Johns Hopkins University Press.