Существует ортогональная матрица, когда упомянутая матрица, умноженная на ее транспонирование, дает единичную матрицу. Если обратная матрица равна транспонированной, то исходная матрица ортогональна.
Ортогональные матрицы обладают тем свойством, что количество строк равно количеству столбцов. Кроме того, векторы-строки являются единичными ортогональными векторами, а транспонированные векторы-строки также являются.
Рисунок 1. Пример ортогональной матрицы и то, как она преобразует геометрические объекты. (Подготовлено Рикардо Пересом)
Когда ортогональная матрица умножается на векторы векторного пространства, она производит изометрическое преобразование, то есть преобразование, которое не изменяет расстояния и сохраняет углы.
Типичным представителем ортогональных матриц являются матрицы вращения. Преобразования ортогональных матриц в векторном пространстве называются ортогональными преобразованиями.
Геометрические преобразования вращения и отражения точек, представленных их декартовыми векторами, выполняются путем применения ортогональных матриц к исходным векторам для получения координат преобразованных векторов. По этой причине ортогональные матрицы широко используются в обработке компьютерной графики.
свойства
Матрица M является ортогональным , если умножить на транспонированной M T дает в результате единичной матрицу I . Точно так же произведение транспонированной ортогональной матрицы на исходную матрицу приводит к единичной матрице:
ММ Т = М Т М = Я
Как следствие предыдущего утверждения, мы имеем, что транспонированная ортогональная матрица равна ее обратной матрице:
М Т = М -1 .
Набор ортогональных матриц размерности nxn образуют ортогональную группу O (n). А подмножество ортогональных матриц O (n) с определителем +1 образуют группу унитарных специальных матриц SU (n). Матрицы группы SU (n) - это матрицы, которые производят линейные преобразования вращения, также известные как группа вращений.
демонстрация
Мы хотим показать, что матрица ортогональна тогда и только тогда, когда векторы-строки (или векторы-столбцы) ортогональны друг другу и имеют норму 1.
Предположим, что строки ортогональной матрицы nxn являются n ортонормированными векторами размерности n. Если это обозначено v 1 , v 2 ,…., V n для n векторов:
Где очевидно, что действительно набор векторов-строк представляет собой набор ортогональных векторов с нормой один.
Примеры
Пример 1
Покажите, что матрица 2 x 2, которая в своей первой строке имеет вектор v1 = (-1 0), а во второй строке вектор v2 = (0 1) является ортогональной матрицей.
Решение: Строится матрица M и вычисляется ее транспонирование M T :
В этом примере матрица M самотранспонирована, то есть матрица и ее транспонирование идентичны. Умножьте M на его транспонированный M T :
Проверено, что MM T равна единичной матрице:
Когда матрица M умножается на координаты вектора или точки, получаются новые координаты, которые соответствуют преобразованию, которое матрица выполняет для вектора или точки.
На рисунке 1 показано, как M преобразует вектор u в u ', а также как M преобразует синий многоугольник в красный многоугольник. Поскольку M ортогонален, тогда это ортогональное преобразование, которое сохраняет расстояния и углы.
Пример 2
Предположим, у вас есть матрица 2 x 2, определенная в вещественных числах, заданных следующим выражением:
Найдите такие реальные значения a, b, c и d, чтобы матрица M была ортогональной.
Решение: По определению матрица ортогональна, если при умножении на ее транспонирование получается единичная матрица. Помня, что транспонированная матрица получается из оригинала, заменяя строки столбцами, получаем следующее равенство:
Выполняя матричное умножение, имеем:
Приравнивая элементы левой матрицы к элементам единичной матрицы справа, мы получаем систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными a, b, c и d.
Мы предлагаем для a, b, c и d следующие выражения в терминах тригонометрических соотношений синуса и косинуса:
Благодаря этому предложению и благодаря фундаментальному тригонометрическому тождеству первое и третье уравнения автоматически удовлетворяются в равенстве матричных элементов. Третье и четвертое уравнения одинаковы и в матричном равенстве после подстановки предложенных значений выглядят так:
что приводит к следующему решению:
В итоге для ортогональной матрицы M получены следующие решения:
Обратите внимание, что первое из решений имеет определитель +1, поэтому оно принадлежит группе SU (2), а второе решение имеет определитель -1 и, следовательно, не принадлежит к этой группе.
Пример 3
Учитывая следующую матрицу, найдите значения a и b, чтобы у нас была ортогональная матрица.
Решение: чтобы данная матрица была ортогональной, произведение с ее транспонированием должно быть единичной матрицей. Затем выполняется матричное произведение данной матрицы на ее транспонированную матрицу, что дает следующий результат:
Затем результат приравнивается к единичной матрице 3 x 3:
Во второй строке третий столбец имеет (ab = 0), но a не может быть равным нулю, потому что в противном случае не выполнялось бы равенство элементов второй строки и второго столбца. Тогда обязательно b = 0. Подставляя b вместо значения 0, получаем:
Затем решается уравнение: 2a ^ 2 = 1, решениями которого являются: + ½√2 и -½√2.
Принимая положительное решение для a, получается следующая ортогональная матрица:
Читатель может легко убедиться, что векторы-строки (а также векторы-столбцы) ортогональны и унитарны, то есть ортонормированы.
Пример 4
Покажите, что матрица A , векторы-строки которой равны v1 = (0, -1 0) , v2 = (1, 0, 0) и v3 = (0 0 -1), является ортогональной матрицей. Дополнительно найденные векторы преобразуются из канонического базиса i, j, k в векторы u1 , u2 и u3 .
Решение: следует помнить, что элемент (i, j) матрицы, умноженный на его транспонирование, является скалярным произведением вектора строки (i) на вектор столбца (j) транспонирования. Кроме того, это произведение равно дельте Кронекера в случае, если матрица ортогональна:
В нашем случае это выглядит так:
v1 • v1 = 0x0 + (-1) x (-1) + 0x0 = 1
v2 • v2 = 1 × 1 + 0x0 + 0x0 = 1
v3 • v3 = 0x0 + 0x0 + (-1) x (-1) = 1
v1 • v2 = 0x1 + (-1) x0 + 0x0 = 0
v2 • v1 = 1 × 0 + 0x (-1) + 0x0 = 0
v2 • v3 = 1 × 0 + 0x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v2 = 0x1 + 0x (0) + (-1) x0 = 0
v1 • v3 = 0x0 + (-1) x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v1 = 0x0 + 0x (-1) + (-1) x0 = 0
При этом показано, что это ортогональная матрица.
Кроме того, u1 = A i = (0, 1, 0); u2 = A j = (-1, 0, 0) и, наконец, u3 = A k = (0, 0, -1)
Ссылки
- Энтони Николаидес (1994) Детерминанты и матрицы. Пройти публикацию.
- Биркгоф и Маклейн. (1980). Современная алгебра, под ред. Висенс-Вивес, Мадрид.
- Кастелейро Вильяльба М. (2004) Введение в линейную алгебру. Редакция ESIC.
- Дэйв Киркби (2004) Maths Connect. Heinemann.
- Дженни Олив (1998) Математика: Руководство по выживанию для студентов. Издательство Кембриджского университета.
- Ричард Дж. Браун (2012) 30-секундная математика: 50 наиболее расширяющих разум теорий в математике. Айви Пресс Лимитед.
- Wikipedia. Ортогональная матрица. Получено с: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Ортогональная матрица. Получено с: en.wikipedia.com