Биномиальное распределение является распределением вероятностей , с помощью которого вероятность наступления события вычисляется, при условии , что они возникают при двух условиях: успех или неудачу.
Эти обозначения (успех или неудача) совершенно произвольны, поскольку они не обязательно означают хорошие или плохие вещи. В этой статье мы укажем математическую форму биномиального распределения, а затем подробно объясним значение каждого термина.
Рис. 1. Бросок матрицы - это явление, которое можно смоделировать с помощью биномиального распределения. Источник: Pixabay.
Уравнение
Уравнение выглядит следующим образом:
При x = 0, 1, 2, 3… .n, где:
- P (x) - вероятность иметь ровно x успехов между n попытками или испытаниями.
- x - переменная, описывающая интересующее явление, соответствующее количеству успехов.
- n количество попыток
- p - вероятность успеха с 1 попытки
- q - вероятность неудачи в 1 попытке, поэтому q = 1 - p
Восклицательный знак "!" используется для факторной записи, поэтому:
0! = 1
один! = 1
два! = 2,1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
И так далее.
концепция
Биномиальное распределение очень подходит для описания ситуаций, в которых событие происходит или не происходит. Если это происходит, то это успех, а если нет, то неудача. Кроме того, вероятность успеха всегда должна оставаться постоянной.
Есть явления, которые подходят этим условиям, например подбрасывание монеты. В этом случае можно сказать, что «успех» становится заметным. Вероятность равна ½ и не меняется независимо от того, сколько раз подбрасывается монета.
Бросок честного кубика - еще один хороший пример, а также разделение определенного производства на хорошие и дефектные и получение красного цвета вместо черного при вращении колеса рулетки.
характеристики
Мы можем резюмировать характеристики биномиального распределения следующим образом:
- Любое событие или наблюдение извлекаются из бесконечной совокупности без замены или из конечной совокупности с заменой.
- Рассматриваются только два взаимоисключающих варианта: успех или неудача, как объяснялось в начале.
- Вероятность успеха должна быть постоянной для любого сделанного наблюдения.
- Результат любого события не зависит от любого другого события.
- Среднее значение биномиального распределения np
- Стандартное отклонение:
Пример применения
Давайте возьмем простое событие, которое может получить 2 решки 5, если бросить честный кубик 3 раза. Какова вероятность того, что за 3 броска выпадут 2 решки из 5?
Для этого есть несколько способов, например:
- Первые два запуска - 5, последний - нет.
- Первый и последний - 5, но не средний.
- Последние два броска - 5, а первый - нет.
Возьмем для примера первую описанную последовательность и вычислим вероятность ее появления. Вероятность выпадения 5 решек в первом броске составляет 1/6, а также во втором, поскольку они являются независимыми событиями.
Вероятность получить другую голову, кроме 5, в последнем броске составляет 1 - 1/6 = 5/6. Следовательно, вероятность того, что эта последовательность выпадет, является произведением вероятностей:
(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0,023
А как насчет двух других последовательностей? У них одинаковая вероятность: 0,023.
А поскольку у нас всего 3 успешных последовательности, общая вероятность будет:
Пример 2
Один университет утверждает, что 80% студентов баскетбольной команды колледжа заканчивают школу. В ходе расследования изучается академическая успеваемость 20 студентов указанной баскетбольной команды, поступивших в университет некоторое время назад.
Из этих 20 студентов 11 закончили учебу и 9 бросили учебу.
Рисунок 2. Практически все студенты, играющие за команду колледжа, выпускники. Источник: Pixabay.
Если утверждение университета верно, то количество студентов, играющих в баскетбол и выпускников, из 20 должно иметь биномиальное распределение с n = 20 и p = 0,8. Какова вероятность того, что ровно 11 из 20 игроков закончат обучение?
Решение
В биномиальном распределении:
Пример 3
Исследователи провели исследование, чтобы определить, есть ли существенные различия в количестве выпускников между студентами-медиками, принятыми по специальным программам, и студентами-медиками, принятыми по обычным критериям приема.
Показатель окончания учебы среди студентов-врачей, принятых по специальным программам, составил 94% (на основе данных из Журнала Американской медицинской ассоциации).
Если случайным образом выбраны 10 студентов специальных программ, найдите вероятность того, что по крайней мере 9 из них окончили обучение.
б) Было бы необычным случайный выбор 10 студентов из специальных программ и обнаружение, что только 7 из них закончили обучение?
Решение
Вероятность того, что поступивший по специальной программе студент закончит учебу, составляет 94/100 = 0,94. Мы выбираем n = 10 студентов из специальных программ и хотим выяснить вероятность того, что как минимум 9 из них закончат обучение.
Затем в биномиальное распределение подставляются следующие значения:
б)
Ссылки
- Беренсон, М. 1985. Статистика для управления и экономики. Interamericana SA
- MathWorks. Биномиальное распределение. Получено с: es.mathworks.com
- Менденхолл, В. 1981. Статистика для управления и экономики. Третий. издание. Grupo Редакционное Ибероамерика.
- Мур, Д. 2005. Прикладная базовая статистика. Второй. Издание.
- Триола, м. 2012. Элементарная статистика. 11. Издание Pearson Education.
- Wikipedia. Биномиальное распределение. Получено с: es.wikipedia.org