ТЕЛЕСКОПИЧЕСКОЕ СУММИРОВАНИЕ: КАК РЕШАЕТСЯ И РЕШАЮТСЯ УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА

Сумма телескопический является филиалом операций числовой ряд. Он имеет дело с суммированием элементов от начального значения до «n» выражений, аргумент которых подчиняется любому из следующих шаблонов:

(F _x - F _{x + 1} ); (F _{x + 1} - F _x )

А также:

Источник: Pixabay.com

Они представляют собой совокупность элементов, которые при разработке подвергаются отмене противоположных терминов. Дает возможность определить следующее равенство для телескопических суммирований:

Его название происходит от связи с внешним видом классического телескопа, который можно складывать и раскладывать, заметно меняя свои размеры. Точно так же телескопические суммирования, которые по своей природе бесконечны, можно резюмировать в упрощенном выражении:

F ₁ - F _{n + 1}

демонстрация

При разработке суммирования терминов устранение факторов вполне очевидно. Где для каждого из случаев противоположные элементы появятся на следующей итерации.

Первый случай, (F _x - F _{x + 1} ), будет взят в качестве примера , так как процесс работает гомологично для (F _{x + 1} –F _x ).

Развитие первых трех значений {1, 2, 3} показывает тенденцию к упрощению

Х ₁ (F ₁ - F _{1 + 1} ) = F ₁ - F ₂

Х ₂ (F ₂ - F _{2 + 1} ) = F ₂ - F ₃

Х ₃ (F ₃ - F _{3 + 1} ) = F ₃ - F ₄

Где при выражении суммы описанных элементов:

Х ₁ + Х ₂ + Х ₃ = F ₁ - F ₂ + F ₂ - F ₃ + F ₃ - F ₄

Замечено, что члены F ₂ и F ₃ описываются вместе со своими противоположностями, что делает их упрощение неизбежным. Таким же образом следует соблюдать условия F ₁ и F ₄ .

Если сумма была сделана от x = 1 до x = 3, это означает, что элемент F ₄ соответствует общему члену F _{n + 1.}

Таким образом демонстрируя равенство:

Как это решается?

Цель телескопического суммирования - облегчить работу, так что нет необходимости разрабатывать бесконечное количество членов или упрощать некоторую слишком длинную цепочку сложений.

Для его разрешения необходимо будет оценить только члены F ₁ и F _{n + 1} . Эти простые замены составляют окончательный результат суммирования.

Совокупность условий выражаться не будет, они необходимы только для демонстрации результата, но не для обычного процесса расчета.

Важно заметить сходимость числового ряда. Иногда аргумент суммирования не может быть выражен телескопически. В этих случаях очень распространены альтернативные методы факторинга.

Характерным методом факторизации в телескопических добавках является метод простых дробей. Это происходит, когда исходная дробь разлагается на сумму нескольких дробей, где можно наблюдать телескопический рисунок (F _x - F _{x + 1} ) или (F _{x + 1} - F _x ).

Разложение на простые фракции

Для проверки сходимости числового ряда очень часто рациональные выражения преобразуют методом простых дробей. Цель состоит в том, чтобы смоделировать сюжет в форме телескопического суммирования.

Например, следующее равенство представляет собой разбиение на простые дроби:

При разработке числового ряда и применении соответствующих свойств выражение принимает следующий вид:

Где ценится телескопическая форма (F _x - F _{x + 1} ).

Процедура довольно интуитивно понятна и заключается в нахождении значений числителя, которые, не нарушая равенства, позволяют разделить продукты, найденные в знаменателе. Уравнения, возникающие при определении этих величин, выводятся на основе сравнений между обеими сторонами равенства.

Эта процедура выполняется поэтапно при разработке упражнения 2.

История

Довольно сомнительно, чтобы можно было определить исторический момент, когда были представлены телескопические суммирования. Однако его реализация начинает проявляться в семнадцатом веке, в исследованиях числовых рядов, проведенных Лейбницем и Гюйгенсом.

Оба математика, исследуя суммы треугольных чисел, начинают замечать тенденции в схождении определенных серий последовательных элементов. Но еще интереснее начало моделирования этих выражений в элементах, которые не обязательно следуют один за другим.

Фактически, выражение, которое раньше использовалось для обозначения простых дробей:

Он был введен Гюйгенсом и сразу же привлек внимание Лейбница. Кто со временем смог наблюдать сходимость к значению 2. Сам того не зная, он реализовал телескопический формат суммирования.

упражнения

Упражнение 1

Определите, к какому члену сходится следующая сумма:

При ручном формировании суммы наблюдается следующая картина:

(2 ³ - 2 ⁴ ) + (2 ⁴ - 2 ⁵ ) + (2 ⁵ - 2 ⁶ ). . . . (2 ¹⁰ - 2 ¹¹ )

Где множители от 2 ⁴ до 2 ¹⁰ представляют положительную и отрицательную части, что делает их отмену очевидной. Тогда единственными факторами, которые не будут упрощаться, будут первые «2 ³ » и последние «2 ¹¹ ».

Таким образом, при реализации критерия телескопического суммирования получаем:

Упражнение 2.

Преобразуйте аргумент в суммирование телескопического типа и определите сходимость ряда:

Как указано в заявлении, первое, что нужно сделать, - это разложить на простые дроби, чтобы переформулировать аргумент и выразить его телескопическим способом.

Вы должны найти 2 дроби, знаменатели которых равны соответственно «n» и «n + 1», где используемый ниже метод должен получить значения числителя, удовлетворяющие равенству.

Переходим к определению значений A и B. Сначала складываем дроби.

Затем знаменатели упрощаются и устанавливается линейное уравнение.

На следующем этапе используется выражение справа, пока не будет получен образец, сравнимый с цифрой «3» слева.

Чтобы определить уравнения, которые будут использоваться, необходимо сравнить результаты обеих частей равенства. Другими словами, значения переменной n слева не наблюдаются, поэтому A + B должно быть равно нулю.

А + В = 0; А = -В

С другой стороны, постоянное значение A должно быть равно постоянному значению 3.

А = 3

Таким образом.

А = 3 и В = -3

После того, как значения числителя для простых дробей уже определены, суммирование пересчитывается.

Где уже достигнута общая форма телескопического суммирования. Разработана телескопическая серия.

Если при делении на очень большое число результат будет все ближе и ближе к нулю, наблюдая сходимость ряда к значению 3.

Этот тип серий невозможно решить другим способом из-за бесконечного количества итераций, которые определяют проблему. Однако этот метод, наряду со многими другими, образует раздел изучения числовых рядов, целью которого является определение значений сходимости или определение дивергенции указанного ряда.

Ссылки

Уроки исчисления бесконечно малых. Мануэль Франко, Мануэль Франко Николас, Франсиско Мартинес Гонсалес, Роке Молина Легас. РЕДАКЦИЯ, 1994.
Интегральное исчисление: последовательности и ряды функций. Антонио Ривера Фигероа. Grupo Редакционное Patria, 21 окт. 2014 г.
Курс исчисления и реального анализа. Судхир Р. Горпаде, Балмохан В. Лимай. Springer Science & Business Media, 5 июня. 2006 г.
Бесконечная серия. Томлинсон Форт. Clarendon Press, 1930.
Элементы теории бесконечных процессов. Ллойд Лерой Смейл. McGraw-Hill Book Company, Incorporated, 1923 г.

ТЕЛЕСКОПИЧЕСКОЕ СУММИРОВАНИЕ: КАК РЕШАЕТСЯ И РЕШАЮТСЯ УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025