ВОСЬМЕРИЧНАЯ СИСТЕМА: ИСТОРИЯ, СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ, ПРЕОБРАЗОВАНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

Восьмеричная система является база восемь (8) позиционная системой нумерации; то есть оно состоит из восьми цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Следовательно, каждая цифра восьмеричного числа может иметь любое значение от 0 до 7. Восьмеричные числа они образованы из двоичных чисел.

Это так, потому что его основание - это точная степень двойки (2). То есть числа, принадлежащие восьмеричной системе, образуются, когда они группируются в три последовательные цифры, упорядоченные справа налево, таким образом получая их десятичное значение.

История

Восьмеричная система берет свое начало в древние времена, когда люди руками считали животных от восьми до восьми.

Например, чтобы подсчитать количество коров в стойле, считали правой рукой, соединяя большой палец с мизинцем; Затем, чтобы сосчитать второе животное, большой палец был соединен с указательным пальцем и так далее с остальными пальцами каждой руки, пока не получилось 8.

Есть вероятность, что в древности восьмеричная система счисления использовалась раньше десятичной, чтобы иметь возможность считать межпальцевые пробелы; то есть считать все пальцы, кроме больших.

Позже была создана восьмеричная система счисления, которая произошла от двоичной системы, потому что для представления только одного числа требуется много цифр; с тех пор были созданы восьмеричные и гексагональные системы, которые не требуют такого количества цифр и могут быть легко преобразованы в двоичную систему.

Восьмеричная система счисления

Восьмеричная система состоит из восьми цифр от 0 до 7. Они имеют то же значение, что и в случае десятичной системы, но их относительное значение изменяется в зависимости от позиции, которую они занимают. Значение каждой позиции дается степенями основания 8.

Позиции цифр в восьмеричном числе имеют следующие веса:

8 ⁴ , 8 ³ , 8 ² , 8 ¹ , 8 ⁰ , восьмеричная точка, ^8-1 , ^8-2 , ^8-3 , ^8-4 , ^8-5 .

Самая большая восьмеричная цифра - 7; таким образом, при подсчете в этой системе позиция цифры увеличивается с 0 до 7. Когда достигается 7, она возвращается в 0 для следующего подсчета; таким образом увеличивается позиция следующей цифры. Например, для подсчета последовательностей в восьмеричной системе это будет:

• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10.
• 53, 54, 55, 56, 57, 60.
• 375, 376, 377, 400.

К восьмеричной системе применяется основная теорема, которая выражается следующим образом:

В этом выражении di представляет собой цифру, умноженную на степень основания 8, которая указывает разряд каждой цифры, так же, как это упорядочено в десятичной системе.

Например, у вас есть номер 543,2. Чтобы привести его к восьмеричной системе, он разбивается следующим образом:

N = ∑ = (5 * 64) + (4 * 8) + (2 * 1) + (2 * 0,125)

N = 320 +32 + 2 + 0,25 = 354 + 0,25 _d

Таким образом, имеем 543,2 _q = 354,25 _d . Нижний индекс q указывает, что это восьмеричное число, которое также может быть представлено числом 8; а нижний индекс d относится к десятичному числу, которое также может быть представлено числом 10.

Преобразование восьмеричной системы в десятичную.

Чтобы преобразовать число из восьмеричной системы в его эквивалент в десятичной системе, просто умножьте каждую восьмеричную цифру на ее разрядное значение, начиная справа.

Пример 1

732 ₈ = (7 _* 8 ² ) + (3 _* 8 ¹ ) + (2 _* 8 ⁰ ) = (7 _* 64) + (3 _* 8) + (2 _* 1)

732 ₈ = 448 +24 +2

732 ₈ = 474 ₁₀

Пример 2

26,9 ₈ = (2 _* 8 ¹ ) + (6 _* 8 ⁰ ) + (9 _* 8 ^-1 ) = (2 _* 8) + (6 _* 1) + (9 _* 0,125)

26,9 ₈ = 16 + 6 + 1,125

26,9 ₈ = 23,125 ₁₀

Преобразование десятичной системы в восьмеричную.

Десятичное целое число можно преобразовать в восьмеричное число, используя метод повторного деления, где десятичное целое число делится на 8, пока частное не станет равным 0, а остатки каждого деления будут представлять восьмеричное число.

Остатки отсортированы от последнего к первому; то есть первый остаток будет наименее значащей цифрой восьмеричного числа. Таким образом, самая значимая цифра будет последним остатком.

пример

Десятичное число Восьмеричное 266 ₁₀

- Разделите десятичное число 266 на 8 = 266/8 = 33 + остаток 2.

- Затем разделите 33 на 8 = 33/8 = 4 + остаток от 1.

- Разделите 4 на 8 = 4/8 = 0 + остаток от 4.

Поскольку при последнем делении получается частное меньше 1, это означает, что результат был найден; Вам нужно только упорядочить остатки в обратном порядке, таким образом, чтобы восьмеричное число десятичного числа 266 было 412, как можно увидеть на следующем изображении:

Преобразование восьмеричной системы в двоичную

Преобразование восьмеричной системы в двоичную осуществляется путем преобразования восьмеричной цифры в эквивалентную двоичную цифру, состоящую из трех цифр. Существует таблица, в которой показано, как преобразовываются восемь возможных цифр:

Из этих преобразований можно изменить любое число из восьмеричной системы в двоичную, например, для преобразования числа 572 ₈ ищем его эквиваленты в таблице. Таким образом, вам необходимо:

5 ₈ = 101

7 ₈ = 111

2 ₈ = 10

Следовательно, 572 ₈ в двоичной системе эквивалентно 10111110.

Преобразование из двоичного в восьмеричное

Процесс преобразования двоичных целых чисел в восьмеричные целые числа противоположен предыдущему процессу.

То есть биты двоичного числа сгруппированы в две группы по три бита, начиная справа налево. Затем преобразование из двоичного в восьмеричное выполняется с помощью таблицы выше.

В некоторых случаях двоичное число не будет иметь группы по 3 бита; для его завершения слева от первой группы добавляется один или два нуля.

Например, чтобы изменить двоичное число 11010110 на восьмеричное, выполните следующие действия:

- Группы по 3 бита формируются справа (последний бит):

11010110

- Поскольку первая группа неполная, добавляется начальный ноль:

011010110

- Преобразование производится из таблицы:

011 = 3

010 = 2

110 = 6

Таким образом, двоичное число 011010110 равно 326 ₈ .

Преобразование из восьмеричного в шестнадцатеричное и наоборот

Чтобы перейти с восьмеричного числа на шестнадцатеричную или с шестнадцатеричной на восьмеричную, необходимо сначала преобразовать число в двоичную, а затем в желаемую систему.

Для этого существует таблица, в которой каждая шестнадцатеричная цифра представлена ​​своим эквивалентом в двоичной системе, состоящим из четырех цифр.

В некоторых случаях двоичное число не будет иметь группы по 4 бита; для его завершения слева от первой группы добавляется один или два нуля

пример

Преобразуйте восьмеричное число 1646 в шестнадцатеричное:

- Преобразование числа из восьмеричного в двоичное

1 ₈ = 1

6 ₈ = 110

4 ₈ = 100

6 ₈ = 110

- Итак, 1646 ₈ = 1110100110.

- Чтобы преобразовать из двоичного в шестнадцатеричный, они сначала упорядочиваются в группе из 4 бит, начиная справа налево:

11 1010 0110

- Первая группа дополняется нулями, поэтому в ней может быть 4 бита:

0011 1010 0110

- Преобразование из двоичного в шестнадцатеричное выполнено. Эквивалентности подставляются с помощью таблицы:

0011 = 3

1010 = А

0110 = 6

Таким образом, восьмеричное число 1646 равно 3A6 в шестнадцатеричной системе.

Ссылки

1. Брессан, AE (1995). Введение в системы нумерации. Аргентинский университет компании.
2. Харрис, Дж. Н. (1957). Введение в системы двоичной и восьмеричной нумерации: Lexington, Mass. Armed Services Technical Information Agency.
3. Кумар, АА (2016). Основы цифровых схем. Learning Pvt.
4. Перис, XC (2009). Единые оперативные системы.
5. Рональд Дж. Токчи, Н.С. (2003). Цифровые системы: принципы и приложения. Pearson Education.