СИЛОВАЯ СЕРИЯ: ПРИМЕРЫ И УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

Степенной ряд состоит из суммирования слагаемых в виде степеней переменного х, или в более общем случае , хс, где с представляет собой постоянное действительное число. В суммировании ряд степеней выражается следующим образом:

Где коэффициенты a _o , a ₁ , a ₂ … являются действительными числами, а ряд начинается с n = 0.

Рисунок 1. Определение степенного ряда. Источник: Ф. Сапата.

Этот ряд основан на значении c, которое является постоянным, но вы можете выбрать, чтобы c было равно 0, и в этом случае степенной ряд упрощается до:

Серии начинаются с a _или (xc) ⁰ и a _или x ⁰ соответственно. Но мы знаем, что:

(хс) ⁰ = х ⁰ = 1

Следовательно, a _o (xc) ⁰ = a _или x ⁰ = a _o (независимый член)

Преимущество степенных рядов в том, что с их помощью можно выражать функции, и это дает много преимуществ, особенно если вы хотите работать со сложной функцией.

В этом случае вместо прямого использования функции используйте ее разложение в степенной ряд, что может быть проще для получения, интегрирования или численной обработки.

Конечно, все обусловлено сходимостью серий. Ряд сходится, когда добавление определенного большого количества членов дает фиксированное значение. И если мы добавим еще несколько терминов, мы продолжим получать это значение.

Функции как Power Series

В качестве примера функции, выраженной в виде степенного ряда, возьмем f (x) = e ^x .

Эта функция может быть выражена через ряд степеней следующим образом:

и ^х ≈ 1 + х + (х ² /2!) + (х ³ /3!) + (х ⁴ /4!) + (х ⁵ /5!) + …

Куда! = п. (п-1). (п-2). (n-3)… и требуется 0! = 1.

Мы собираемся проверить с помощью калькулятора, действительно ли ряд совпадает с явно заданной функцией. Например, давайте начнем с того, что сделаем x = 0.

Мы знаем, что e ⁰ = 1. Посмотрим, что делает ряд:

и ⁰ ≈ 1 + 0 + (0 ² /2!) + (0 ³ /3!) + (0 ⁴ /4!) + (0 ⁵ /5!) + … = 1

А теперь попробуем x = 1. Калькулятор возвращает, что e ¹ = 2,71828, а затем давайте сравним с рядом:

и ¹ ≈ 1 + 1 + (1 ² /2) + (1 ³ /3!) + (1 ⁴ /4!) + (1 ⁵ /5!) + … = 2 + 0,5000 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 +… ≈ 2,7167

Всего с 5 членами мы уже имеем точное совпадение в e ≈ 2,71. Нашему ряду осталось немного больше, но по мере добавления дополнительных членов ряд, безусловно, сходится к точному значению e. Представление точное при n → ∞.

Если предыдущий анализ повторить для n = 2, будут получены очень похожие результаты.

Таким образом, мы уверены, что экспоненциальная функция f (x) = e ^x может быть представлена ​​этой серией степеней:

Рисунок 2. На этой анимации мы видим, как степенной ряд приближается к экспоненциальной функции по мере того, как берется больше членов. Источник: Wikimedia Commons.

Геометрический ряд степеней

Функция f (x) = e ^x - не единственная функция, которая поддерживает представление степенного ряда. Например, функция f (x) = 1/1 - x очень похожа на хорошо известный сходящийся геометрический ряд:

Достаточно сделать a = 1 и r = x, чтобы получить подходящий для этой функции ряд с центром c = 0:

Однако известно, что этот ряд сходится при r│ <1, поэтому представление верно только в интервале (-1,1), хотя функция верна для всех x, кроме x = 1.

Если вы хотите определить эту функцию в другом диапазоне, вы просто сосредотачиваетесь на подходящем значении, и все готово.

Как найти разложение в ряд по степеням функции

Любая функция может быть развита в степенной ряд с центром на c, если у нее есть производные всех порядков при x = c. В этой процедуре используется следующая теорема, называемая теоремой Тейлора:

Пусть f (x) - функция с производными порядка n, обозначенная как f ⁽ⁿ⁾ , которая допускает разложение в ряд по степеням на интервале I. Его серийное развитие Тейлора:

Так что:

Где R _n , который является n-м членом ряда, называется остатком:

При c = 0 серия называется рядом Маклорена.

Этот ряд, приведенный здесь, идентичен ряду, приведенному в начале, только теперь у нас есть способ явно найти коэффициенты каждого члена, заданные следующим образом:

Однако мы должны убедиться, что ряд сходится к представляемой функции. Бывает, что не каждый ряд Тейлора обязательно сходится к функции f (x), которая учитывалась при вычислении коэффициентов при _n .

Это происходит потому, что, возможно, производные функции, вычисленные при x = c, совпадают с тем же значением производных другой функции, также при x = c. В этом случае коэффициенты будут такими же, но развитие будет неоднозначным, так как неизвестно, какой функции они соответствуют.

К счастью, есть способ узнать:

Критерий сходимости

Во избежание неоднозначности, если R _n → 0 при n → ∞ для всех x в интервале I, ряд сходится к f (x).

Упражнение

- Упражнение решено 1

Найдите геометрический степенной ряд для функции f (x) = 1/2 - x с центром c = 0.

Решение

Данная функция должна быть выражена так, чтобы она как можно ближе совпадала с 1 / 1- x, ряд которой известен. Итак, давайте перепишем числитель и знаменатель, не изменяя исходное выражение:

1/2 - х = (1/2) /

Поскольку ½ является константой, она получается в результате суммирования и записывается в терминах новой переменной x / 2:

Обратите внимание, что x = 2 не принадлежит области определения функции, и согласно критерию сходимости, приведенному в разделе «Геометрические степенные ряды», разложение действительно для │x / 2│ <1 или, что эквивалентно, -2 <x <2.

- Упражнение выполнено 2

Найдите первые 5 членов разложения в ряд Маклорена функции f (x) = sin x.

Решение

Шаг 1

Сначала производные:

-Производная порядка 0: это та же функция f (x) = sin x

-Первая производная: (sin x) ´ = cos x

-Вторая производная: (sin x) ´´ = (cos x) ´ = - sin x

-Третья производная: (sin x) ´´´ = (-sen x) ´ = - cos x

-Четвертая производная: (sin x) ´´´´ = (- cos x) ´ = sin x

Шаг 2

Затем каждая производная оценивается при x = c, как и разложение Маклорена, c = 0:

грех 0 = 0; cos 0 = 1; - грех 0 = 0; -cos 0 = -1; грех 0 = 0

Шаг 3

Коэффициенты a _{n построены} ;

а _о = 0/0! = 0; а ₁ = 1/1! = 1; а ₂ = 0/2! = 0; а ₃ = -1 / 3!; а ₄ = 0/4! = 0

Шаг 4

В итоге серия собрана по:

sin x ≈ 0.x ⁰ + 1. x ¹ + 0 .x ² - (1/3!) x ³ + 0.x ⁴ … = x - (1/3!)) x ³ +…

Читателю нужно больше терминов? Насколько больше, серия ближе к функции.

Обратите внимание, что в коэффициентах есть образец, следующий ненулевой член - это _5, и все члены с нечетным индексом также отличаются от 0, чередуя знаки, так что:

sin x ≈ x - (1/3!)) x ³ + (1/5!)) x ⁵ - (1/7!)) x ⁷ +….

Это оставлено как упражнение, чтобы проверить, что он сходится, фактор-критерий может использоваться для сходимости ряда.

Ссылки

1. Фундамент СК-12. Power Series: представление функций и операций. Получено с: ck12.org.
2. Энглер, А. 2019. Интегральное исчисление. Национальный университет Литорала.
3. Ларсон, Р. 2010. Вычисление переменной. 9-е. Издание. Макгроу Хилл.
4. Бесплатные тексты по математике. Силовая серия. Получено с: math.liibretexts.org.
5. Wikipedia. Силовая серия. Получено с: es.wikipedia.org.