- Функции как Power Series
- Геометрический ряд степеней
- Как найти разложение в ряд по степеням функции
- Упражнение
- - Упражнение решено 1
- Решение
- - Упражнение выполнено 2
- Решение
- Шаг 1
- Шаг 2
- Шаг 3
- Шаг 4
- Ссылки
Степенной ряд состоит из суммирования слагаемых в виде степеней переменного х, или в более общем случае , хс, где с представляет собой постоянное действительное число. В суммировании ряд степеней выражается следующим образом:
Где коэффициенты a o , a 1 , a 2 … являются действительными числами, а ряд начинается с n = 0.
Рисунок 1. Определение степенного ряда. Источник: Ф. Сапата.
Этот ряд основан на значении c, которое является постоянным, но вы можете выбрать, чтобы c было равно 0, и в этом случае степенной ряд упрощается до:
Серии начинаются с a или (xc) 0 и a или x 0 соответственно. Но мы знаем, что:
(хс) 0 = х 0 = 1
Следовательно, a o (xc) 0 = a или x 0 = a o (независимый член)
Преимущество степенных рядов в том, что с их помощью можно выражать функции, и это дает много преимуществ, особенно если вы хотите работать со сложной функцией.
В этом случае вместо прямого использования функции используйте ее разложение в степенной ряд, что может быть проще для получения, интегрирования или численной обработки.
Конечно, все обусловлено сходимостью серий. Ряд сходится, когда добавление определенного большого количества членов дает фиксированное значение. И если мы добавим еще несколько терминов, мы продолжим получать это значение.
Функции как Power Series
В качестве примера функции, выраженной в виде степенного ряда, возьмем f (x) = e x .
Эта функция может быть выражена через ряд степеней следующим образом:
и х ≈ 1 + х + (х 2 /2!) + (х 3 /3!) + (х 4 /4!) + (х 5 /5!) + …
Куда! = п. (п-1). (п-2). (n-3)… и требуется 0! = 1.
Мы собираемся проверить с помощью калькулятора, действительно ли ряд совпадает с явно заданной функцией. Например, давайте начнем с того, что сделаем x = 0.
Мы знаем, что e 0 = 1. Посмотрим, что делает ряд:
и 0 ≈ 1 + 0 + (0 2 /2!) + (0 3 /3!) + (0 4 /4!) + (0 5 /5!) + … = 1
А теперь попробуем x = 1. Калькулятор возвращает, что e 1 = 2,71828, а затем давайте сравним с рядом:
и 1 ≈ 1 + 1 + (1 2 /2) + (1 3 /3!) + (1 4 /4!) + (1 5 /5!) + … = 2 + 0,5000 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 +… ≈ 2,7167
Всего с 5 членами мы уже имеем точное совпадение в e ≈ 2,71. Нашему ряду осталось немного больше, но по мере добавления дополнительных членов ряд, безусловно, сходится к точному значению e. Представление точное при n → ∞.
Если предыдущий анализ повторить для n = 2, будут получены очень похожие результаты.
Таким образом, мы уверены, что экспоненциальная функция f (x) = e x может быть представлена этой серией степеней:
Рисунок 2. На этой анимации мы видим, как степенной ряд приближается к экспоненциальной функции по мере того, как берется больше членов. Источник: Wikimedia Commons.
Геометрический ряд степеней
Функция f (x) = e x - не единственная функция, которая поддерживает представление степенного ряда. Например, функция f (x) = 1/1 - x очень похожа на хорошо известный сходящийся геометрический ряд:
Достаточно сделать a = 1 и r = x, чтобы получить подходящий для этой функции ряд с центром c = 0:
Однако известно, что этот ряд сходится при r│ <1, поэтому представление верно только в интервале (-1,1), хотя функция верна для всех x, кроме x = 1.
Если вы хотите определить эту функцию в другом диапазоне, вы просто сосредотачиваетесь на подходящем значении, и все готово.
Как найти разложение в ряд по степеням функции
Любая функция может быть развита в степенной ряд с центром на c, если у нее есть производные всех порядков при x = c. В этой процедуре используется следующая теорема, называемая теоремой Тейлора:
Пусть f (x) - функция с производными порядка n, обозначенная как f (n) , которая допускает разложение в ряд по степеням на интервале I. Его серийное развитие Тейлора:
Так что:
Где R n , который является n-м членом ряда, называется остатком:
При c = 0 серия называется рядом Маклорена.
Этот ряд, приведенный здесь, идентичен ряду, приведенному в начале, только теперь у нас есть способ явно найти коэффициенты каждого члена, заданные следующим образом:
Однако мы должны убедиться, что ряд сходится к представляемой функции. Бывает, что не каждый ряд Тейлора обязательно сходится к функции f (x), которая учитывалась при вычислении коэффициентов при n .
Это происходит потому, что, возможно, производные функции, вычисленные при x = c, совпадают с тем же значением производных другой функции, также при x = c. В этом случае коэффициенты будут такими же, но развитие будет неоднозначным, так как неизвестно, какой функции они соответствуют.
К счастью, есть способ узнать:
Критерий сходимости
Во избежание неоднозначности, если R n → 0 при n → ∞ для всех x в интервале I, ряд сходится к f (x).
Упражнение
- Упражнение решено 1
Найдите геометрический степенной ряд для функции f (x) = 1/2 - x с центром c = 0.
Решение
Данная функция должна быть выражена так, чтобы она как можно ближе совпадала с 1 / 1- x, ряд которой известен. Итак, давайте перепишем числитель и знаменатель, не изменяя исходное выражение:
1/2 - х = (1/2) /
Поскольку ½ является константой, она получается в результате суммирования и записывается в терминах новой переменной x / 2:
Обратите внимание, что x = 2 не принадлежит области определения функции, и согласно критерию сходимости, приведенному в разделе «Геометрические степенные ряды», разложение действительно для │x / 2│ <1 или, что эквивалентно, -2 <x <2.
- Упражнение выполнено 2
Найдите первые 5 членов разложения в ряд Маклорена функции f (x) = sin x.
Решение
Шаг 1
Сначала производные:
-Производная порядка 0: это та же функция f (x) = sin x
-Первая производная: (sin x) ´ = cos x
-Вторая производная: (sin x) ´´ = (cos x) ´ = - sin x
-Третья производная: (sin x) ´´´ = (-sen x) ´ = - cos x
-Четвертая производная: (sin x) ´´´´ = (- cos x) ´ = sin x
Шаг 2
Затем каждая производная оценивается при x = c, как и разложение Маклорена, c = 0:
грех 0 = 0; cos 0 = 1; - грех 0 = 0; -cos 0 = -1; грех 0 = 0
Шаг 3
Коэффициенты a n построены ;
а о = 0/0! = 0; а 1 = 1/1! = 1; а 2 = 0/2! = 0; а 3 = -1 / 3!; а 4 = 0/4! = 0
Шаг 4
В итоге серия собрана по:
sin x ≈ 0.x 0 + 1. x 1 + 0 .x 2 - (1/3!) x 3 + 0.x 4 … = x - (1/3!)) x 3 +…
Читателю нужно больше терминов? Насколько больше, серия ближе к функции.
Обратите внимание, что в коэффициентах есть образец, следующий ненулевой член - это 5, и все члены с нечетным индексом также отличаются от 0, чередуя знаки, так что:
sin x ≈ x - (1/3!)) x 3 + (1/5!)) x 5 - (1/7!)) x 7 +….
Это оставлено как упражнение, чтобы проверить, что он сходится, фактор-критерий может использоваться для сходимости ряда.
Ссылки
- Фундамент СК-12. Power Series: представление функций и операций. Получено с: ck12.org.
- Энглер, А. 2019. Интегральное исчисление. Национальный университет Литорала.
- Ларсон, Р. 2010. Вычисление переменной. 9-е. Издание. Макгроу Хилл.
- Бесплатные тексты по математике. Силовая серия. Получено с: math.liibretexts.org.
- Wikipedia. Силовая серия. Получено с: es.wikipedia.org.