КВАДРАТИЧНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ: ПРИМЕРЫ, ПРАВИЛА И РЕШЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

В Квадратичные сукцессии , в математических терминах, состоят из последовательностей чисел , которые следуют определенному правилу арифметики. Интересно знать это правило для определения любого из членов последовательности.

Один из способов сделать это - определить разницу между двумя последовательными членами и посмотреть, всегда ли повторяется полученное значение. В этом случае говорят, что это регулярная последовательность.

Числовые последовательности - это способ организации последовательностей чисел. Источник: pixabay.com

Но если это не повторяется, то вы можете попробовать изучить разницу между различиями и посмотреть, является ли это значение постоянным. Если да, то это квадратичная последовательность .

Примеры регулярных последовательностей и квадратичных последовательностей

Следующие примеры помогают прояснить то, что было объяснено до сих пор:

Пример регулярной преемственности

Пусть последовательность S = {4, 7, 10, 13, 16, ……}

Эта последовательность, обозначаемая S, представляет собой бесконечное число, в данном случае целые числа.

Видно, что это обычная последовательность, потому что каждый член получается добавлением 3 к предыдущему члену или элементу:

4

4 + 3 = 7

7+ 3 = 10

10+ 3 = 13

13+ 3 = 16

Другими словами: эта последовательность регулярна, потому что разница между следующим термином и предыдущим дает фиксированное значение. В приведенном примере это значение равно 3.

Регулярные последовательности, которые получаются добавлением фиксированной величины к предыдущему члену, также называются арифметическими прогрессиями. А постоянная разница между последовательными членами называется отношением и обозначается как R.

Пример нерегулярной и квадратичной последовательности

Теперь посмотрим на следующую последовательность:

S = {2, 6, 12, 20, 30,….}

При вычислении последовательных разностей получаются следующие значения:

6-2 = 4

12-6 = 6

20–12 = 8

30-20 = 10

Их различия непостоянны, поэтому можно сказать, что это НЕ регулярная последовательность.

Однако, если мы рассмотрим набор различий, у нас есть другая последовательность, которая будет обозначаться как S _diff :

S _diff = {4, 6, 8, 10,….}

Эта новая последовательность действительно является регулярной последовательностью, поскольку каждый член получается добавлением фиксированного значения R = 2 к предыдущему. Поэтому можно утверждать, что S - квадратичная последовательность.

Общее правило построения квадратичной последовательности

Существует общая формула для построения квадратичной последовательности:

Т _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C

В этой формуле T _n - это член в позиции n последовательности. A, B и C - фиксированные значения, тогда как n изменяется одно за другим, то есть 1, 2, 3, 4, …

В последовательности S предыдущего примера A = 1, B = 1 и C = 0. Отсюда следует, что формула, генерирующая все члены, следующая: T _n = n ² + n

То есть:

Т ₁ = 1 ² + 1 = 2

Т ₂ = 2 ² + 2 = 6

Т ₃ = 3 ² + 3 = 12

Т ₅ = 5 ² + 5 = 30

Т _п = п ² + п

Разница между двумя последовательными членами квадратичной последовательности

Т _{п + 1} - Т _п = -

Развитие самовыражения с помощью замечательного продукта остается:

T _{n + 1} - T _n = A ∙ n ² + A ∙ 2 ∙ n + A + B ∙ n + B + C - A ∙ n ² - B ∙ n - C

Упростив его, вы получите:

Т _{н + 1} - Т _н = 2 ∙ А ∙ п + А + В

Это формула, дающая последовательность различий S _Dif, которую можно записать так:

Разница _n = A ∙ (2n + 1) + B

Где явно следующий член - 2 ∙ Иногда предыдущий. То есть отношение последовательности разностей S _diff составляет: R = 2 ∙ A.

Решенные задачи квадратичных последовательностей

Упражнение 1

Пусть последовательность S = {1, 3, 7, 13, 21, ……}. Определите, если:

i) Регулярно это или нет

ii) Квадратичный он или нет

iii) Он был квадратичным, последовательность разностей и их соотношение

Ответы

i) Рассчитаем разницу между следующим и предыдущим терминами:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

Мы можем утверждать, что последовательность S не регулярна, потому что разница между последовательными членами непостоянна.

ii) Последовательность разностей регулярна, потому что разница между ее членами - постоянное значение 2. Следовательно, исходная последовательность S является квадратичной.

iii) Мы уже определили, что S квадратична, последовательность разностей:

S _dif = {2, 4, 6, 8,…} и его отношение R = 2.

Упражнение 2.

Пусть последовательность S = {1, 3, 7, 13, 21, ……} из предыдущего примера, где было проверено, что она квадратичная. Определите:

i) Формула, определяющая общий член T _n.

ii) Отметьте третий и пятый термины.

iii) Значение десятого члена.

Ответы

i) Общая формула T _n : A ∙ n ² + B ∙ n + C. Затем остается узнать значения A, B и C.

Последовательность разностей имеет отношение 2. Кроме того, для любой квадратичной последовательности отношение R равно 2 ∙ A, как показано в предыдущих разделах.

R = 2 ∙ A = 2, что приводит нас к выводу, что A = 1.

Первый член последовательности разностей S _Dif равен 2 и должен удовлетворять условию A ∙ (2n + 1) + B с n = 1 и A = 1, то есть:

2 = 1 ∙ (2 ∙ 1 + 1) + B

решая для B, получаем: B = -1

Тогда первый член S (n = 1) стоит 1, то есть: 1 = A ∙ 1 ² + B ∙ 1 + C. Как мы уже знаем, что A = 1 и B = -1, заменяя мы имеем:

1 = 1 ∙ 1 ² + (-1) ∙ 1 + С

Решая для C, получаем его значение: C = 1.

В итоге:

A = 1, B = -1 и C = 1

Тогда n-й член будет T _n = n ² - n + 1

ii) Третий член T ₃ = 3 ² - 3 + 1 = 7, и это проверено. Пятый T ₅ = 5 ² - 5 + 1 = 21, что тоже проверено.

iii) Десятый член будет T ₁₀ = 10 ² - 10 + 1 = 91.

Упражнение 3.

Последовательность разделов Упражнения 3. Источник: собственная разработка.

На рисунке показана последовательность из пяти цифр. Решетка представляет собой единицу длины.

i) Определите последовательность расположения фигур.

ii) Покажите, что это квадратичная последовательность.

iii) Найдите область на Рисунке № 10 (не показана).

Ответы

i) Последовательность S, соответствующая области последовательности цифр:

S = {0, 2, 6, 12, 20 ,. . . . . }

ii) Последовательность, соответствующая последовательным разностям членов S:

S _diff = {2, 4, 6, 8 ,. . . . . }

Поскольку разница между последовательными членами непостоянна, то S не является регулярной последовательностью. Остается узнать, квадратична ли она, для чего мы снова делаем последовательность разностей, получая:

{2, 2, 2, …….}

Поскольку все члены последовательности повторяются, подтверждается, что S - квадратичная последовательность.

iii) Последовательность S _dif регулярна, и ее отношение R равно 2. Используя уравнение, показанное выше, R = 2 ∙ A, остается:

2 = 2 ∙ A, откуда следует, что A = 1.

Второй член последовательности разностей S _Dif равен 4, а n-й член S _Dif равен

A ∙ (2n + 1) + B.

У второго члена n = 2. Кроме того, уже было определено, что A = 1, поэтому, используя предыдущее уравнение и подставляя, мы имеем:

4 = 1 ∙ (2 ∙ 2 + 1) + B

Решая относительно B, получаем: B = -1.

Известно, что второй член S стоит 2 и что он должен удовлетворять формуле общего члена с n = 2:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C; n = 2; А = 1; В = -1; Т ₂ = 2

Так сказать

2 = 1 ∙ 2 ² - 1 ∙ 2 + С

Делается вывод, что C = 0, то есть формула, дающая общий член последовательности S:

Т _n = 1 ∙ n ² - 1 ∙ n +0 = n ² - n

Сейчас проверяется пятый срок:

Т ₅ = 5 ² - 5 = 20

iii) На рисунке №10, который здесь не был нарисован, будет область, соответствующая десятому члену последовательности S:

Т ₁₀ = 10 ² - 10 = 90

Ссылки

1. https://www.geogebra.org