ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ: СВОЙСТВА, ПРИМЕРЫ И УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

Осевая симметрия , когда точки фигур совпадают с точками другой фигуры по прямой биссектрисе называется осью симметрии. Это также называется радиальной, вращательной или цилиндрической симметрией.

Обычно он применяется в геометрических фигурах, но его легко наблюдать в природе, поскольку есть такие животные, как бабочки, скорпионы, божьи коровки или люди, которые демонстрируют осевую симметрию.

Осевая симметрия показана на этой фотографии горизонта города Торонто и его отражения в воде. (Источник: pixabay)

Как найти осесимметричный

Чтобы найти осевую симметрию P 'точки P относительно прямой (L), выполняются следующие геометрические операции:

1.- Перпендикуляр к линии (L), проходящей через точку P.

2.- Перехват двух линий определяет точку O.

3.- Измеряется длина сегмента PO, затем эта длина копируется на линию (PO), начиная с точки O в направлении от P к O, определяя точку P '.

4. Точка P 'является осевой симметрией точки P относительно оси (L), так как прямая (L) является биссектрисой отрезка PP', а точка O - серединой указанного отрезка.

Рис. 1. Две точки P и P 'аксиально симметричны оси (L), если указанная ось является биссектрисой отрезка PP'.

Свойства осевой симметрии

- Осевая симметрия изометрична, то есть расстояния геометрической фигуры и соответствующая ей симметрия сохраняются.

- Мера угла и его симметричность равны.

- Осевая симметрия точки на оси симметрии - это сама точка.

- Симметричная линия линии, параллельной оси симметрии, также является линией, параллельной указанной оси.

- Секущая к оси симметрии имеет в качестве симметричной другой секущую линию, которая, в свою очередь, пересекает ось симметрии в той же точке на исходной прямой.

- Симметричное изображение линии - это другая линия, которая образует угол с осью симметрии той же меры, что и исходная линия.

- Симметричное изображение линии, перпендикулярной оси симметрии, - это еще одна линия, которая перекрывает первую.

- Прямая и ее осевая симметричная линия образуют угол, биссектриса которого является осью симметрии.

Рис. 2. Осевая симметрия сохраняет расстояния и углы.

Примеры осевой симметрии

Природа демонстрирует множество примеров осевой симметрии. Например, вы можете увидеть симметрию лиц, насекомых, таких как бабочки, отражение на спокойных водных поверхностях и зеркалах или листьях растений и многое другое.

Рис. 3. Эта бабочка демонстрирует почти идеальную осевую симметрию. (Источник: pixabay)

Рис. 4. Лицо этой девушки обладает осевой симметрией. (Источник: pixabay)

Упражнения осевой симметрии

Упражнение 1

У нас есть треугольник вершин A, B и C, декартовы координаты которого соответственно равны A = (2, 5), B = (1, 1) и C = (3,3). Найдите декартовы координаты треугольника, симметричного относительно оси Y (оси ординат).

Решение: если точка P имеет координаты (x, y), то ее симметричность относительно оси ординат (оси Y) равна P '= (- x, y). Другими словами, значение его абсциссы меняет знак, а значение ординаты остается прежним.

В этом случае симметричный треугольник с вершинами A ', B' и C 'будет иметь координаты:

A '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) и C' = (- 3, 3), как показано на рисунке 6.

Рис. 6. Если точка имеет координаты (x, y), ее симметричная относительно оси Y (ось ординат) будет иметь координаты (-x, y).

Упражнение 2.

Что касается треугольника ABC и его симметричного A'B'C 'из упражнения 1, убедитесь, что соответствующие стороны исходного треугольника и его симметричного треугольника имеют одинаковую длину.

Решение: чтобы найти расстояние или длину сторон, мы используем формулу Евклидова расстояния:

d (A, B) = √ ((Bx - Ax) ^ 2 + (By - Ay) ^ 2) = √ ((1-2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((- 1 ) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4,123

Длина соответствующей симметричной стороны A'B 'рассчитывается ниже:

d (A ', B') = √ ((Bx'-Ax ') ^ 2 + (By'-Ay') ^ 2) = √ ((- 1 + 2) ^ 2 + (1-5) ^ 2 ) = √ ((1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4,123

Таким образом подтверждается, что осевая симметрия сохраняет расстояние между двумя точками. Процедуру можно повторить для двух других сторон треугольника и его симметрии, чтобы проверить неизменность длины. Например, -AC- = -A'C'- = √5 = 2,236.

Упражнение 3.

Что касается треугольника ABC и его симметричного A'B'C 'из упражнения 1, проверьте, что соответствующие углы исходного треугольника и его симметричного треугольника имеют одинаковую угловую меру.

Решение: чтобы определить меры углов BAC и B'A'C ', мы сначала вычислим скалярное произведение векторов AB на AC, а затем скалярное произведение A'B' на A'C ' .

Помня об этом:

A = (2, 5), B = (1, 1) и C = (3,3)

A '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) и C' = (- 3, 3).

Оно имеет:

AB = <1-2, 1-5> и AC = <3-2, 3-5>

так же

A'B ' = <-1 + 2, 1-5> и AC = <-3 + 2, 3-5>

Затем находятся следующие скалярные произведения:

AB⋅AC = <-1, -4> ⋅ <1, -2> = -1⋅1 + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

так же

A'B'⋅A'C ' = <1, -4> ⋅ <-1, -2> = 1⋅ (-1) + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

Измерение угла ВАС составляет:

∡BAC = ArcCos ( AB⋅AC / (- AB- ⋅- AC- )) =

ArcCos (7 / (4,123⋅2,236)) = 40,6º

Точно так же мера угла B'A'C 'равна:

∡B'A'C '= ArcCos ( A'B'⋅A'C' / (- A'B'- ⋅- A'C'- )) =

ArcCos (7 / (4,123⋅2,236)) = 40,6º

Таким образом, осевая симметрия сохраняет меру углов.

Упражнение 4.

Пусть точка P имеет координаты (a, b). Найдите координаты его осевой симметрии P 'относительно прямой y = x.

Решение: назовем (a ', b') координатами симметричной точки P 'относительно прямой y = x. Середина M отрезка PP 'имеет координаты ((a + a') / 2, (b + b ') / 2) и также находится на прямой y = x, поэтому имеет место равенство

а + а '= Ь + Ь'

С другой стороны, отрезок PP 'имеет наклон -1, потому что он перпендикулярен прямой y = x с наклоном 1, поэтому выполняется следующее равенство:

б - б '= а' -а

Решая два предыдущих равенства a 'и b', делаем вывод, что:

a '= тем, что b' = a.

То есть для данной точки P (a, b) ее осевая симметрия относительно прямой y = x равна P '(b, a).

Ссылки

1. Арсе М., Бласкес С. и другие. Преобразования самолета. Получено с: educationutmxli.files.wordpress.com
2. Расчет cc. Осевая симметрия. Получено с: calculo.cc
3. Суперпроф. Осевая симметрия. Получено с: superprof.es
4. википедия. Осевая симметрия. Получено с: es.wikipedia.com
5. википедия. Круговая симметрия. Получено с: en.wikipedia.com