ВЫПУКЛЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК: ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ЭЛЕМЕНТЫ, СВОЙСТВА, ПРИМЕРЫ - МАТЕМАТИКА - 2025

Выпуклый многоугольник является геометрической фигурой , содержащейся в плоскости , которая характеризуется , потому что она имеет все свои диагоналей в его интерьере и его углов измерение меньше , чем 180 °. Среди его свойств можно выделить следующие:

1) Он состоит из n последовательных сегментов, где последний из сегментов соединяется с первым. 2) Ни один из сегментов не пересекается таким образом, чтобы ограничить плоскость во внутренней и внешней областях. 3) Каждый угол во внутренней области строго меньше плоского угла.

Рис. 1. Многоугольники 1, 2 и 6 выпуклые. (Подготовлено Рикардо Пересом).

Простой способ определить, является ли многоугольник выпуклым или нет, - это рассмотреть линию, проходящую через одну из его сторон, которая определяет две полуплоскости. Если в каждой прямой, проходящей через одну сторону, другие стороны многоугольника находятся в одной полуплоскости, то это выпуклый многоугольник.

Элементы многоугольника

Каждый многоугольник состоит из следующих элементов:

- Стороны

- Вершины

Стороны - это каждый из последовательных сегментов, составляющих многоугольник. В многоугольнике ни один из составляющих его сегментов не может иметь открытого конца, в этом случае будет многоугольная линия, но не многоугольник.

Вершины - это точки соединения двух последовательных отрезков. В многоугольнике количество вершин всегда равно количеству сторон.

Если две стороны или сегменты многоугольника пересекаются, значит, у вас есть перекрещенный многоугольник. Точка пересечения не считается вершиной. Поперечный многоугольник - это невыпуклый многоугольник. Звездообразные многоугольники являются перекрестными многоугольниками и поэтому не являются выпуклыми.

Когда у многоугольника все стороны одинаковой длины, мы получаем правильный многоугольник. Все правильные многоугольники выпуклые.

Выпуклые и невыпуклые многоугольники

На рисунке 1 показано несколько многоугольников, некоторые из них выпуклые, а некоторые - нет. Разберем их:

Номер 1 - это трехсторонний многоугольник (треугольник), а все внутренние углы меньше 180 °, поэтому это выпуклый многоугольник. Все треугольники - выпуклые многоугольники.

Число 2 представляет собой четырехсторонний многоугольник (четырехугольник), где ни одна из сторон не пересекается, и каждый внутренний угол меньше 180 °. Тогда это будет выпуклый многоугольник с четырьмя сторонами (выпуклый четырехугольник).

С другой стороны, число 3 представляет собой многоугольник с четырьмя сторонами, но один из его внутренних углов больше 180 °, поэтому он не удовлетворяет условию выпуклости. То есть это невыпуклый четырехсторонний многоугольник, называемый вогнутым четырехугольником.

Число 4 представляет собой многоугольник с четырьмя отрезками (сторонами), два из которых пересекаются. Четыре внутренних угла меньше 180 °, но поскольку две стороны пересекаются, получается невыпуклый перекрещенный многоугольник (перекрещенный четырехугольник).

Другой случай - число 5. Это многоугольник с пятью сторонами, но поскольку один из его внутренних углов больше 180 °, мы получаем вогнутый многоугольник.

Наконец, число 6, которое также имеет пять сторон, имеет все внутренние углы меньше 180 °, так что это выпуклый многоугольник с пятью сторонами (выпуклый пятиугольник).

Свойства выпуклого многоугольника

1. Непересекающийся многоугольник или простой многоугольник делит содержащую его плоскость на две области. Внутренняя область и внешняя область, многоугольник является границей между двумя областями.

Но если многоугольник дополнительно выпуклый, тогда у нас есть внутренняя область, которая является односвязной, что означает, что, взяв любые две точки из внутренней области, она всегда может быть соединена сегментом, который полностью принадлежит внутренней области.

Рис. 2. Выпуклый многоугольник односвязен, а вогнутый - нет. (Подготовлено Рикардо Пересом).

2- Каждый внутренний угол выпуклого многоугольника меньше плоского угла (180º).

3- Все внутренние точки выпуклого многоугольника всегда принадлежат одной из полуплоскостей, определяемых линией, проходящей через две последовательные вершины.

4- В выпуклом многоугольнике все диагонали полностью содержатся во внутренней многоугольной области.

5- Внутренние точки выпуклого многоугольника полностью принадлежат выпуклому угловому сектору, определяемому каждым внутренним углом.

6. Каждый многоугольник, все вершины которого находятся на окружности, является выпуклым многоугольником, который называется циклическим многоугольником.

7- Каждый циклический многоугольник является выпуклым, но не каждый выпуклый многоугольник является циклическим.

8- Любой непересекающийся многоугольник (простой многоугольник), у которого все стороны равны, является выпуклым и известен как правильный многоугольник.

Диагонали и углы в выпуклых многоугольниках

9- Общее количество N диагоналей выпуклого многоугольника с n сторонами определяется по следующей формуле:

N = ½ n (n - 3)

Доказательство. В выпуклом многоугольнике с n сторонами каждой вершины проведено n - 3 диагонали, так как сама вершина и две соседние вершины исключены. Поскольку имеется n вершин, всего нарисовано n (n - 2) диагоналей, но каждая диагональ была нарисована дважды, поэтому количество диагоналей (без повторения) равно n (n-2) / 2.

10- Сумма S внутренних углов выпуклого многоугольника с n сторонами определяется следующим соотношением:

S = (n - 2) 180º

Примеры

Пример 1

Циклический шестиугольник - это многоугольник с шестью сторонами и шестью вершинами, но все вершины находятся на одной окружности. Каждый циклический многоугольник выпуклый.

Циклический шестиугольник.

Пример 2

Определите значение внутренних углов обычного энегона.

Решение: enegon - это 9-сторонний многоугольник, но если он также правильный, все его стороны и углы равны.

Сумма всех внутренних углов 9-стороннего многоугольника равна:

S = (9–2) 180º = 7 * 180º = 1260º

Но существует 9 внутренних углов одинаковой меры α, поэтому должно выполняться равенство:

S = 9 α = 1260º

Отсюда следует, что мера α каждого внутреннего угла правильного ребра равна:

α = 1260º / 9 = 140º