ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД: ХАРАКТЕРИСТИКИ, ТИПЫ, ПЛОЩАДЬ, ОБЪЕМ - МАТЕМАТИКА - 2025

Параллелепипеда представляет собой геометрическое тело состоит из шести граней, основной характеристикой которых является то , что все его граней параллелограммов , а также , что ее противоположные стороны параллельны друг другу. Это обычный многогранник в нашей повседневной жизни, поскольку мы можем найти его в обувных коробках, в форме кирпича, форме микроволновой печи и т. Д.

Будучи многогранником, параллелепипед имеет конечный объем, и все его грани плоские. Это часть группы призм, то есть тех многогранников, все вершины которых лежат в двух параллельных плоскостях.

Элементы параллелепипеда

Faces

Это каждая из областей, образованных параллелограммами, ограничивающими параллелепипед. У параллелепипеда шесть граней, каждая из которых имеет четыре смежные грани и одну противоположную. Кроме того, каждая грань параллельна своей противоположности.

Края

Это общая сторона двух лиц. Всего у параллелепипеда двенадцать ребер.

Вершина

Это точка пересечения трех граней, которые примыкают друг к другу два на два. У параллелепипеда восемь вершин.

Диагональ

Учитывая две грани параллелепипеда, расположенные напротив друг друга, мы можем нарисовать отрезок прямой, идущий от вершины одной грани к противоположной вершине другой.

Этот отрезок известен как диагональ параллелепипеда. Каждый параллелепипед имеет четыре диагонали.

Центр

Это точка, в которой пересекаются все диагонали.

Характеристики параллелепипеда

Как мы уже упоминали, это геометрическое тело имеет двенадцать ребер, шесть граней и восемь вершин.

В параллелепипеде можно выделить три набора, образованных четырьмя ребрами, которые параллельны друг другу. Кроме того, края указанных наборов также обладают свойством иметь одинаковую длину.

Другое свойство, которым обладают параллелепипеды, заключается в том, что они выпуклые, то есть, если мы возьмем любую пару точек, принадлежащих внутренней части параллелепипеда, отрезок, определяемый этой парой точек, также будет внутри параллелепипеда.

Кроме того, параллелепипеды, являющиеся выпуклыми многогранниками, подчиняются теореме Эйлера для многогранников, которая дает нам связь между числом граней, числом ребер и числом вершин. Эта взаимосвязь представлена ​​в виде следующего уравнения:

С + В = А + 2

Эта характеристика известна как характеристика Эйлера.

Где C - количество граней, V - количество вершин, а A - количество ребер.

Типы

Мы можем разделить параллелепипеды на основе их граней на следующие типы:

Ортоэдр

Это параллелепипеды, грани которых образованы шестью прямоугольниками. Каждый прямоугольник перпендикулярен тем, у которых общий край. Они наиболее распространены в нашей повседневной жизни, это обычная форма обувных коробок и кирпичей.

Правильный куб или шестигранник

Это частный случай предыдущего, где каждая грань представляет собой квадрат.

Куб также является частью геометрических тел, называемых Платоновыми телами. Платоново тело представляет собой выпуклый многогранник, поэтому его грани и внутренние углы равны друг другу.

Ромбоэдр

Он представляет собой параллелепипед с ромбами на лице. Эти ромбы все равны друг другу, так как у них общие края.

Ромбоэдр

Его шесть граней - ромбовидные. Напомним, что ромб - это многоугольник с четырьмя сторонами и четырьмя углами, которые равны двум к двум. Ромбоиды - это параллелограммы, которые не являются ни квадратами, ни прямоугольниками, ни ромбами.

С другой стороны, косые параллелепипеды - это те, у которых хотя бы одна высота не соответствует их краю. В эту классификацию можно отнести ромбоэдры и ромбоэдры.

Расчет диагоналей

Чтобы вычислить диагональ ортоэдра, мы можем использовать теорему Пифагора для R ³ .

Напомним, что ортоэдр имеет характерную черту: каждая сторона перпендикулярна сторонам, имеющим общее ребро. Из этого факта мы можем сделать вывод, что каждое ребро перпендикулярно ребрам, имеющим общую вершину.

Чтобы вычислить длину диагонали ортоэдра, действуем следующим образом:

1. Вычисляем диагональ одной из граней, которую положим за основу. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора. Назовем эту диагональ d _b .

2. Затем с помощью d _b мы можем сформировать новый прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза этого треугольника будет диагональю D, которую мы ищем.

3. Мы снова используем теорему Пифагора и получаем, что длина этой диагонали равна:

Другой способ более наглядного вычисления диагоналей - добавление свободных векторов.

Напомним, что два свободных вектора A и B складываются путем совмещения хвоста вектора B с вершиной вектора A.

Вектор (A + B) - это тот, который начинается в хвосте A и заканчивается на конце B.

Рассмотрим параллелепипед, диагональ которого мы хотим вычислить.

Мы отождествляем ребра с удобно ориентированными векторами.

Затем мы складываем эти векторы, и получившийся вектор будет диагональю параллелепипеда.

Площадь

Площадь параллелепипеда определяется суммой каждой из площадей его граней.

Если определить одну из сторон как основу,

A _L + 2A _B = Общая площадь

Где A _L равно сумме площадей всех сторон, прилегающих к основанию, называемой боковой площадью, а A _B - площадью основания.

В зависимости от типа параллелепипеда, с которым мы работаем, мы можем переписать эту формулу.

Площадь ортоэдра

Он задается формулой

А = 2 (ab + bc + ca).

Пример 1

Для следующего ортоэдра со сторонами a = 6 см, b = 8 см и c = 10 см вычислите площадь параллелепипеда и длину его диагонали.

Используя формулу для площади ортоэдра, получаем, что

А = 2 = 2 = 2 = 376 см ² .

Обратите внимание: поскольку это ортоэдр, длина любой из его четырех диагоналей одинакова.

Используя теорему Пифагора для пространства, получаем, что

D = (6 ² + 8 ² + 10 ² ) ^1/2 = (36 + 64 + 100) ^1/2 = (200) ^1/2

Площадь куба

Поскольку каждое ребро имеет одинаковую длину, мы имеем a = b и a = c. Подставляя в предыдущую формулу, мы имеем

А = 2 (аа + аа + аа) = 2 (3а ² ) = 6а ²

А = 6а ²

Пример 2

Коробка игровой приставки имеет форму куба. Если мы хотим обернуть эту коробку подарочной упаковкой, сколько бумаги мы потратим, зная, что длина краев куба составляет 45 см?

Используя формулу для площади куба, получаем, что

A = 6 (45 см) ² = 6 (2025 см ² ) = 12150 см ²

Площадь ромбоэдра

Поскольку все их лица одинаковы, просто вычислите площадь одного из них и умножьте ее на шесть.

У нас есть, что площадь ромба может быть вычислена через его диагонали по следующей формуле

А _R = (Dd) / 2

Из этой формулы следует, что общая площадь ромбоэдра равна

А _T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Пример 3

Грани следующего ромбоэдра образованы ромбом, диагонали которого D = 7 см, d = 4 см. Ваш район будет

A = 3 (7 см) (4 см) = 84 см ² .

Площадь ромбоэдра

Чтобы вычислить площадь ромбоэдра, мы должны вычислить площадь составляющих его ромбов. Поскольку параллелепипеды обладают тем свойством, что противоположные стороны имеют одинаковую площадь, мы можем объединить стороны в три пары.

Таким образом, ваша территория будет

A _T = 2b ₁ h ₁ + 2b ₂ h ₂ + 2b ₃ h ₃

Где b _i - это основания, связанные со сторонами, а h _{i -} их относительная высота, соответствующая этим основаниям.

Пример 4

Рассмотрим следующий параллелепипед,

где сторона A и сторона A '(его противоположная сторона) имеют основание b = 10 и высоту h = 6. Отмеченная область будет иметь значение

А ₁ = 2 (10) (6) = 120

B и B 'имеют b = 4 и h = 6, поэтому

А ₂ = 2 (4) (6) = 48

YC и C 'имеют b = 10 и h = 5, поэтому

А ₃ = 2 (10) (5) = 100

Наконец, площадь ромбоэдра равна

А = 120 + 48 + 100 = 268.

Объем параллелепипеда

Формула, которая дает нам объем параллелепипеда, представляет собой произведение площади одной из его граней на высоту, соответствующую этой грани.

V = A _C h _C

В зависимости от типа параллелепипеда эту формулу можно упростить.

Таким образом, мы имеем, например, что объем ортоэдра был бы определен как

V = abc.

Где a, b и c обозначают длину ребер ортоэдра.

А в частном случае куба

V = а ³

Пример 1

Существует три различных модели коробок для файлов cookie, и вы хотите знать, в какой из этих моделей можно хранить больше файлов cookie, то есть какая из коробок имеет наибольший объем.

Первый - это куб, длина ребра а = 10 см.

Его объем будет V = 1000 см ^3.

У второго края b = 17 см, c = 5 см, d = 9 см.

И поэтому его объем составляет V = 765 см ^3.

А у третьего e = 9 см, f = 9 см и g = 13 см.

А его объем V = 1053 см ^3.

Поэтому ящик с наибольшим объемом - третий.

Другой способ получить объем параллелепипеда - использовать векторную алгебру. В частности, тройное точечное произведение.

Одна из геометрических интерпретаций тройного скалярного произведения - это объем параллелепипеда, ребра которого представляют собой три вектора, которые имеют одну и ту же вершину в качестве отправной точки.

Таким образом, если у нас есть параллелепипед и мы хотим знать, каков его объем, достаточно представить его в системе координат в R ^3, совмещая одну из его вершин с началом координат.

Затем мы представляем ребра, совпадающие в начале координат, с векторами, как показано на рисунке.

Таким образом, объем упомянутого параллелепипеда равен

V = - AxB ∙ C-

Или, что то же самое, объем - это определитель матрицы 3 × 3, образованной компонентами векторов ребер.

Пример 2

Представляя следующий параллелепипед в R ^3, мы видим, что определяющие его векторы следующие:

u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) и w = (-0,25, -4, 4)

Используя тройное скалярное произведение, имеем

V = - (uxv) ∙ w-

uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Отсюда заключаем, что V = 60

Рассмотрим теперь следующий параллелепипед в R3, ребра которого определяются векторами

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) и C = (3, 4, 4)

Использование детерминантов дает нам

Таким образом, объем указанного параллелепипеда равен 112.

Оба являются эквивалентными способами вычисления объема.

Идеальный параллелепипед

Ортоэдр известен как кирпич Эйлера (или блок Эйлера), который выполняет свойство, состоящее в том, что длина его ребер и длина диагоналей каждой из его граней являются целыми числами.

Хотя Эйлер не был первым ученым, изучившим ортоэдры, обладающие этим свойством, он нашел интересные результаты о них.

Самый маленький кирпич Эйлера был обнаружен Полом Хальке, и длина его краев составляет a = 44, b = 117 и c = 240.

Открытая проблема теории чисел состоит в следующем.

Есть ли совершенные ортоэдры?

В настоящее время на этот вопрос нет ответа, так как не удалось доказать, что таких тел не существует, но и не было найдено.

До сих пор было показано, что идеальные параллелепипеды действительно существуют. Первая обнаруженная имеет длину краев 103, 106 и 271.

Библиография

1. Гай, Р. (1981). Нерешенные проблемы теории чисел. Springer.
2. Ландаверде, Ф. д. (1997). Геометрия. Прогресс.
3. Лейтольд, Л. (1992). Расчет с аналитической геометрией. HARLA, SA
4. Рендон, А. (2004). Технический рисунок: Рабочая тетрадь 3 2-й Бачильерато. Тебар.
5. Резник, Р., Холлидей, Д., и Крейн, К. (2001). Физика Том 1. Мексика: континентальный.