ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД: ОПРЕДЕЛЕНИЕ, СВОЙСТВА И ПРИМЕРЫ - МАТЕМАТИКА - 2025

Гиперболический параболоид представляет собой поверхность которого общее уравнение в декартовых координатах (х, у, г) удовлетворяет следующему уравнению:

(х / а) ² - (у / б) ² - г = 0.

Название «параболоид» происходит от того факта, что переменная z зависит от квадратов переменных x и y. В то время как прилагательное «гиперболический» связано с тем, что при фиксированных значениях z мы имеем уравнение гиперболы. По форме эта поверхность похожа на конское седло.

Рис. 1. Гиперболический параболоид z = x ² - y ² . Источник: Ф. Сапата с использованием Wolfram Mathematica.

Описание гиперболического параболоида

Чтобы понять природу гиперболического параболоида, будет проведен следующий анализ:

1.- Мы возьмем частный случай a = 1, b = 1, то есть декартово уравнение параболоида остается как z = x ² - y ² .

2.- Плоскости считаются параллельными плоскости ZX, то есть y = ctte.

3.- При y = ctte остается z = x ² - C, которые представляют параболы с ветвями вверх и вершиной ниже плоскости XY.

Рисунок 2. Семейство кривых z = x ² - C. Источник: Ф. Сапата с использованием Geogebra.

4.- При x = ctte остается z = C - y ² , которые представляют параболы с ветвями вниз и вершиной над плоскостью XY.

Рис. 3. Семейство кривых z = C - y ² . Источник: Ф. Сапата через Geogebra.

5.- При z = ctte остается C = x ² - y ² , которые представляют гиперболы в плоскостях, параллельных плоскости XY. Когда C = 0, есть две прямые (на + 45º и -45º относительно оси X), которые пересекаются в начале координат на плоскости XY.

Рисунок 4. Семейство кривых x ² - y ² = C. Источник: F. Zapata с использованием Geogebra.

Свойства гиперболического параболоида

1.- Четыре разные точки в трехмерном пространстве определяют один и только один гиперболический параболоид.

2.- Гиперболический параболоид - это двояковыпуклая поверхность. Это означает, что, несмотря на то, что поверхность является изогнутой, через каждую точку гиперболического параболоида проходят две разные линии, которые полностью принадлежат гиперболическому параболоиду. Другая поверхность, которая не является плоскостью и имеет двойную линейку, - это гиперболоид вращения.

Именно второе свойство гиперболического параболоида позволило его широко использовать в архитектуре, поскольку поверхность может быть образована прямыми балками или струнами.

Второе свойство гиперболического параболоида позволяет дать ему альтернативное определение: это поверхность, которая может быть образована движущейся прямой линией, параллельной фиксированной плоскости, и разрезает две фиксированные линии, которые служат ориентиром. Следующий рисунок поясняет это альтернативное определение гиперболического параболоида:

Рис. 5. Гиперболический параболоид - это двояковыпуклая поверхность. Источник: Ф. Сапата.

Примеры работы

- Пример 1

Покажите, что уравнение: z = xy соответствует гиперболическому параболоиду.

Решение

Преобразование будет применено к переменным x и y, соответствующим повороту декартовых осей относительно оси Z на + 45º. Старые координаты x и y преобразуются в новые x 'и y' в соответствии со следующими соотношениями:

х = х '- у'

у = х '+ у'

а координата z остается прежней, то есть z = z '.

Подставляя в уравнение z = xy, получаем:

г '= (х' - у ') (х' + у ')

Применяя заметное произведение разницы на сумму, равную разности квадратов, мы имеем:

г '= х' ² - у ' ²

что явно соответствует первоначально данному определению гиперболического параболоида.

Пересечение плоскостей, параллельных оси XY, с гиперболическим параболоидом z = xy, определяет равносторонние гиперболы, которые имеют в качестве асимптотов плоскости x = 0 и y = 0.

- Пример 2

Определите параметры a и b гиперболического параболоида, проходящего через точки A (0, 0, 0); В (1, 1, 5/9); С (-2, 1, 32/9) и D (2, -1, 32/9).

Решение

По своим свойствам четыре точки в трехмерном пространстве определяют единый гиперболический параболоид. Общее уравнение:

г = (х / а) ² - (у / б) ²

Подставляем указанные значения:

Для точки A мы имеем 0 = (0 / a) ² - (0 / b) ² , уравнение, которое удовлетворяется независимо от значений параметров a и b.

Подставляя точку B, получаем:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

А для пункта C остается:

32/9 = 4 / а ² - 1 / б ²

Наконец, для точки D получаем:

32/9 = 4 / а ² - 1 / б ²

Что идентично предыдущему уравнению. В конечном итоге необходимо решить систему уравнений:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

32/9 = 4 / а ² - 1 / б ²

Вычитание второго уравнения из первого дает:

27/9 = 3 / a ^2, что означает, что a ² = 1.

Аналогичным образом второе уравнение вычитается из четверки первого, получая:

(32-20) / 9 = 4 / a ² - 4 / a ² -1 / b ² + 4 / b ²

Что упрощается как:

12/9 = 3 / b ² ⇒ b ² = 9/4.

Короче говоря, гиперболический параболоид, который проходит через заданные точки A, B, C и D, имеет декартово уравнение, задаваемое следующим образом:

г = х ² - (4/9) у ²

- Пример 3

Согласно свойствам гиперболического параболоида через каждую точку проходят две прямые, полностью содержащиеся в нем. Для случая z = x ^ 2 - y ^ 2 найдите уравнение двух прямых, которые проходят через точку P (0, 1, -1), явно принадлежащих гиперболическому параболоиду, так что все точки этих прямых также принадлежат тем же.

Решение

Используя замечательное произведение разности квадратов, уравнение для гиперболического параболоида можно записать так:

(х + у) (х - у) = cz (1 / c)

Где c - ненулевая константа.

Уравнение x + y = cz и уравнение x - y = 1 / c соответствуют двум плоскостям с векторами нормалей n = <1,1, -c> и m = <1, -1,0>. Векторное произведение mxn = <- c, -c, -2> дает нам направление линии пересечения двух плоскостей. Тогда одна из прямых, проходящих через точку P и принадлежащих гиперболическому параболоиду, имеет параметрическое уравнение:

= <0, 1, -1> + t <-c, -c, -2>

Чтобы определить c, подставляем точку P в уравнение x + y = cz, получая:

с = -1

Аналогичным образом, но с учетом уравнений (x - y = kz) и (x + y = 1 / k) мы имеем параметрическое уравнение линии:

= <0, 1, -1> + s с k = 1.

Итак, две строки:

= <0, 1, -1> + t <1, 1, -2> и = <0, 1, -1> + s <1, -1, 2>

Они полностью содержатся в гиперболическом параболоиде z = x ² - y ^2, проходящем через точку (0, 1, -1).

В качестве проверки предположим, что t = 1, что дает нам точку (1,2, -3) в первой строке. Вы должны проверить, находится ли он также на параболоиде z = x ² - y ² :

-3 = 1 ² - 2 ² = 1 - 4 = -3

Это подтверждает, что он действительно принадлежит поверхности гиперболического параболоида.

Гиперболический параболоид в архитектуре

Рисунок 6. Океанография Валенсии (Испания) Источник: Wikimedia Commons.

Гиперболический параболоид использовался в архитектуре великими архитекторами-авангардистами, среди которых выделяются имена испанского архитектора Антонио Гауди (1852-1926) и, в частности, также испанского Феликса Канделы (1910-1997).

Ниже приведены некоторые работы, основанные на гиперболическом параболоиде:

-Часовня города Куэрнавака (Мексика) работы архитектора Феликса Канделы.

-Океанография Валенсии (Испания), также Феликс Кандела.

Ссылки

1. Энциклопедия математики. Линейчатая поверхность. Получено с: encyclopediaofmath.org
2. Ллера Рубен. Гиперболический параболоид. Получено с: rubenllera.wordpress.com
3. Вайсштейн, Эрик В. «Гиперболический параболоид». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. Получено с: mathworld.wolfram.com
4. Wikipedia. Параболоид. Получено с: en.wikipedia.com
5. Wikipedia. Параболоид. Получено с: es.wikipedia.com
6. Wikipedia. Рифленая поверхность. Получено с: en.wikipedia.com