НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА: ИСТОРИЯ, СВОЙСТВА, ОПЕРАЦИИ, ПРИМЕРЫ - МАТЕМАТИКА - 2025

Эти натуральные числа являются те , которые служат для подсчета количества элементов определенного набора. Например, натуральные числа используются для определения количества яблок в коробке. Они также используются для упорядочивания элементов набора, например первоклассников в порядке их размера.

В первом случае мы говорим о кардинальных числах, а во втором - о порядковых числах, по сути, «первое» и «второе» являются порядковыми натуральными числами. Напротив, единица (1), два (2) и три (3) являются кардинальными натуральными числами.

Рисунок 1. Натуральные числа используются для подсчета и упорядочивания. Источник: Pixabay.

Натуральные числа используются не только для подсчета и упорядочения, но и как способ идентифицировать и различать элементы определенного набора.

Например, удостоверение личности имеет уникальный номер, присваиваемый каждому человеку из определенной страны.

В математических обозначениях набор натуральных чисел обозначается так:

ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, ………}

А набор натуральных чисел с нулем обозначается по-другому:

ℕ ⁺ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ………}

В обоих наборах эллипсы указывают на то, что элементы продолжаются последовательно до бесконечности, причем слово бесконечность означает, что набор не имеет конца.

Независимо от того, насколько большим может быть натуральное число, вы всегда можете получить следующее по величине.

История

До появления натуральных чисел, то есть набора символов и имен для обозначения определенной величины, первые люди использовали другой набор сравнения, например, пальцы рук.

Итак, чтобы сказать, что они нашли стадо из пяти мамонтов, они использовали пальцы одной руки, чтобы обозначить это число.

Эта система могла варьироваться от одной группы людей к другой, возможно, другие использовали вместо своих пальцев группу палочек, камней, бусинок ожерелья или узлов веревки. Но самое безопасное, что они использовали пальцы.

Затем стали появляться символы, обозначающие определенную сумму. Сначала это были отметины на кости или палке.

Клинописные гравюры на глиняных панелях, представляющие числовые символы и датируемые 400 годом до нашей эры, известны из Месопотамии, которая в настоящее время является государством Ирака.

Символы развивались, поэтому греки, а позже и римляне использовали буквы для обозначения чисел.

Арабские числа

Арабские числа - это система, которую мы используем сегодня, и они были привезены в Европу арабами, оккупировавшими Пиренейский полуостров, но на самом деле они были изобретены в Индии, поэтому они известны как индо-арабская система счисления.

Наша система нумерации основана на десяти, потому что пальцев десять.

У нас есть десять символов для обозначения любой числовой величины, по одному символу для каждого пальца руки.

Эти символы:

С помощью этих символов можно представить любую величину, используя позиционную систему: 10 - это десять нулевых единиц, 13 - десять и три единицы, 22 - две десятки две единицы.

Необходимо прояснить, что, помимо символов и системы счисления, натуральные числа существовали всегда и всегда так или иначе использовались людьми.

Свойства натуральных чисел

Набор натуральных чисел:

ℕ + = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ………}

И с их помощью вы можете подсчитать количество элементов в другом наборе или также упорядочить эти элементы, если каждому из них присвоено натуральное число.

Это бесконечно и счетно

Набор натуральных чисел - это упорядоченный набор, состоящий из бесконечных элементов.

Однако это счетное множество в том смысле, что можно узнать, сколько элементов или натуральных чисел находится между одним числом и другим.

Например, мы знаем, что между 5 и 9 есть пять элементов, включая 5 и 9.

Это аккуратный набор

Будучи упорядоченным набором, вы можете знать, какие числа стоят после или перед заданным числом. Таким образом, между двумя элементами естественного множества можно установить отношения сравнения, такие как:

7> 3 означает, что семь больше трех

2 <11 читается два меньше одиннадцати

Их можно сгруппировать (операция сложения)

3 + 2 = 5 означает, что если вы соедините три элемента с двумя элементами, у вас будет пять элементов. Символ + обозначает операцию сложения.

Операции с натуральными числами

- Сумма

1.- Сложение является внутренней операцией в том смысле, что если складываются два элемента множества натуральных чисел ℕ, будет получен другой элемент, принадлежащий указанному набору. Символически это будет выглядеть так:

2.- Операция суммирования натуральных чисел коммутативна, что означает, что результат будет таким же, даже если слагаемые инвертируются. Символически это выражается так:

Если a ∊ ℕ и b ∊ ℕ , то a + b = b + a = c, где c ∊ ℕ

Например, 3 + 5 = 8 и 5 + 3 = 8, где 8 - элемент натуральных чисел.

3.- Сумма натуральных чисел выполняет ассоциативное свойство:

а + б + с = а + (б + с) = (а + б) + с

Пример сделает это понятнее. Мы можем добавить вот так:

3 + 6 + 8 = 3 + (6 + 8) = 3 + 14 = 17

И таким же образом:

3 + 6 + 8 = (3 + 6) + 8 = 9 + 8 = 17

Наконец, если вы добавите таким образом, вы получите тот же результат:

3 + 6 + 8 = (3 + 8) + 6 = 11 + 6 = 17

4.- Есть нейтральный элемент суммы, и этот элемент равен нулю: a + 0 = 0 + a = a. Например:

7 + 0 = 0 + 7 = 7.

- Вычитание

-Оператор вычитания обозначается символом -. Например:

5 - 3 = 2.

Важно, чтобы первый операнд был больше или равен (≥), чем второй операнд, потому что в противном случае операция вычитания не была бы определена в натуральных числах:

a - b = c, где c ∊ ℕ тогда и только тогда, когда a ≥ b.

- Умножение

-Умножение обозначается буквой a ⋅ путем добавления к себе b раз. Например: 6 ⋅ 4 = 6 + 6 + 6 + 6 = 24.

- Дивизия

Деление обозначается: a ÷ означает, сколько раз b находится в a. Например, 6 ÷ 2 = 3, потому что 2 содержится в 6 трижды (3).

Примеры

Рисунок 2. Натуральные числа позволяют подсчитать, сколько яблок в коробке. Источник: pixabay

- Пример 1

В одном ящике считается 15 яблок, а в другом - 22 яблока. Если все яблоки из второй коробки поместить в первую, сколько яблок будет в первой коробке?

Ответить

15 + 22 = 37 яблок.

- Пример 2

Если из ящика из 37 яблок вынуть 5, сколько останется в ящике?

Ответить

37-5 = 32 яблока.

- Пример 3

Если у вас есть 5 коробок по 32 яблока в каждой, сколько всего будет яблок?

Ответить

Операция заключалась бы в том, чтобы добавить 32 к себе в 5 раз, что обозначается следующим образом:

32 ⋅ 5 = 32 + 32 + 32 + 32 + 32 = 160

- Пример 4

Вы хотите разделить коробку из 32 яблок на 4 части. Сколько яблок будет в каждой части?

Ответить

Операция - это деление, которое обозначается так:

32 ÷ 4 = 8

То есть есть четыре группы по восемь яблок в каждой.

Ссылки

1. Набор натуральных чисел для пятого класса начальной школы. Получено с: activitieseducativas.net
2. Математика для детей. Натуральные числа. Получено с: elhuevodechocolate.com
3. Марта. Натуральные числа. Получено с: superprof.es
4. Учитель. Натуральные числа. Получено с: unprofesor.com
5. википедия. Натуральное число. Получено с: wikipedia.com