МНИМЫЕ ЧИСЛА: СВОЙСТВА, ПРИМЕНЕНИЕ, ПРИМЕРЫ - МАТЕМАТИКА - 2025

Эти мнимые числа являются те , которые решают уравнение , в котором неизвестное, возведено в квадрат равен отрицательному вещественное число. Мнимая единица i = √ (-1).

В уравнении: z ² = - a, z - мнимое число, которое выражается следующим образом:

z = √ (-a) = i√ (a)

Положительное действительное число. Если a = 1, то z = i, где i - мнимая единица.

Рис. 1. Комплексная плоскость, на которой показаны некоторые действительные числа, некоторые мнимые числа и некоторые комплексные числа. Источник: Ф. Сапата.

В общем, чисто мнимое число z всегда выражается в форме:

z = y⋅i

Где y - действительное число, а i - мнимая единица.

Как действительные числа представлены на линии, называемой действительной линией, так и мнимые числа представлены на мнимой строке.

Воображаемая линия всегда ортогональна (форма 90º) реальной линии, а две линии определяют декартову плоскость, называемую комплексной плоскостью.

На рисунке 1 показана комплексная плоскость и на ней изображены некоторые действительные числа, некоторые мнимые числа, а также некоторые комплексные числа:

X ₁ , X ₂ , X ₃ - действительные числа

Y ₁ , Y ₂ , Y ₃ - мнимые числа

Z ₂ и Z ₃ - комплексные числа

Число O - это действительный ноль, а также мнимый ноль, поэтому начало координат O - это комплексный ноль, выражаемый следующим образом:

0 + 0i

свойства

Набор мнимых чисел обозначается:

I = {……, -3i,…, -2i,…., - i,…., 0i,…., I,…., 2i,…., 3i, ……}

И вы можете определить некоторые операции над этим числовым набором. Мнимое число не всегда получается из этих операций, поэтому давайте рассмотрим их немного подробнее:

Сложить и вычесть мнимое

Мнимые числа можно складывать и вычитать друг из друга, в результате чего получается новое мнимое число. Например:

3i + 2i = 5i

4i - 7i = -3i

Продукт воображаемого

Когда производится произведение одного мнимого числа на другое, получается действительное число. Для проверки выполним следующую операцию:

2i x 3i = 6 xi ² = 6 x (√ (-1)) ² = 6 x (-1) = -6.

Как мы видим, -6 - действительное число, хотя оно было получено путем умножения двух чисто мнимых чисел.

Произведение действительного числа на другое воображаемое

Если действительное число умножить на i, результатом будет мнимое число, которое соответствует повороту на 90 градусов против часовой стрелки.

И это то, что i ² соответствует двум последовательным поворотам на 90 градусов, что эквивалентно умножению на -1, то есть i ² = -1. Это можно увидеть на следующей диаграмме:

Рисунок 2. Умножение на мнимую единицу i соответствует повороту на 90º против часовой стрелки. Источник: wikimedia commons.

Например:

-3 x 5i = -15i

-3 xi = -3i.

Расширение возможностей воображаемого

Вы можете определить потенцирование мнимого числа к целочисленной экспоненте:

я ¹ = я

я ² = ixi = √ (-1) x √ (-1) = -1

я ³ = ixi ² = -i

Я ⁴ = Я ² Икс ² = -1 х -1 = 1

я ⁵ = ixi ⁴ = я

В общем, мы имеем i ⁿ = i ^ (n mod 4), где mod - это остаток от деления между n и 4.

Также можно выполнить отрицательное целочисленное потенцирование:

я ^-1 = 1 / я ¹ = я / (ixi ¹ ) = я / (я ² ) = я / (-1) = -i

я- ² = 1 / я ² = 1 / (-1) = -1

i- ³ = 1 / i ³ = 1 / (- i) = (-1) / i = -1 xi ^-1 = (-1) x (-i) = i

В общем, мнимое число b⋅i в степени n равно:

(b⋅i) i ⁿ = b ⁿ i ⁿ = b ⁿ i ^ (n mod 4)

Вот некоторые примеры:

(5 i) ¹² = 5 ¹² i ¹² = 5 ¹² i ⁰ = 5 ¹² x 1 = 244140625

(5 i) ¹¹ = 5 ¹¹ i ¹¹ = 5 ¹¹ i ³ = 5 ¹¹ x (-i) = -48828125 i

(-2 i) ¹⁰ = -2 ¹⁰ i ¹⁰ = 2 ¹⁰ i ² = 1024 x (-1) = -1024

Сумма действительного и мнимого числа

Когда вы складываете действительное число с мнимым, результат не является ни действительным, ни мнимым, это новый тип числа, называемый комплексным числом.

Например, если X = 3,5 и Y = 3,75i, то результатом будет комплексное число:

Z = X + Y = 3,5 + 3,75 я

Обратите внимание, что в сумме действительная и мнимая части не могут быть сгруппированы вместе, поэтому комплексное число всегда будет иметь действительную и мнимую части.

Эта операция расширяет набор действительных чисел до комплексных чисел.

Приложения

Название мнимых чисел было предложено французским математиком Рене Декартом (1596-1650) как насмешка или несогласие с тем же предложением, сделанным итальянским математиком века Рафаэль Бомбелли.

Другие великие математики, такие как Эйлер и Лейбниц, поддержали Декарта в этом несогласии и назвали мнимые числа земноводными числами, которые разрываются между бытием и ничем.

Название мнимых чисел сохранилось и сегодня, но их существование и важность очень реальны и ощутимы, поскольку они естественным образом появляются во многих областях физики, таких как:

-Теория относительности.

-В электромагнетизме.

-Квантовая механика.

Упражнения с мнимыми числами

- Упражнение 1

Найдите решения следующего уравнения:

г ² + 16 = 0

Решение

г ² = -16

Взяв квадратный корень из обоих членов, мы получим:

√ (z ² ) = √ (-16)

± z = √ (-1 x 16) = √ (-1) √ (16) = ix 4 = 4i

Другими словами, решения исходного уравнения:

z = + 4i oz = -4i.

- Упражнение 2.

Найдите результат возведения мнимой единицы в степень 5 минус вычитание мнимой единицы в степени -5.

Решение

я ⁵ - я- ⁵ = я ^5-1 / я ⁵ = я - 1 / я = я - (я) / (ixi) = я - я / (- 1) = я + я = 2i

- Упражнение 3

Найдите результат следующей операции:

(3i) ³ + 9i

Решение

3 ³ i ³ - 9 = 9 (-i) + 9i = -9i + 9i = 0i

- Упражнение 4

Найдите решения следующего квадратного уравнения:

(-2x) ² + 2 = 0

Решение

Уравнение перестраивается следующим образом:

(-2x) ² = -2

Затем извлекается квадратный корень из обоих членов.

√ ((- 2x) ² ) = √ (-2)

± (-2x) = √ (-1 x 2) = √ (-1) √ (2) = i √ (2) = √2 i

Затем мы решаем относительно x, чтобы окончательно получить:

х = ± √2 / 2 я

То есть есть два возможных решения:

х = (√2 / 2) я

Или это другое:

х = - (√2 / 2) я

- Упражнение 5.

Найдите значение Z, определяемое:

Z = √ (-9) √ (-4) + 7

Решение

Мы знаем, что квадратный корень отрицательного действительного числа является мнимым числом, например, √ (-9) равно √ (9) x √ (-1) = 3i.

С другой стороны, √ (-4) равно √ (4) x √ (-1) = 2i.

Таким образом, исходное уравнение можно заменить на:

3i х 2i - 7 = 6 я ² - 7 = 6 (-1) - 7 = -6 - 7 = -13

- Упражнение 6

Найдите значение Z, полученное в результате следующего деления двух комплексных чисел:

Z = (9 - я ² ) / (3 + я)

Решение

Числитель выражения можно разложить на множители, используя следующее свойство:

Так:

Z = / (3 + я)

Результирующее выражение упрощено ниже, оставляя

Z = (3 - я)

Ссылки

1. Эрл, Р. Комплексные числа. Получено с: maths.ox.ac.uk.
2. Фигера, Дж. 2000. Математика 1-й. Диверсифицированный. CO-BO редакции.
3. Хоффманн, Дж. 2005. Выбор тем по математике. Публикации Монфорт.
4. Хименес, Р. 2008. Алгебра. Прентис Холл.
5. Wikipedia. Мнимое число. Получено с: en.wikipedia.org