КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА: СВОЙСТВА, ПРИМЕРЫ, ОПЕРАЦИИ - МАТЕМАТИКА - 2025

В комплексных числах являются численным множеством охватывающего действительных чисел , и всех корни многочленов , включая пары корней отрицательных чисел. Эти корни не существуют в наборе действительных чисел, но в комплексных числах есть решение.

Комплексное число состоит из действительной части и части, называемой «мнимой». Действительная часть называется, например, a, а мнимая часть ib, с действительными числами a и b и "i" в качестве мнимой единицы. Таким образом комплексное число принимает форму:

Рисунок 1.- Биномиальное представление комплексного числа через действительную и мнимую части. Источник: Pixabay.

Примеры комплексных чисел: 2 - 3i, -πi, 1 + (1/2) i. Но прежде чем работать с ними, давайте посмотрим, откуда происходит мнимая единица i, учитывая это квадратное уравнение:

х ² - 10 х + 34 = 0

В котором a = 1, b = -10 и c = 34.

Применяя разрешающую формулу для определения решения, мы находим следующее:

Как определить значение √-36? Не существует действительного числа, возведение которого в квадрат дает отрицательную величину. Затем делается вывод, что это уравнение не имеет реальных решений.

Однако мы можем написать это:

√-36 = √-6 ² = √6 ² (-1) = 6√-1

Если мы определим определенное значение x такое, что:

х ² = -1

Так:

х = ± √-1

И у приведенного выше уравнения было бы решение. Поэтому мнимая единица была определена как:

я = √-1

Так что:

√-36 = 6i

Многие математики древности работали над решением подобных проблем, в частности, Джироламо Кардано эпохи Возрождения (1501–1576), Николо Фонтана (1501–1557) и Раффаэле Бомбелли (1526–1572).

Годы спустя Рене Декарт (1596-1650) назвал величины «мнимыми», например √-36 в этом примере. По этой причине √-1 известен как мнимая единица.

Свойства комплексных чисел

-Набор комплексных чисел обозначается как C и включает действительные числа R и мнимые числа Im. Наборы чисел представлены на диаграмме Венна, как показано на следующем рисунке:

Рисунок 2. Диаграмма Венна числовых множеств. Источник: Ф. Сапата.

-Все комплексное число состоит из действительной и мнимой части.

-Когда мнимая часть комплексного числа равна 0, это чисто действительное число.

-Если действительная часть комплексного числа равна 0, то число чисто мнимое.

-Два комплексных числа равны, если их соответствующие действительная и мнимая части совпадают.

-С комплексными числами выполняются известные операции сложения, вычитания, умножения, произведения и увеличения, в результате чего получается другое комплексное число.

Представление комплексных чисел

Комплексные числа могут быть представлены по-разному. Вот основные из них:

- Биномиальная форма

Это форма, данная в начале, где z - комплексное число, a - действительная часть, b - мнимая часть, а i - мнимая единица:

Или также:

Один из способов изобразить комплексное число - через комплексную плоскость, показанную на этом рисунке. Мнимая ось Im вертикальна, а действительная ось горизонтальна и обозначается Re.

Комплексное число z представлено на этой плоскости как точка с координатами (x, y) или (a, b), как это делается с точками на реальной плоскости.

Расстояние от начала координат до точки z - это модуль комплексного числа, обозначаемый как r, а φ - угол, который r составляет с действительной осью.

Рисунок 3. Представление комплексного числа на комплексной плоскости. Источник: Wikimedia Commons.

Это представление тесно связано с представлением векторов в реальной плоскости. Значение r соответствует модулю комплексного числа.

- Полярная форма

Полярная форма состоит из выражения комплексного числа с помощью значений r и φ. Если мы посмотрим на рисунок, значение r соответствует гипотенузе прямоугольного треугольника. Ноги стоят a и b или x и y.

От биномиальной или биномиальной формы мы можем перейти к полярной форме следующим образом:

Угол φ - это угол, образованный отрезком r с горизонтальной осью или мнимой осью. Он известен как аргумент комплексного числа. В этом случае:

Аргумент имеет бесконечное количество значений, учитывая, что каждый раз, когда разворачивается поворот, который стоит 2π радиан, r снова занимает ту же позицию. В этом общем случае аргумент z, обозначаемый Arg (z), выражается следующим образом:

Где k - целое число и используется для обозначения количества оборотов: 2, 3, 4…. Знак указывает направление вращения, если оно по часовой стрелке или против часовой стрелки.

Рисунок 4. Полярное представление комплексного числа в комплексной плоскости. Источник: Wikimedia Commons.

И если мы хотим перейти от полярной формы к биномиальной, мы используем тригонометрические отношения. Из предыдущего рисунка видно, что:

x = r cos φ

у = г sin φ

Таким образом, z = r (cos φ + i sin φ)

Это сокращенно так:

z = r цис φ

Примеры комплексных чисел

Следующие комплексные числа даны в биномиальной форме:

а) 3 + я

б) 4

г) -6i

И это в виде упорядоченной пары:

а) (-5, -3)

б) (0, 9)

в) (7.0)

Наконец, эта группа дается в полярной или тригонометрической форме:

а) √2 цис 45º

б) √3 цис 30º

в) 2 цис 315º

Для чего они?

Полезность комплексных чисел выходит за рамки решения квадратного уравнения, показанного в начале, поскольку они необходимы в области инженерии и физики, особенно в:

-Изучение электромагнитных волн

-Анализ переменного тока и напряжения

-Моделирование всех видов сигналов

-Теория относительности, где время принимается как мнимая величина.

Операции с комплексными числами

С комплексными числами мы можем выполнять все операции, которые выполняются с действительными. Некоторые из них легче сделать, если числа представлены в биномиальной форме, например, сложение и вычитание. Напротив, умножение и деление проще, если они выполняются с полярной формой.

Давайте посмотрим на несколько примеров:

- Пример 1

Складываем z ₁ = 2 + 5i и z ₂ = -3 -8i

Решение

Реальные части складываются отдельно от мнимых частей:

z ₁ + z ₂ = (2 + 5i) + (-3 -8i) = -1 -3i

- Пример 2

Умножаем z ₁ = 4 цис 45º и z ₂ = 5 цис 120º.

Решение

Можно показать, что произведение двух комплексных чисел в полярной или тригонометрической форме имеет вид:

z ₁ . г ₂ = г ₁ .r ₂ цис (φ ₁ + φ ₂ )

Согласно этому:

z ₁ . z ₂ = (4 × 5) цис (45 + 120) = 20 цис 165º

заявка

Простое применение комплексных чисел - найти все корни полиномиального уравнения, такого как показано в начале статьи.

В случае уравнения x ² - 10x + 34 = 0, применяя разрешающую формулу, получаем:

Поэтому решения следующие:

х ₁ = 5 + 3i

х ₂ = 5 - 3i

Ссылки

1. Эрл, Р. Комплексные числа. Получено с: maths.ox.ac.uk.
2. Фигера, Дж. 2000. Математика 1-й. Диверсифицированный. CO-BO редакции.
3. Хоффманн, Дж. 2005. Выбор тем по математике. Публикации Монфорт.
4. Хименес, Р. 2008. Алгебра. Прентис Холл.
5. Wikipedia. Комплексные числа. Получено с: en.wikipedia.org