ЧИСЛО ЭЙЛЕРА ИЛИ ЧИСЛО Е: СКОЛЬКО ОНО СТОИТ, СВОЙСТВА, ПРИМЕНЕНИЕ - МАТЕМАТИКА - 2025

Число Эйлера или число e - это хорошо известная математическая константа, которая часто появляется во многих научных и экономических приложениях, наряду с числом π и другими важными числами в математике.

Научный калькулятор возвращает следующее значение числа e:

Рисунок 1. Число Эйлера часто встречается в науке. Источник: Ф. Сапата.

е = 2,718281828 …

Но известно гораздо больше десятичных знаков, например:

e = 2,71828182845904523536…

А современные компьютеры нашли для числа e триллионы десятичных знаков.

Это иррациональное число, что означает, что оно имеет бесконечное количество десятичных знаков без повторяющегося шаблона (последовательность 1828 появляется дважды в начале и больше не повторяется).

И это также означает, что число e не может быть получено как частное двух целых чисел.

История

Число e было идентифицировано ученым Жаком Бернулли в 1683 году, когда он изучал проблему сложных процентов, но ранее оно косвенно фигурировало в работах шотландского математика Джона Напьера, который изобрел логарифмы около 1618 года.

Однако именно Леонард Эйлер в 1727 году дал ему название «е» и интенсивно изучил его свойства. Вот почему оно также известно как число Эйлера, а также как естественное основание для натуральных логарифмов (показателя степени), используемых в настоящее время.

Сколько стоит число е?

Число е стоит:

e = 2,71828182845904523536…

Многоточие означает, что существует бесконечное количество десятичных знаков, и на самом деле, с сегодняшними компьютерами известны миллионы из них.

Представления числа e

Есть несколько способов определить e, которые мы описываем ниже:

Число е как предел

Один из различных способов выражения числа e - это тот, который ученый Бернулли обнаружил в своих работах о сложных процентах:

В котором вам нужно сделать значение n очень большим числом.

С помощью калькулятора легко проверить, что, когда n очень велико, предыдущее выражение стремится к значению e, указанному выше.

Конечно, мы можем спросить себя, насколько большим может быть n, поэтому давайте попробуем округлить числа, например, такие:

n = 1000; 10 000 или 100 000

В первом случае получаем e = 2,7169239…. Во втором случае e = 2.7181459… а в третьем оно намного ближе к значению e: 2.7182682. Мы уже можем представить, что при n = 1 000 000 или больше приближение будет еще лучше.

На математическом языке процедура приближения n к очень большому значению называется пределом до бесконечности и обозначается так:

Для обозначения бесконечности используется символ «∞».

Число е в виде суммы

Также можно определить число e с помощью этой операции:

Цифры, стоящие в знаменателе: 1, 2, 6, 24, 120… соответствуют операции n!, Где:

И по определению 0! = 1.

Легко проверить, что чем больше добавляется слагаемых, тем точнее достигается число е.

Давайте проведем несколько тестов с калькулятором, добавляя все новые и новые дополнения:

1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2,71667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2.75833

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2,76667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2,71806

Чем больше терминов добавляется к сумме, тем больше результат похож на e.

Математики разработали компактные обозначения для этих сумм, включающие множество членов, с использованием символа суммирования Σ:

Это выражение читается как «сумма от n = 0 до бесконечности 1 между n факториалами».

Число е с геометрической точки зрения

Число e имеет графическое представление, относящееся к области под графиком кривой:

у = 1 / х

Когда значения x находятся между 1 и e, эта область равна 1, как показано на следующем рисунке:

Рис. 2. Графическое представление числа e: площадь под кривой 1 / x между x = 1 и x = e равна 1. Источник: F. Zapata.

Свойства числа e

Некоторые из свойств числа е:

-Это иррационально, другими словами, его нельзя получить простым делением двух целых чисел.

-Число e также является трансцендентным числом, что означает, что e не является решением какого-либо полиномиального уравнения.

-Это связано с четырьмя другими известными числами в области математики, а именно: π, i, 1 и 0, через тождество Эйлера:

-Так называемые комплексные числа можно выразить через e.

-Он составляет основу натуральных или натуральных логарифмов настоящего времени (первоначальное определение Джона Напьера немного отличается).

-Это единственное число, натуральный логарифм которого равен 1, то есть:

Приложения

Статистика

Число e очень часто встречается в области вероятности и статистики, появляясь в различных распределениях, таких как нормальное или гауссово, пуассоновское и другие.

инженерия

В технике это часто встречается, поскольку экспоненциальная функция y = e ^x присутствует, например, в механике и электромагнетизме. Среди множества приложений можно отметить:

-Трос или цепь, которые свешиваются, удерживаемые за концы, принимают форму кривой, определяемую:

у = (е ^х + е ^-x ) / 2

-Первоначально разряженный конденсатор C, который соединен последовательно с резистором R и источником напряжения V для зарядки, приобретает определенный заряд Q как функцию времени t, определяемого выражением:

Q (t) = CV (1-e ^{-t / RC} )

биология

Экспоненциальная функция y = Ae ^Bx с константами A и B используется для моделирования роста клеток и роста бактерий.

физический

В ядерной физике радиоактивный распад и определение возраста моделируются с помощью радиоуглеродного датирования.

экономика

При расчете сложных процентов число е возникает естественным образом.

Предположим, у вас есть определенная сумма денег P _o для инвестирования под процентную ставку i% в год.

Если оставить деньги на 1 год, по истечении этого времени у вас будет:

Еще через год, не прикасаясь к нему, вы получите:

И так продолжалось n лет:

Теперь вспомним одно из определений e:

Это немного похоже на выражение для P, поэтому должна быть связь.

Мы собираемся распределить номинальную процентную ставку i на n периодов времени, таким образом, сложная процентная ставка будет i / n:

Это выражение немного больше похоже на наш предел, но все же не совсем то же самое.

Однако после некоторых алгебраических манипуляций можно показать, что, сделав эту замену переменной:

Наши деньги P становятся:

А то, что заключено в фигурные скобки, даже если оно написано с буквой h, равно аргументу предела, определяющему число e, за исключением только предела.

Сделаем h → ∞, и то, что заключено в фигурные скобки, станет числом e. Это не означает, что нам нужно бесконечно долго ждать вывода денег.

Если мы посмотрим внимательно, сделав h = n / i и стремясь к ∞, то, что мы фактически сделали, - это распределили процентную ставку на очень, очень малые периоды времени:

я = н / ч

Это называется непрерывным компаундированием. В таком случае сумма денег легко рассчитывается так:

Где i - годовая процентная ставка. Например, если вы вносите 12 евро под 9% в год путем непрерывной капитализации, то через год у вас будет:

С прибылью 1,13 €.

Ссылки

1. Наслаждайтесь математикой. Сложный процент: периодический состав. Получено с: Enjoyylasmatematicas.com.
2. Фигера, Дж. 2000. Математика 1-й. Диверсифицированный. CO-BO редакции.
3. Гарсия, М. Число е в элементарном исчислении. Получено с: matematica.ciens.ucv.ve.
4. Хименес, Р. 2008. Алгебра. Прентис Холл.
5. Ларсон, Р. 2010. Вычисление переменной. 9-е. Издание. Макгроу Хилл.