АТОМНАЯ МОДЕЛЬ ДИРАКА ИОРДАНА: ХАРАКТЕРИСТИКИ И ПОСТУЛАТЫ - ФИЗИЧЕСКИЙ

Атомная модель Дирака-Джордан является релятивистским обобщением оператора Гамильтона в уравнении , которое описывает функцию квантовой волны электрона. В отличие от предыдущей модели, модели Шредингера, нет необходимости вводить спин с помощью принципа исключения Паули, поскольку он возникает естественным образом.

Кроме того, модель Дирака-Жордана включает релятивистские поправки, спин-орбитальное взаимодействие и дарвиновский член, который учитывает тонкую структуру электронных уровней атома.

Рис. 1. Электронные орбитали в атоме водорода для первых трех энергетических уровней. Источник: Wikimedia Commons.

Начиная с 1928 года, ученые Поль А.М. Дирак (1902–1984) и Паскуаль Джордан (1902–1980) приступили к обобщению квантовой механики, разработанной Шредингером, так, чтобы она включала поправки специальной теории относительности Эйнштейна.

Дирак исходит из уравнения Шредингера, которое состоит из дифференциального оператора, называемого гамильтонианом, который оперирует функцией, известной как волновая функция электрона. Однако Шредингер не учел релятивистские эффекты.

Решения волновой функции позволяют вычислить области, в которых с определенной долей вероятности электрон будет находиться вокруг ядра. Эти области или зоны называются орбиталями и зависят от определенных дискретных квантовых чисел, которые определяют энергию и угловой момент электрона.

Постулаты

В квантово-механических теориях, релятивистских или нет, нет понятия орбит, поскольку ни положение, ни скорость электрона нельзя указать одновременно. Более того, указание одной из переменных приводит к полной неточности в другой.

Со своей стороны, гамильтониан - это математический оператор, который действует на квантовую волновую функцию и основан на энергии электрона. Например, свободный электрон имеет полную энергию E, которая зависит от его импульса p следующим образом:

E = ( p ² ) / 2 м

Чтобы построить гамильтониан, мы начнем с этого выражения и подставим квантовый оператор вместо импульса p :

p = -i ħ ∂ / ∂ r

Важно отметить, что члены p и p различны, поскольку первый - это импульс, а другой - дифференциальный оператор, связанный с импульсом.

Кроме того, i - мнимая единица и ħ постоянная Планка, деленная на 2π, таким образом получается гамильтонов оператор H свободного электрона:

H = (ħ ² / 2m) ∂ ² / ∂ r ²

Чтобы найти гамильтониан электрона в атоме, добавьте взаимодействие электрона с ядром:

H = (ħ2 / 2m) ∂ ² / ∂ r ² - eΦ (r)

В предыдущем выражении -e - это электрический заряд электрона, а Φ (r) - электростатический потенциал, создаваемый центральным ядром.

Теперь оператор H действует на волновую функцию ψ согласно уравнению Шредингера, которое записывается так:

H ψ = (i ħ ∂ / ∂t) ψ

Четыре постулата Дирака

Первый постулат : релятивистское волновое уравнение имеет ту же структуру, что и волновое уравнение Шредингера, но меняется H:

H ψ = (i ħ ∂ / ∂t) ψ

Второй постулат : оператор Гамильтона строится исходя из соотношения энергия-импульс Эйнштейна, которое записывается следующим образом:

E = (m ² c ⁴ + p ² c ² ) ^1/2

В предыдущем соотношении, если частица имеет импульс p = 0, то мы имеем знаменитое уравнение E = mc ^2, которое связывает энергию покоя любой частицы массы m со скоростью света c.

Третий постулат : для получения оператора Гамильтона используется то же правило квантования, что и в уравнении Шредингера:

p = -i ħ ∂ / ∂ r

Вначале было неясно, как обращаться с этим дифференциальным оператором, действующим в пределах квадратного корня, поэтому Дирак намеревался получить линейный гамильтонов оператор над оператором импульса, и отсюда возник свой четвертый постулат.

Четвертый постулат : чтобы избавиться от квадратного корня в формуле релятивистской энергии, Дирак предложил следующую структуру для E ² :

Конечно, для этого необходимо определить альфа-коэффициенты (α0, α1, α2, α3).

Уравнение Дирака

В своей компактной форме уравнение Дирака считается одним из самых красивых математических уравнений в мире:

Рис. 2. Уравнение Дирака в компактной форме. Источник: Ф. Сапата.

И тогда становится ясно, что постоянные альфы не могут быть скалярными величинами. Единственный способ, которым выполняется равенство четвертого постулата, - это то, что они являются постоянными матрицами 4 × 4, которые известны как матрицы Дирака:

Мы сразу же замечаем, что волновая функция перестает быть скалярной функцией и становится вектором с четырьмя компонентами, называемым спинором:

Атом Дирака-Жордана

Чтобы получить модель атома, необходимо перейти от уравнения свободного электрона к уравнению электрона в электромагнитном поле, создаваемом атомным ядром. Это взаимодействие учитывается путем включения в гамильтониан скалярного потенциала Φ и векторного потенциала A :

Волновая функция (спинор), полученная в результате включения этого гамильтониана, имеет следующие характеристики:

- Соответствует специальной теории относительности, поскольку учитывает внутреннюю энергию электрона (первый член релятивистского гамильтониана)

- Имеет четыре решения, соответствующие четырем компонентам спинора.

- Первые два решения соответствуют одному спину + ½, а другому - ½.

- Наконец, два других решения предсказывают существование антивещества, поскольку они соответствуют позитронам с противоположными спинами.

Большое преимущество уравнения Дирака состоит в том, что поправки к основному гамильтониану Шредингера H (o) можно разбить на несколько членов, которые мы покажем ниже:

В предыдущем выражении V - это скалярный потенциал, поскольку векторный потенциал A равен нулю, если центральный протон предполагается стационарным и поэтому не появляется.

Причина в том, что поправки Дирака к решениям Шредингера в волновой функции тонкие. Они возникают из-за того, что все три последних члена исправленного гамильтониана делятся на квадрат скорости c света, огромное число, что делает эти члены численно малыми.

Релятивистские поправки к энергетическому спектру

С помощью уравнения Дирака-Жордана находим поправки к энергетическому спектру электрона в атоме водорода. Поправки на энергию в атомах с более чем одним электроном в приблизительной форме также находятся с помощью методологии, известной как теория возмущений.

Точно так же модель Дирака позволяет найти поправку на тонкую структуру в энергетических уровнях водорода.

Однако даже более тонкие поправки, такие как сверхтонкая структура и лэмбовский сдвиг, получены из более продвинутых моделей, таких как квантовая теория поля, которая родилась именно благодаря вкладу модели Дирака.

На следующем рисунке показано, как выглядят релятивистские поправки Дирака к уровням энергии:

Рис. 3. Поправки модели Дирака к уровням атома водорода. Источник: Wikimedia Commons.

Например, решения уравнения Дирака правильно предсказывают наблюдаемый сдвиг на уровне 2s. Это хорошо известная коррекция тонкой структуры в линии Лайман-альфа спектра водорода (см. Рисунок 3).

Кстати, тонкая структура - это название, данное в атомной физике удвоению линий эмиссионного спектра атомов, что является прямым следствием электронного спина.

Рис. 4. Расщепление тонкой структуры для основного состояния n = 1 и первого возбужденного состояния n = 2 в атоме водорода. Источник: Р. Вирната. Релятивистские поправки к водородоподобным атомам. Researchgate.net

Интересные статьи

Атомная модель Де Бройля.

Атомная модель Чедвика.

Модель атома Гейзенберга.

Атомная модель Перрина.

Атомная модель Томсона.

Атомная модель Дальтона.

Атомная модель Шредингера.

Атомная модель Демокрита.

Атомная модель Бора.

Ссылки

Атомная теория. Восстановлено с wikipedia.org.
Электронный магнитный момент. Восстановлено с wikipedia.org.
Quanta: Справочник концепций. (1974). Издательство Оксфордского университета. Восстановлено с Wikipedia.org.
Атомная модель Дирака Джордана. Получено с prezi.com.
Новая квантовая вселенная. Издательство Кембриджского университета. Восстановлено с Wikipedia.org.

АТОМНАЯ МОДЕЛЬ ДИРАКА ИОРДАНА: ХАРАКТЕРИСТИКИ И ПОСТУЛАТЫ - ФИЗИЧЕСКИЙ - 2026