ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (С РЕШЕННЫМИ УПРАЖНЕНИЯМИ) - МАТЕМАТИКА - 2025

В полиномиальных уравнениях являются утверждением , что повышает равенство двух выражений или членов, в которых хотя бы один из терминов , которые составляют до каждой стороны равенств являются многочлены Р (х). Эти уравнения названы в соответствии со степенью их переменных.

В общем, уравнение - это утверждение, которое устанавливает равенство двух выражений, где хотя бы в одном из них есть неизвестные величины, которые называются переменными или неизвестными. Хотя существует много типов уравнений, они обычно делятся на два типа: алгебраические и трансцендентные.

Полиномиальные уравнения содержат только алгебраические выражения, которые могут включать в себя одно или несколько неизвестных. По показателю (степени), который они имеют, они могут быть классифицированы на: первую степень (линейную), вторую степень (квадратичную), третью степень (кубическую), четвертую степень (квартичную), степень больше или равную пяти и иррациональные.

характеристики

Полиномиальные уравнения - это выражения, которые образованы равенством двух полиномов; то есть конечными суммами умножений между неизвестными значениями (переменные) и фиксированными числами (коэффициентами), где переменные могут иметь показатели степени, а их значение может быть положительным целым числом, включая ноль.

Показатели степени определяют степень или тип уравнения. Член в выражении с наивысшим показателем степени будет представлять абсолютную степень полинома.

Полиномиальные уравнения также известны как алгебраические уравнения, их коэффициенты могут быть действительными или комплексными числами, а переменные - неизвестными числами, представленными буквой, например: «x».

Если подставить значение для переменной «x» в P (x), результат будет равен нулю (0), то говорят, что это значение удовлетворяет уравнению (это решение), и его обычно называют корнем полинома.

При разработке полиномиального уравнения вы хотите найти все корни или решения.

Типы

Есть несколько типов полиномиальных уравнений, которые различаются по количеству переменных, а также по степени их экспоненты.

Таким образом, полиномиальные уравнения, в которых первый член является полиномом, имеющим единственное неизвестное, учитывая, что его степень может быть любым натуральным числом (n), а второй член равен нулю, могут быть выражены следующим образом:

a _{n *} x ⁿ + a _{n-1 *} x ^n-1 +… + a _{1 *} x ¹ + a _{0 *} x ₀ = 0

Куда:

- a _n, a _n-1 и ₀ - действительные коэффициенты (числа).

- _n отличен от нуля.

- Показатель n является положительным целым числом, которое представляет степень уравнения.

- x - переменная или неизвестное значение для поиска.

Абсолютная или большая степень полиномиального уравнения - это показатель степени с наибольшим значением среди всех тех, которые образуют полином; Таким образом, уравнения классифицируются как:

Первый класс

Полиномиальные уравнения первой степени, также известные как линейные уравнения, - это уравнения, в которых степень (наибольший показатель) равна 1, полином имеет вид P (x) = 0; y состоит из линейного и независимого членов. Написано это так:

ах + Ь = 0.

Куда:

- a и b - действительные числа и a 0.

- ax - линейный член.

- b - самостоятельный член.

Например, уравнение 13x - 18 = 4x.

Чтобы решить линейные уравнения, все члены, содержащие неизвестное значение x, должны быть переданы в одну сторону равенства, а те, у которых их нет, переместятся в другую сторону, чтобы решить его и получить решение:

13x - 18 = 4x

13х = 4х + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

х = 18 ÷ 9

х = 2.

Таким образом, данное уравнение имеет только одно решение или корень, который равен x = 2.

Второй класс

Полиномиальные уравнения второй степени, также известные как квадратные уравнения, - это те, в которых степень (наибольший показатель степени) равна 2, многочлен имеет форму P (x) = 0 и состоит из квадратичного члена , один линейный и один независимый. Это выражается следующим образом:

ах ² + Ьх + с = 0.

Куда:

- a, b и c - действительные числа и a 0.

- ax ² - квадратичный член, а «a» - коэффициент квадратичного члена.

- bx - линейный член, а «b» - коэффициент линейного члена.

- c - независимый член.

растворитель

Как правило, решение этого типа уравнений дается удалением x из уравнения, и оно выглядит следующим образом, что называется резольвентой:

Здесь (b ² - 4ac) называется дискриминантом уравнения, и это выражение определяет количество решений, которые может иметь уравнение:

- Если (b ² - 4ac) = 0, уравнение будет иметь единственное решение, которое является двойным; то есть у него будет два равных решения.

- Если (b ² - 4ac)> 0, уравнение будет иметь два разных действительных решения.

- Если (b ² - 4ac) <0, уравнение не имеет решения (у него будет два разных комплексных решения).

Например, у нас есть уравнение 4x ² + 10x - 6 = 0, для его решения сначала определите термины a, b и c, а затем подставьте их в формулу:

а = 4

б = 10

с = -6.

Бывают случаи, когда полиномиальные уравнения второй степени не содержат всех трех членов, и поэтому они решаются по-разному:

- В случае, если квадратные уравнения не имеют линейного члена (то есть b = 0), уравнение будет выражено как ax ² + c = 0. Чтобы решить его, решите относительно x ² и примените квадратные корни в каждом члене. , помня, что необходимо учитывать два возможных признака, которые может иметь неизвестное:

ах ² + с = 0.

х ² = - с ÷ а

Например, 5 x ² - 20 = 0.

5 х ² = 20

х ² = 20 ÷ 5

х = ± √4

х = ± 2

х ₁ = 2.

х ₂ = -2.

- Когда квадратное уравнение не имеет независимого члена (то есть c = 0), уравнение будет выражено как ax ² + bx = 0. Для его решения необходимо взять общий множитель неизвестного x в первом члене; Поскольку уравнение равно нулю, верно, что хотя бы один из факторов будет равен 0:

ах ² + Ьх = 0.

х (ах + Ь) = 0.

Таким образом, вам необходимо:

х = 0.

х = -b ÷ а.

Например: у нас есть уравнение 5x ² + 30x = 0. Сначала мы множим:

5х ² + 30х = 0

х (5х + 30) = 0.

Генерируются два фактора: xy (5x + 30). Считается, что один из них будет равен нулю, а другой решается:

х ₁ = 0.

5х + 30 = 0

5x = -30

х = -30 ÷ 5

х ₂ = -6.

Высокий класс

Полиномиальные уравнения более высокой степени - это те, которые идут от третьей степени и далее, которые могут быть выражены или решены с помощью общего полиномиального уравнения для любой степени:

a _{n *} x ⁿ + a _{n-1 *} x ^n-1 +… + a _{1 *} x ¹ + a _{0 *} x ₀ = 0

Это используется, потому что уравнение со степенью больше двух является результатом факторизации многочлена; то есть он выражается как умножение многочленов первой или большей степени, но без действительных корней.

Решение этих типов уравнений является прямым, потому что умножение двух множителей будет равно нулю, если любой из множителей равен нулю (0); следовательно, каждое из найденных полиномиальных уравнений необходимо решить, установив каждый из их множителей равным нулю.

Например, у нас есть уравнение третьей степени (кубическое) x ³ + x ² + 4x + 4 = 0. Для его решения необходимо выполнить следующие шаги:

- Термины сгруппированы:

х ³ + х ² + 4х + 4 = 0

(х ³ + х ² ) + (4х + 4) = 0.

- Члены раскладываются, чтобы получить общий коэффициент неизвестного:

х ² (х + 1) + 4 (х + 1) = 0

(х ² + 4) _* (х + 1) = 0.

- Таким образом получаются два коэффициента, которые должны быть равны нулю:

(х ² + 4) = 0

(х + 1) = 0.

- Видно, что фактор (x ² + 4) = 0 не будет иметь реального решения, а фактор (x + 1) = 0 имеет. Итак, решение:

(х + 1) = 0

х = -1.

Решенные упражнения

Решите следующие уравнения:

Первое упражнение

(2x ² + 5) _* (x - 3) _* (1 + x) = 0.

Решение

В этом случае уравнение выражается как произведение многочленов; то есть это факторизовано. Для ее решения каждый коэффициент необходимо установить равным нулю:

- 2x ² + 5 = 0, не имеет решения.

- х - 3 = 0

- х = 3.

- 1 + х = 0

- х = - 1.

Таким образом, данное уравнение имеет два решения: x = 3 и x = -1.

Второе упражнение

х ⁴ - 36 = 0.

Решение

Был задан полином, который можно переписать как разность квадратов, чтобы получить более быстрое решение. Таким образом, уравнение:

(х ² + 6) _* (х ² - 6) = 0.

Чтобы найти решение уравнений, оба фактора приравниваются к нулю:

(x ² + 6) = 0, у него нет решения.

(х ² - 6) = 0

х ² = 6

х = ± √6.

Таким образом, исходное уравнение имеет два решения:

х = √6.

х = - √6.

Ссылки

1. Андрес, Т. (2010). Математическая олимпиада Tresure. Springer. Нью-Йорк.
2. Ангел, AR (2007). Элементарная алгебра. Pearson Education,.
3. Баер, Р. (2012). Линейная алгебра и проективная геометрия. Курьерская корпорация.
4. Балдор, А. (1941). Алгебра. Гавана: культура.
5. Кастаньо, HF (2005). Математика перед расчетом. Медельинский университет.
6. Кристобаль Санчес, MR (2000). Математика для подготовки к олимпиаде. Университет Жауме I.
7. Кремли Перес, ML (1984). Высшая алгебра I.
8. Массара, NC-L. (тысяча девятьсот девяносто пятый год). Математика 3.