НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, ПРИМЕРЫ, РЕШЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2024

Это называется свойством неравного треугольника, когда встречаются два действительных числа, состоящие из того, что абсолютное значение их суммы всегда меньше или равно сумме их абсолютных значений. Это свойство также известно как неравенство Минковского или треугольное неравенство.

Это свойство чисел называется треугольным неравенством, потому что в треугольниках длина одной стороны всегда меньше или равна сумме двух других, даже если это неравенство не всегда применяется в области треугольников.

Рисунок 1. Абсолютное значение суммы двух чисел всегда меньше или равно сумме их абсолютных значений. (Подготовил Р. Перес)

Существует несколько доказательств треугольного неравенства в действительных числах, но в этом случае мы выберем одно, основываясь на свойствах модуля и биномиального квадрата.

Теорема: для каждой пары чисел a и b, принадлежащих действительным числам, мы имеем:

- а + б - ≤ - а - + - б -

демонстрация

Начнем с рассмотрения первого члена неравенства, который возведем в квадрат:

- a + b - ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 ab + b ^ 2 (уравнение 1)

На предыдущем шаге мы использовали свойство, согласно которому любое число в квадрате равно абсолютному значению указанного числа в квадрате, то есть: -x- ^ 2 = x ^ 2. Также использовалось квадратное биномиальное разложение.

Каждое число x меньше или равно его абсолютному значению. Если число положительное, оно равно, но если число отрицательное, оно всегда будет меньше положительного числа. В этом случае собственное абсолютное значение, то есть можно констатировать, что x ≤ - x -.

Произведение (ab) является числом, поэтому применяется (ab) ≤ - ab -. Когда это свойство применяется к (уравнение 1), мы имеем:

- a + b - ^ 2 = a ^ 2 + 2 (ab) + b ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - ab - + b ^ 2 (уравнение 2)

Учитывая, что - ab - = - a - b - la (уравнение 2) можно записать следующим образом:

- a + b - ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - a - b - + b ^ 2 (уравнение 3)

Но поскольку мы говорили ранее, что квадрат числа равен абсолютному значению квадрата числа, то уравнение 3 можно переписать следующим образом:

- a + b - ^ 2 ≤ -a- ^ 2 + 2 -a- -b- + -b- ^ 2 (уравнение 4)

Во втором члене неравенства признается замечательный продукт, применение которого приводит к:

- a + b - ^ 2 ≤ (-a- + -b -) ^ 2 (уравнение 5)

В предыдущем выражении следует отметить, что значения, которые должны быть возведены в квадрат в обоих членах неравенства, положительны, поэтому необходимо также убедиться, что:

- a + b - ≤ (-a- + -b-) (уравнение 6)

Предыдущее выражение - именно то, что вы хотели продемонстрировать.

Примеры

Далее мы проверим треугольное неравенство на нескольких примерах.

Пример 1

Мы берем значение a = 2 и значение b = 5, то есть оба положительных числа, и проверяем, выполняется ли неравенство.

- 2 + 5 - ≤ -2- + -5-

- 7 - ≤ -2- + -5-

7 ≤ 2+ 5

Равенство проверено, следовательно, теорема о неравенстве треугольника выполнена.

Пример 2

Выбираются следующие значения a = 2 и b = -5, то есть положительное число, а другое отрицательное, мы проверяем, выполняется ли неравенство.

- 2 - 5 - ≤ -2- + --5-

- -3 - ≤ -2- + --5-

3 ≤ 2 + 5

Неравенство выполнено, следовательно, теорема о треугольном неравенстве проверена.

Пример 3

Берём значение a = -2 и значение b = 5, то есть отрицательное число, а другое положительное, проверяем, выполняется ли неравенство.

- -2 + 5 - ≤ --2- + -5-

- 3 - ≤ --2- + -5-

3 ≤ 2 + 5

Неравенство проверено, значит, теорема выполнена.

Пример 4

Выбираются следующие значения a = -2 и b = -5, то есть оба отрицательные числа, и мы проверяем, выполняется ли неравенство.

- -2 - 5 - ≤ --2- + --5-

- -7 - ≤ --2- + --5-

7 ≤ 2+ 5

Равенство проверено, следовательно, теорема о неравенстве Минковского выполнена.

Пример 5

Мы берем значение a = 0 и значение b = 5, то есть число ноль, а другое положительное, затем проверяем, выполняется неравенство или нет.

- 0 + 5 - ≤ -0- + -5-

- 5 - ≤ -0- + -5-

5 ≤ 0+ 5

Равенство выполнено, следовательно, теорема о неравенстве треугольника проверена.

Пример 6

Мы берем значение a = 0 и значение b = -7, то есть число ноль, а другое положительное значение, затем проверяем, выполняется ли неравенство или нет.

- 0-7 - ≤ -0- + --7-

- -7 - ≤ -0- + --7-

7 ≤ 0+ 7

Равенство проверено, следовательно, теорема о треугольном неравенстве выполнена.

Решенные упражнения

В следующих упражнениях изобразите геометрически неравенство треугольника или неравенство Минковского для чисел a и b.

Число a будет представлено как сегмент на оси X, его начало O совпадает с нулем оси X, а другой конец сегмента (в точке P) будет в положительном направлении (вправо) от оси X, если > 0, но если a <0, он будет в отрицательном направлении оси X, на столько единиц, сколько указывает его абсолютное значение.

Точно так же число b будет представлено как отрезок, начало которого находится в точке P. Другой крайний момент, то есть точка Q, будет правее P, если b положительно (b> 0), а точка Q будет -b. - единицы слева от P, если b <0.

Упражнение 1

Изобразите неравенство треугольника для a = 5 и b = 3 - a + b - ≤ - a - + - b -, где c = a + b.

Упражнение 2.

Изобразите треугольное неравенство для a = 5 и b = -3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, где c = a + b.

Упражнение 3.

Графически покажите неравенство треугольника для a = -5 и b = 3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, где c = a + b.

Упражнение 4.

Графически постройте треугольное неравенство для a = -5 и b = -3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, где c = a + b.

Ссылки

1. Э. Уайтситт. (1980) Булева алгебра и ее приложения. Редакция компании Continental CA
2. Mícheál O 'Searcoid. (2003) Элементы абстрактного анализа. , Кафедра математики. Университетский колледж Дублина, Бельдфилд, Дублинд.
3. J. Van Wyk. (2006) Математика и инженерия в компьютерных науках. Институт компьютерных наук и технологий. Национальное бюро стандартов. Вашингтон, округ Колумбия 20234
4. Эрик Леман. Математика для компьютерных наук. Google Inc.
5. Ф. Томсон Лейтон (1980). Исчисление. Департамент математики, компьютерных наук и лаборатории искусственного интеллекта Массачусетского технологического института.
6. Ханская академия. Теорема о неравенстве треугольника. Получено с: khanacademy.org
7. Wikipedia. Треугольное неравенство. Получено с: es. wikipedia.com