КОНСТАНТА ИНТЕГРИРОВАНИЯ: ЗНАЧЕНИЕ, РАСЧЕТ И ПРИМЕРЫ - МАТЕМАТИКА - 2025

Постоянная интегрирования является дополнительным значением для вычисления первообразных или интегралов, он служит для представления решений , которые составляют примитив функции. Он выражает внутреннюю неоднозначность, когда любая функция имеет бесконечное количество примитивов.

Например, если мы возьмем функцию: f (x) = 2x + 1 и получим ее первообразную:

∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C ; Где C - постоянная интегрирования и графически представляет вертикальный переход между бесконечными возможностями примитива. Правильно сказать, что (x ² + x) - одна из примитивов f (x).

Источник: автор

Точно так же мы можем определить (x ² + x + C ) как примитив f (x).

Обратное свойство

Можно отметить, что при выводе выражения (x ² + x) получается функция f (x) = 2x + 1. Это связано с обратным свойством, существующим между выводом и интегрированием функций. Это свойство позволяет получать формулы интегрирования, начиная с дифференцирования. Это позволяет проверять интегралы через те же производные.

Источник: автор

Однако (x ² + x) - не единственная функция, производная которой равна (2x + 1).

1. d (x ² + x) / dx = 2x + 1
2. d (x ² + x + 1) / dx = 2x + 1
3. d (x ² + x + 2) / dx = 2x + 1
4. d (x ² + x + 3) / dx = 2x + 1
5. d (x ² + x + C ) / dx = 2x + 1

Где 1, 2, 3 и 4 представляют конкретные примитивы f (x) = 2x + 1. В то время как 5 представляет неопределенный или примитивный интеграл f (x) = 2x + 1.

Источник: автор

Примитивы функции достигаются с помощью антидеривации или интегрального процесса. Где F будет примитивом f, если верно следующее

• y = ∫ f (x) dx = F (x) + C; C = постоянная интегрирования
• F '(х) = f (х)

Можно видеть, что функция имеет единственную производную, в отличие от ее бесконечных примитивов, полученных в результате интегрирования.

Неопределенный интеграл

∫ f (x) dx = F (x) + C

Он соответствует семейству кривых с одинаковым рисунком, которые испытывают несоответствие в значениях изображений каждой точки (x, y). Каждая функция, которая выполняет этот шаблон, будет отдельным примитивом, а набор всех функций известен как неопределенный интеграл.

Значение константы интегрирования будет тем, которое отличает каждую функцию на практике.

Постоянная интегрирования предполагает вертикальное смещение во всех графиках , представляющих примитивы функции. Где наблюдается параллельность между ними, и то, что C - величина смещения.

Согласно общепринятой практике, постоянная интегрирования обозначается буквой «C» после добавления, хотя на практике это не имеет значения, добавляется или вычитается константа. Его реальную стоимость можно найти разными способами при разных начальных условиях .

Другие значения постоянной интеграции

Уже обсуждалось, как постоянная интегрирования применяется в области интегрального исчисления ; Представление семейства кривых, определяющих неопределенный интеграл. Но многие другие науки и отрасли приписали очень интересные и практические значения константе интеграции, которые способствовали развитию множества исследований.

В физике постоянная интегрирования может принимать несколько значений в зависимости от характера данных. Очень распространенный пример - знание функции V (t), которая представляет скорость частицы в зависимости от времени t. Известно, что при вычислении примитива V (t) получается функция R (t), которая представляет положение частицы во времени.

Постоянная интегрирования будет представлять значение начальной позиции, то есть в момент времени Т = 0.

Таким же образом, если известна функция A (t), которая представляет ускорение частицы во времени. Примитив A (t) приведет к функции V (t), где постоянная интегрирования будет значением начальной скорости V ₀ .

В экономике : путем интегрирования примитива функции стоимости. Постоянная интегрирования будет представлять постоянные затраты. И так много других приложений, заслуживающих дифференциального и интегрального исчисления.

Как рассчитывается постоянная интегрирования?

Для расчета постоянной интегрирования всегда необходимо знать начальные условия . Которые отвечают за определение того, какой из возможных примитивов является соответствующим.

Во многих приложениях она рассматривается как независимая переменная в момент времени (t), где константа C принимает значения, которые определяют начальные условия конкретного случая.

Если взять исходный пример: ∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C

Допустимое начальное условие может заключаться в том, что график проходит через определенную координату. Например, мы знаем, что примитив (x ² + x + C) проходит через точку (1, 2)

F (х) = х ² + х + С; это общее решение

F (1) = 2

Подставим в это равенство общее решение

F (1) = (1) ² + (1) + C = 2

Отсюда легко следует, что C = 0

Таким образом, соответствующий примитив для этого случая равен F (x) = x ² + x

Есть несколько типов числовых упражнений, которые работают с константами интегрирования . Фактически, дифференциальное и интегральное исчисление не перестают применяться в современных исследованиях. Их можно найти на разных академических уровнях; от первоначального расчета, через физику, химию, биологию, экономику и другие.

Это также ценится при изучении дифференциальных уравнений , где постоянная интегрирования может принимать разные значения и решения, это связано с множественными выводами и интегрированиями, которые выполняются в этом вопросе.

Примеры

Пример 1

1. Пушка высотой 30 метров стреляет вертикально вверх. Известно, что начальная скорость снаряда составляет 25 м / с. Решать:

• Функция, определяющая положение снаряда по времени.
• Время полета или момент времени, когда частица падает на землю.

Известно, что при прямолинейном движении, равномерно изменяющемся, ускорение является постоянной величиной. Это случай запуска снаряда, где ускорение будет равным гравитации.

g = - 10 м / с ²

Также известно, что ускорение - это вторая производная от положения, что указывает на двойное интегрирование в разрешающей способности упражнения, таким образом получая две константы интегрирования.

А (т) = -10

V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C ₁

Исходные условия упражнения указывают, что начальная скорость V ₀ = 25 м / с. Это скорость в момент времени t = 0. Таким образом выполняется следующее:

V (0) = 25 = -10 (0) + C ₁ и C ₁ = 25

С определенной функцией скорости

V (t) = -10t + 25; Сходство можно наблюдать с формулой MRUV (V _f = V ₀ + axt)

Аналогичным образом функция скорости интегрируется, чтобы получить выражение, определяющее положение:

R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5t ² + 25t + C ₂

R (t) = -5t ² + 25t + C ₂ (примитив позиции)

Начальное положение R (0) = 30 м известно. Затем вычисляется конкретный примитив снаряда.

R (0) = 30m = -5 (0) ² + 25 (0) + C ₂ . Где C ₂ = 30

Пример 2

1. Найдите примитив f (x), удовлетворяющий начальным условиям:

• f '' (x) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7

При информации о второй производной f '' (x) = 4 начинается процесс антидеривации

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫4 dx = 4x + C ₁

Затем, зная условие f '(2) = 2, переходим:

4 (2) + С ₁ = 2

C ₁ = -6 и f '(x) = 4x - 8

Таким же образом поступаем и со второй постоянной интегрирования

f (x) = ∫f '(x) dx
∫ (4x - 8) dx = 2x ² - 8x + C ₂

Начальное условие f (0) = 7 известно и приступаем:

2 (0) ² - 8 (0) + С ₂ = 7

C ₂ = 7 и f (x) = 2x ² - 8x + 7

• f '' (х) = х ² ; f '(0) = 6; f (0) = 3

Аналогично предыдущей задаче мы определяем первые производные и исходную функцию из начальных условий.

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫ (х ² ) ах = (х ³ /3) + С ₁

При условии f '(0) = 6 поступаем:

(0 ^3/3 ) + C ₁ = 6; Где C ₁ = 6 и Р «(х) = (х ³ /3) + 6

Тогда вторая постоянная интегрирования

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ дх = (х ⁴ /12) + 6x + С ₂

Начальное условие f (0) = 3 известно и приступаем:

+ 6 (0) + C ₂ = 3; Где C ₂ = 3

Таким образом, мы получаем примитивное частное

F (X) = (х ⁴ /12) + 6x + 3

Пример 3

1. Определите примитивные функции с учетом производных и точки на графике:

• dy / dx = 2x - 2, который проходит через точку (3, 2)

Важно помнить, что производные относятся к наклону касательной к кривой в данной точке. Где некорректно предполагать, что график производной касается указанной точки, поскольку она принадлежит графику примитивной функции.

Таким образом, мы выражаем дифференциальное уравнение следующим образом:

∫dy = ∫ (2x - 2) dx

Применение начального условия:

2 = (3) ² - 2 (3) + С

С = -1

Получается: f (x) = x ² - 2x - 1

• dy / dx = 3x ² - 1, который проходит через точку (0, 2)

Выразим дифференциальное уравнение следующим образом:

Применение начального условия:

2 = (0) ² - 2 (0) + C

С = 2

Получаем: f (x) = x ³ - x + 2

Предлагаемые упражнения

Упражнение 1

1. Найдите примитив f (x), удовлетворяющий начальным условиям:

• f '' (х) = х; f '(3) = 1; f (2) = 5
• е '' (х) = х + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
• f '' (x) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
• е '' (х) = -х; f '(5) = 1; f (1) = -8

Упражнение 2.

1. Воздушный шар, поднимающийся со скоростью 16 футов / с, сбрасывает мешок с песком с высоты 64 футов над уровнем земли.

• Определите время полета
• Каким будет вектор V _f, когда он упадет на землю?

Упражнение 3.

1. На рисунке показан график ускорения-времени автомобиля, движущегося в положительном направлении оси x. Автомобиль двигался с постоянной скоростью 54 км / ч, когда водитель нажал на тормоза и остановился за 10 секунд. Определение:

• Начальный разгон автомобиля
• Скорость автомобиля при t = 5с
• Смещение автомобиля при торможении

Источник: автор

Упражнение 4.

1. Определите примитивные функции с учетом производных и точки на графике:

• dy / dx = x, который проходит через точку (-1, 4)
• dy / dx = -x ² + 1, который проходит через точку (0, 0)
• dy / dx = -x + 1, который проходит через точку (-2, 2)

Ссылки

1. Интегральное исчисление. Неопределенный интеграл и методы интегрирования. Уилсон, Веласкес Бастидас. Университет Магдалены 2014
2. Стюарт, Дж. (2001). Расчет переменной. Ранние трансцендентальные. Мексика: Thomson Learning.
3. Хименес, Р. (2011). Математика VI. Интегральное исчисление. Мексика: Pearson Education.
4. Физика И. Мак Гроу Хилл