ТРЕУГОЛЬНИКИ: ИСТОРИЯ, ЭЛЕМЕНТЫ, КЛАССИФИКАЦИЯ, СВОЙСТВА - НАУКА - 2025

Эти треугольники являются плоскими и закрытые геометрические фигуры, состоящие из трех сторон. Треугольник определяется тремя линиями, которые пересекаются два на два, образуя три угла друг с другом. Треугольная форма, полная символизма, присутствует в бесчисленных объектах и ​​как элемент конструкции.

Происхождение треугольника потеряно в истории. Из археологических данных известно, что первобытное человечество хорошо его знало, поскольку археологические находки подтверждают, что он использовался в инструментах и ​​оружии.

Рисунок 1. Треугольники. Источник: Publicdomainpictures.

Также очевидно, что древние египтяне обладали глубокими познаниями в геометрии и, в частности, в треугольной форме. Они нашли отражение в архитектурных элементах его монументальных построек.

В папирусе Райнда есть формулы для вычисления площадей треугольников и трапеций, а также некоторые объемы и другие понятия элементарной тригонометрии.

Со своей стороны, известно, что вавилоняне могли вычислить площадь треугольника и других геометрических фигур, которые они использовали в практических целях, например, деления земли. Они также были осведомлены о многих свойствах треугольников.

Тем не менее, именно древние греки систематизировали многие геометрические концепции, распространенные сегодня, хотя большая часть этих знаний не была исключительной, поскольку она, несомненно, была разделена с другими древними цивилизациями.

Элементы треугольника

Элементы любого треугольника указаны на следующем рисунке. Их три: вершины, стороны и углы.

Рисунок 2. Обозначения треугольников и их элементов. Источник: Wikimedia Commons, изменено Ф. Сапатой.

-Вершины : точки пересечения линий, сегменты которых определяют треугольник. На рисунке выше, например, прямая L _AC , содержащая отрезок AC, пересекает прямую L _AB , содержащую отрезок AB, точно в точке A.

- Стороны : между каждой парой вершин проводится отрезок прямой, составляющий одну сторону треугольника. Этот сегмент можно обозначить конечными буквами или использовать определенную букву для его обозначения. В примере на фиг. 2 сторона AB также называется «c».

- Углы : между каждой стороной с общей вершиной образуется угол, вершина которого совпадает с вершиной треугольника. Как правило, угол обозначается греческой буквой, как указано в начале.

Чтобы построить конкретный треугольник заданной формы и размера, достаточно иметь один из следующих наборов данных:

-Три стороны, совершенно очевидные в случае треугольника.

-Две стороны и угол между ними, и сразу прорисовывается оставшаяся сторона.

-Два (внутренних) уголка и сторона между ними. При расширении прорисовываются две недостающие стороны, и треугольник готов.

нотация

Обычно в обозначении треугольников используются следующие соглашения: вершины обозначаются прописными латинскими буквами, стороны - строчными латинскими буквами, а углы - греческими буквами (см. Рисунок 2).

Таким образом, треугольник назван в соответствии с его вершинами. Например, треугольник слева на рисунке 2 - это треугольник ABC, а треугольник справа - треугольник A'B'C '.

Также можно использовать другие обозначения; например, угол α на рисунке 2 обозначен как ВАС. Обратите внимание, что буква вершины идет посередине, а буквы пишутся против часовой стрелки.

В других случаях для обозначения угла используется каретка:

α = ∠A

Виды треугольников

Существует несколько критериев классификации треугольников. Чаще всего их классифицируют по размеру сторон или по размеру углов. В зависимости от размера сторон треугольники могут быть: лестничными, равнобедренными или равносторонними:

-Scaleno : три его стороны разные.

-Isósceles : он имеет две равные стороны и одну другую сторону.

-Equilátero : три стороны равны.

Рисунок 3. Классификация треугольников по сторонам. Источник: Ф. Сапата.

По размеру углов треугольники называются так:

- Препятствие , если один из внутренних углов больше 90 °.

- Острый угол , когда три внутренних угла треугольника являются острыми, то есть менее 90º.

- Прямоугольник , если один из его внутренних углов равен 90º. Стороны, образующие 90º, называются катетами, а сторона, противоположная прямому углу, - гипотенузой.

Рисунок 4. Классификация треугольников по их внутренним углам. Источник: Ф. Сапата.

Конгруэнтность треугольников

Когда два треугольника имеют одинаковую форму и одинаковый размер, они считаются конгруэнтными. Конечно, конгруэнтность связана с равенством, так почему же геометрия говорит о «двух равных треугольниках» вместо «двух равных треугольниках»?

Что ж, предпочтительнее использовать термин «конгруэнтность», чтобы придерживаться истины, поскольку два треугольника могут иметь одинаковую форму и размер, но по-разному ориентироваться в плоскости (см. Рисунок 3). С точки зрения геометрии, они больше не будут одинаковыми.

Рисунок 5. Конгруэнтные треугольники, но не обязательно равные, так как их ориентация в плоскости разная. Источник: Ф. Сапата.

Критерии конгруэнтности

Два треугольника считаются конгруэнтными, если происходит одно из следующих событий:

-Три стороны измеряют одно и то же (опять же, это наиболее очевидно).

-У них две одинаковые стороны и с одинаковым углом между ними.

-Оба имеют два одинаковых внутренних угла, и сторона между этими углами одинакова.

Как можно видеть, речь идет о двух треугольниках, отвечающих необходимым условиям, поэтому при построении их форма и размер полностью совпадают.

Критерии конгруэнтности очень полезны, поскольку на практике бесчисленное количество деталей и механических деталей должны производиться последовательно таким образом, чтобы их размеры и форма были точно такими же.

Подобие треугольников

Треугольник похож на другой, если они имеют одинаковую форму, даже если они разных размеров. Чтобы форма была одинаковой, необходимо, чтобы внутренние углы имели одинаковое значение и стороны были пропорциональны.

Рис. 6. Два одинаковых треугольника: их размеры разные, но пропорции совпадают. Источник: Ф. Сапата.

Треугольники на рисунке 2 также похожи, как и на рисунке 6. Таким образом:

Что касается сторон, то имеют место следующие коэффициенты сходства:

Свойства

Основные свойства треугольников заключаются в следующем:

-Сумма внутренних углов любого треугольника всегда 180º.

-Для любого треугольника сумма его внешних углов равна 360 °.

- Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не прилегающих к указанному углу.

Теоремы

Первая теорема Фалеса.

Их приписывают греческому философу и математику Фалесу Милетскому, который разработал несколько теорем, связанных с геометрией. В первом из них говорится следующее:

Рисунок 7. Теорема Фалеса. Источник: Ф. Сапата.

Другими словами:

a / a´ = b / b´ = c / c´

Первая теорема Фалеса применима к треугольнику, например, у нас есть синий треугольник ABC слева, который разрезается красными параллелями справа:

Рисунок 8. Теорема Фалеса и подобные треугольники.

Фиолетовый треугольник AB'C 'похож на синий треугольник ABC, поэтому, согласно теореме Фалеса, можно записать следующее:

AB´ / AC´ = AB / AC

И это в соответствии с тем, что было объяснено ранее в сегменте подобия треугольников. Кстати, параллельные прямые тоже могут быть вертикальными или параллельными гипотенузе, и аналогичные треугольники получаются таким же образом.

Вторая теорема Фалеса

Эта теорема также относится к треугольнику и кругу с центром O, как показано ниже. На этом рисунке AC - это диаметр окружности, а B - точка на ней, причем B отличается от A и B.

Вторая теорема Фалеса утверждает, что:

Рисунок 9. Вторая теорема Фалеса. Источник: Wikimedia Commons. Индуктивная нагрузка.

Теорема Пифагора

Это одна из самых известных теорем в истории. Это связано с греческим математиком Пифагором Самосским (569 - 475 до н.э.) и применимо к прямоугольному треугольнику. Говорит так:

Если мы возьмем в качестве примера синий треугольник на рисунке 8 или фиолетовый треугольник, поскольку оба являются прямоугольниками, то можно сказать, что:

AC ² = AB ² + BC ² (синий треугольник)

AC´ ² = AB´ ² + BC´ ² (фиолетовый треугольник)

Площадь треугольника

Площадь треугольника определяется произведением его основания a и высоты h, разделенных на 2. А с помощью тригонометрии эту высоту можно записать как h = b sinθ.

Рисунок 10. Площадь треугольника. Источник: Wikimedia Commons.

Примеры треугольников

Пример 1

Говорят, что с помощью своей первой теоремы Фалес сумел измерить высоту Великой пирамиды в Египте, одного из 7 чудес древнего мира, путем измерения тени, которую она проецировала на землю, и тени, отбрасываемой колом, вбитым в землю.

Это план процедуры, которой следуют сказки:

Рисунок 11. Схема измерения высоты Великой пирамиды по подобию треугольников. Источник: Wikimedia Commons. Дэйк

Фалес правильно предположил, что солнечные лучи падают параллельно. Имея это в виду, он представил большой прямоугольный треугольник справа.

Здесь D - высота пирамиды, а C - расстояние над землей, измеренное от центра до тени, отбрасываемой пирамидой на дно пустыни. Измерение C может быть трудоемким, но, безусловно, проще, чем измерять высоту пирамиды.

Слева находится небольшой треугольник с ножками A и B, где A - высота кола, вбитого вертикально в землю, а B - отбрасываемая им тень. Обе длины измеримы, как и C (C равно длине тени + половине длины пирамиды).

Итак, по подобию треугольников:

A / B = D / C

И высота Великой пирамиды оказывается: D = C. (A / B)

Пример 2

Фермы в гражданском строительстве представляют собой конструкции из тонких прямых перекрещивающихся брусков дерева или металла, которые используются в качестве опор во многих зданиях. Они также известны как фермы, фермы или фермы.

В них всегда присутствуют треугольники, поскольку стержни соединены между собой в точках, называемых узлами, которые могут быть фиксированными или шарнирно сочлененными.

Рис. 12. Треугольник присутствует в рамке этого моста. Источник: PxHere.

Пример 3

Метод, известный как триангуляция, позволяет получить местоположение недоступных точек, зная другие расстояния, которые легче измерить, при условии, что сформирован треугольник, который включает желаемое местоположение между его вершинами.

Например, на следующем рисунке мы хотим знать, где находится корабль в море, обозначенный буквой B.

Рисунок 13. Схема триангуляции для определения местоположения корабля. Источник: Wikimedia Commons. Колетт

Сначала измеряется расстояние между двумя точками на берегу, которые на рисунке обозначены A и C. Затем необходимо определить углы α и β с помощью теодолита, устройства, используемого для измерения вертикальных и горизонтальных углов.

Со всей этой информацией строится треугольник, в верхней вершине которого находится корабль. Осталось вычислить угол γ, используя свойства треугольников и расстояния AB и CB с помощью тригонометрии, чтобы определить положение корабля в море.

упражнения

Упражнение 1

На показанном рисунке солнечные лучи параллельны. Таким образом, 5-метровое дерево отбрасывает на землю 6-метровую тень. При этом тень от здания составляет 40 метров. Следуя Первой теореме Фалеса, найдите высоту здания.

Рисунок 14. Схема решенного упражнения 1. Источник: Ф. Сапата.

Решение

У красного треугольника стороны 5 и 6 метров соответственно, у синего - высота H - высота здания - и основание 40 метров. Оба треугольника похожи, поэтому:

Упражнение 2.

Вам необходимо знать расстояние по горизонтали между двумя точками A и B, но они расположены на очень неровной поверхности.

Примерно в средней точке (P _м ) указанной местности выделяется выступ высотой 1,75 метра. Если рулетка показывает длину 26 метров от точки A до выступа и 27 метров от точки B до той же точки, найдите расстояние AB.

Рисунок 15. Схема решенного упражнения 2. Источник: Jiménez, R. Mathematics II. Геометрия и тригонометрия.

Решение

Теорема Пифагора применяется к одному из двух прямоугольных треугольников на рисунке. Начиная с того, что слева:

Гипотенуза = c = 26 метров

Высота = a = 1,75 метра

AP _m = (26 ² - 1,75 ² ) ^1/2 = 25,94 м

Теперь примените Пифагор в треугольнике справа, на этот раз c = 27 метров, a = 1,75 метра. С этими значениями:

BP _m = (27 ² - 1,75 ² ) ^1/2 = 26,94 м

Расстояние AB находится путем сложения этих результатов:

AB = 25,94 м + 26,94 м = 52,88 м.

Ссылки

1. Балдор, Дж. А. 1973. Геометрия на плоскости и в пространстве. Центральноамериканская культура.
2. Барредо Д. Геометрия треугольника. Получено с: ficus.pntic.mec.es.
3. Хименес, Р. 2010. Математика II. Геометрия и тригонометрия. Второе издание. Пирсон.
4. Вентворт, Г. Плоская геометрия. Получено с: gutenberg.org.
5. Wikipedia. Треугольник. Получено с: es. wikipedia.org.