Первая и вторая теоремы Фалеса Милетского основаны на определении треугольников из одинаковых (первая теорема) или из окружностей (вторая теорема). Они были очень полезны в различных областях. Например, первая теорема была очень полезна для измерения больших конструкций, когда не было сложных измерительных приборов.
Фалес Милетский был греческим математиком, внесшим большой вклад в геометрию, из которых выделяются эти две теоремы (в некоторых текстах он также написан как Фалес) и их полезные приложения. Эти результаты использовались на протяжении всей истории и позволяли решать широкий спектр геометрических задач.
Фалес Милетский
Первая теорема Фалеса.
Первая теорема Фалеса - очень полезный инструмент, который, помимо прочего, позволяет построить треугольник, подобный другому, ранее известному. Отсюда выводятся различные версии теоремы, которые можно применять во многих контекстах.
Прежде чем дать свое утверждение, напомним некоторые понятия подобия треугольников. По сути, два треугольника подобны, если их углы совпадают (у них одинаковая мера). Это приводит к тому, что если два треугольника подобны, их соответствующие (или гомологические) стороны пропорциональны.
Первая теорема Фалеса гласит, что если провести линию, параллельную любой из ее сторон в данном треугольнике, полученный новый треугольник будет похож на исходный треугольник.
Соотношение также получается между сформированными углами, как показано на следующем рисунке.
заявка
Среди его многочисленных приложений особый интерес представляет одно, связанное с одним из способов измерения больших построек в античности, в то время, когда жил Фалес и не существовало современных измерительных приборов. они существуют сейчас.
Говорят, именно так Фалесу удалось измерить самую высокую пирамиду Египта Хеопса. Для этого Фалес предположил, что отражения солнечных лучей касаются земли, образуя параллельные линии. Исходя из этого предположения, он прибивал палку или трость вертикально к земле.
Затем он использовал сходство двух получившихся треугольников: один образован длиной тени пирамиды (которую можно легко вычислить) и высотой пирамиды (неизвестно), а другой - длиной тени. и высоту стержня (которую тоже можно легко вычислить).
Используя пропорциональность между этими длинами, можно вычислить и узнать высоту пирамиды.
Хотя этот метод измерения может дать значительную ошибку аппроксимации в отношении точности высоты и зависит от параллельности солнечных лучей (которая, в свою очередь, зависит от точного времени), следует признать, что это очень гениальная идея. и что это была хорошая альтернатива измерения для того времени.
Примеры
Найдите значение x в каждом случае:
Вторая теорема Фалеса
Вторая теорема Фалеса определяет прямоугольный треугольник, вписанный в круг в каждой его точке.
Треугольник, вписанный в окружность, - это треугольник, вершины которого находятся на окружности, таким образом, оставаясь в ней.
В частности, вторая теорема Фалеса утверждает следующее: учитывая окружность с центром O и диаметром AC, каждая точка B окружности (кроме A и C) определяет прямоугольный треугольник ABC с прямым углом
В качестве обоснования отметим, что как OA, так и OB и OC соответствуют радиусу окружности; следовательно, их размеры такие же. Отсюда следует, что треугольники OAB и OCB равнобедренные, где
Известно, что сумма углов треугольника равна 180º. Используя это с треугольником ABC, мы имеем:
2b + 2a = 180º.
Эквивалентно, мы имеем, что b + a = 90º и b + a =
Обратите внимание, что прямоугольный треугольник, предусмотренный второй теоремой Фалеса, - это именно тот, гипотенуза которого равна диаметру окружности. Следовательно, он полностью определяется полукругом, содержащим точки треугольника; в данном случае - верхний полукруг.
Заметим также, что в прямоугольном треугольнике, полученном с помощью второй теоремы Фалеса, гипотенуза делится на две равные части посредством OA и OC (радиуса). В свою очередь, эта мера равна отрезку OB (также радиусу), который соответствует медиане треугольника ABC по B.
Другими словами, длина медианы прямоугольного треугольника ABC, соответствующего вершине B, полностью определяется половиной гипотенузы. Напомним, что медиана треугольника - это отрезок от одной из вершин до середины противоположной стороны; в данном случае - сегмент БО.
Описанный обхват
Другой способ взглянуть на вторую теорему Фалеса - через окружность, описанную в прямоугольном треугольнике.
В общем, окружность, описанная многоугольником, состоит из окружности, которая проходит через каждую из его вершин, когда это возможно нарисовать.
Используя вторую теорему Фалеса, для прямоугольного треугольника мы всегда можем построить описанную ему окружность с радиусом, равным половине гипотенузы, и центром описанной окружности (центром окружности), равным средней точке гипотенузы.
заявка
Очень важное приложение второй теоремы Фалеса и, возможно, наиболее широко используемое, заключается в нахождении касательных линий к данной окружности через точку P, внешнюю по отношению к этой (известную).
Обратите внимание, что для данной окружности (нарисованной синим цветом на рисунке ниже) и внешней точки P есть две прямые, касательные к окружности, которые проходят через P. Пусть T и T 'точки касания, r - радиус окружности и Или в центре.
Известно, что отрезок, идущий от центра окружности до точки его касания, перпендикулярен этой касательной. Итак, угол ОТП правильный.
Из того, что мы видели ранее в первой теореме Фалеса и ее различных версиях, мы видим, что можно вписать треугольник ОТР в другой круг (красный).
Точно так же получается, что треугольник OT'P можно вписать в ту же предыдущую окружность.
По второй теореме Фалеса мы также получаем, что диаметр этой новой окружности - это в точности гипотенуза треугольника OTP (которая равна гипотенузе треугольника OT'P), а центр - это середина этой гипотенузы.
Чтобы вычислить центр новой окружности, достаточно вычислить середину между центром - скажем, M - начальной окружности (которую мы уже знаем) и точкой P (которую мы также знаем). Тогда радиус будет расстоянием между этой точкой M и P.
Используя радиус и центр красного круга, мы можем найти его декартово уравнение, которое, как мы помним, дается формулой (xh) 2 + (yk) 2 = c 2 , где c - радиус, а точка (h, k) - это центр окружности.
Зная теперь уравнения обеих окружностей, мы можем пересечь их, решив образованную ими систему уравнений и, таким образом, получив точки касания T и T '. Наконец, чтобы узнать желаемые касательные, достаточно найти уравнение прямых, проходящих через T и P, а также через T 'и P.
пример
Рассмотрим окружность диаметром AC, центром O и радиусом 1 см. Пусть B - такая точка на окружности, что AB = AC. Какой рост у AB?
Решение
По второй теореме Фалеса треугольник ABC является прямым, а его гипотенуза соответствует диаметру, который в данном случае составляет 2 см (радиус 1 см). Тогда по теореме Пифагора имеем:
Ссылки
- Ана Лира, Пи Джей (2006). Геометрия и тригонометрия. Сапопан, Халиско: Ediciones Umbral.
- Гудман, А., и Хирш, Л. (1996). Алгебра и тригонометрия с аналитической геометрией. Pearson Education.
- Гутьеррес, А. TO. (2004). Методология и приложения математики в ESO Министерство образования.
- ИГЕР. (2014). Математика Второй семестр Zaculeu. Гватемала: IGER.
- Хосе Хименес, LJ (2006). Математика 2. Запопан, Халиско: Ediciones Umbral.
- М., С. (1997). Тригонометрия и аналитическая геометрия. Pearson Education.
- Перес, Массачусетс (2009). История математики: вызовы и победы через ее характеры. Редакция Vision Libros.
- Вилория, Н., и Леал, Дж. (2005). Плоская аналитическая геометрия. Редакция Venezolana CA