ЭМПИРИЧЕСКОЕ ПРАВИЛО: КАК ПРИМЕНЯТЬ, ДЛЯ ЧЕГО, РЕШАЕМЫЕ УПРАЖНЕНИЯ - ДУДАС - 2025

Правило , является результатом практического опыта и наблюдений в реальной жизни. Например, можно узнать, какие виды птиц можно наблюдать в определенных местах в любое время года, и на основе этого наблюдения можно установить «правило», которое описывает жизненные циклы этих птиц.

В статистике эмпирическое правило относится к тому, как наблюдения группируются вокруг центрального значения, среднего или среднего, в единицах стандартного отклонения.

Предположим, у вас есть группа людей со средним ростом 1,62 метра и стандартным отклонением 0,25 метра, тогда эмпирическое правило позволит нам определить, например, сколько людей будет в интервале среднего плюс или минус одно стандартное отклонение?

Согласно правилу, 68% данных составляют более или менее одно стандартное отклонение от среднего, то есть 68% людей в группе будут иметь рост от 1,37 (1,62-0,25) до 1,87 (1,62 + 0,25). ) метров.

Откуда взялось эмпирическое правило?

Эмпирическое правило является обобщением теоремы Чебышева и нормального распределения.

Теорема Чебышева

Теорема Чебышева гласит, что: для некоторого значения k> 1, вероятность того, что случайная величина находится между средним минус k, умноженным на стандартное отклонение, и средним значением плюс k раз, стандартное отклонение больше или равно ( 1 - 1 / к ² ).

Преимущество этой теоремы состоит в том, что она применяется к дискретным или непрерывным случайным величинам с любым распределением вероятностей, но правило, определяемое на ее основе, не всегда очень точное, поскольку оно зависит от симметрии распределения. Чем более асимметрично распределение случайной величины, тем менее приспособленным к правилу будет ее поведение.

Эмпирическое правило, определенное этой теоремой:

Если k = √2, считается, что 50% данных находятся в интервале:

Если k = 2, говорят, что 75% данных находятся в интервале:

Если k = 3, говорят, что 89% данных находятся в интервале:

Нормальное распределение

Нормальное распределение, или гауссовский колокол, позволяет установить эмпирическое правило или правило 68 - 95 - 99.7.

Правило основано на вероятностях появления случайной величины в интервалах между средним минус одно, два или три стандартных отклонения и средним значением плюс одно, два или три стандартных отклонения.

Эмпирическое правило определяет следующие интервалы:

68,27% данных находятся в интервале:

95,45% данных находятся в интервале:

99,73% данных находятся в интервале:

На рисунке вы можете увидеть, как представлены эти интервалы и взаимосвязь между ними при увеличении ширины основания графика.

Эмпирическое правило. Меликамп Стандартизация случайной величины, то есть выражение случайной величины в терминах z или стандартной нормальной переменной, упрощает использование эмпирического правила, поскольку переменная z имеет среднее значение, равное нулю, и стандартное отклонение, равное единице. .

Таким образом, применение эмпирического правила в масштабе стандартной нормальной переменной z определяет следующие интервалы:

68,27% данных находятся в интервале:

95,45% данных находятся в интервале:

99,73% данных находятся в интервале:

Как применить эмпирическое правило?

Эмпирическое правило позволяет сокращать вычисления при работе с нормальным распределением.

Предположим, что средний возраст группы из 100 студентов колледжа составляет 23 года со стандартным отклонением 2 года. Какую информацию позволяет получить эмпирическое правило?

Применение эмпирического правила включает следующие шаги:

1- Построить интервалы правила

Поскольку среднее значение равно 23, а стандартное отклонение равно 2, интервалы следующие:

= =

= =

= =

2- Рассчитайте количество студентов в каждом интервале в соответствии с процентами

(100) * 68,27% = примерно 68 студентов

(100) * 95,45% = примерно 95 студентов

(100) * 99,73% = приблизительно 100 студентов

3- Возрастные интервалы связаны с количеством студентов и интерпретируют

По крайней мере 68 студентов в возрасте от 21 до 25 лет.

По крайней мере 95 студентов в возрасте от 19 до 27 лет.

Почти 100 студентов в возрасте от 17 до 29 лет.

Для чего нужно практическое правило?

Эмпирическое правило - это быстрый и практичный способ анализа статистических данных, который становится все более и более надежным по мере приближения к симметрии распределения.

Его полезность зависит от области, в которой он используется, и задаваемых вопросов. Очень полезно знать, что появление значений трех стандартных отклонений ниже или выше среднего почти маловероятно, даже для переменных с ненормальным распределением, по крайней мере 88,8% случаев находятся в интервале трех сигм.

В социальных науках обычно окончательный результат - это диапазон среднего плюс-минус две сигмы (95%), тогда как в физике элементарных частиц новый эффект требует пяти сигм (99,99994%), чтобы считаться открытием.

Решенные упражнения

Кролики в заповеднике

По оценкам, в заповеднике обитает в среднем 16 000 кроликов со стандартным отклонением 500 кроликов. Если распределение переменной «количество кроликов в заповеднике» неизвестно, можно ли оценить вероятность того, что популяция кроликов составляет от 15 000 до 17 000 кроликов?

Интервал можно представить в следующих терминах:

15000 = 16000 - 1000 = 16000 - 2 (500) = µ - 2 с

17000 = 16000 + 1000 = 16000 + 2 (500) = µ + 2 с

Следовательно: =

Применяя теорему Чебышева, мы имеем вероятность не менее 0,75, что популяция кроликов в заповеднике составляет от 15 000 до 17 000 кроликов.

Средний вес детей в стране

Средний вес годовалых детей в стране обычно распределяется со средним значением 10 кг и стандартным отклонением примерно в 1 кг.

а) Оцените процентную долю годовалых детей в стране, средний вес которых составляет от 8 до 12 кг.

8 = 10 - 2 = 10 - 2 (1) = µ - 2 с

12 = 10 + 2 = 10 + 2 (1) = µ + 2 с

Следовательно: =

Согласно эмпирическому правилу, можно констатировать, что 68,27% годовалых детей в стране имеют вес от 8 до 12 килограммов.

б) Какова вероятность найти годовалого ребенка весом 7 кг или меньше?

7 = 10 - 3 = 10 - 3 (1) = µ - 3 с

Известно, что 7 килограммов веса представляют собой величину µ - 3s, а также известно, что 99,73% детей имеют вес от 7 до 13 килограммов. Это оставляет только 0,27% от общего числа детей для крайностей. Половина из них, 0,135%, весит 7 кг или меньше, а другая половина, 0,135%, весит 11 кг или более.

Таким образом, можно сделать вывод, что существует вероятность 0,00135, что ребенок весит 7 кг или меньше.

c) Если население страны достигает 50 миллионов жителей, а годовалые дети составляют 1% населения страны, сколько годовалых детей будут весить от 9 до 11 килограммов?

9 = 10 - 1 = µ - с

11 = 10 + 1 = µ + s

Следовательно: =

Согласно эмпирическому правилу, 68,27% годовалых детей в стране находятся в интервале

В стране 500 000 годовалых детей (1% от 50 миллионов), поэтому 341 350 детей (68,27% от 500 000) весят от 9 до 11 килограммов.

Ссылки

1. Абраира, В. (2002). Стандартное отклонение и стандартная ошибка. Semergen Magazine. Восстановлено с web.archive.org.
2. Freund, R .; Уилсон, В .; Мор, Д. (2010). Статистические методы. Третье изд. Academic Press-Elsevier Inc.
3. Сервер Аликанте (2017). Эмпирическое правило (статистические термины). Получено с glosarios.servidor-alicante.com.
4. Линд, Д .; Маршал, W .; Уотен, С. (2012). Статистика применительно к бизнесу и экономике. Пятнадцатое изд. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Салинас, Х. (2010). Статистика и вероятности. Восстановлено с uda.cl.
6. Sokal, R .; Рольф, Ф. (2009). Введение в биостатистику. Второе изд. Dover Publications, Inc.
7. Шпигель, М. (1976). Вероятность и статистика. Серия Шаум. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
8. Spiegel, M .; Стивенс, Л. (2008). Статистика. Четвертое изд. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
9. Stat119 Review (2019). Решение вопросов эмпирических правил. Восстановлено со stat119review.com.
10. (2019). 68-95-99.7 правило. Восстановлено с en.wikipedia.org.