УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ФОРМУЛА, РАСЧЕТ И УПРАЖНЕНИЯ - ФИЗИЧЕСКИЙ - 2025

Угловая скорость является мерой скорости вращения и определяется как угол , который вращает вектор положения вращающегося объекта, в единицу времени. Это величина, которая очень хорошо описывает движение множества объектов, которые постоянно вращаются повсюду: компакт-дисков, автомобильных колес, механизмов, Земли и многих других.

Схема «Лондонского глаза» представлена ​​на следующем рисунке. Он представляет собой движение пассажира, представленного точкой P, который следует по круговой траектории, называемой c:

Схематическое изображение круговой дорожки, по которой следует пассажир «Лондонского глаза». Источник: самодельный.

Пассажир занимает положение P в момент t, а угловое положение, соответствующее этому моменту, равно ϕ.

С момента t истекает период времени Δt. В этот период новое положение пунктуального пассажира - P ', а угловое положение увеличилось на угол Δϕ.

Как рассчитывается угловая скорость?

Для вращательных величин широко используются греческие буквы, чтобы отличать их от линейных величин. Таким образом, первоначально средняя угловая скорость ω _m определяется как угол, пройденный за заданный период времени.

Тогда отношение Δϕ / Δt будет представлять собой среднюю угловую скорость ω _m между моментами t и t + Δt.

Если вы хотите вычислить угловую скорость только в момент t, тогда вам нужно вычислить отношение Δϕ / Δt, когда Δt ➡0:

Связь между линейной и угловой скоростью

Линейная скорость v - это отношение пройденного расстояния и времени, затраченного на его прохождение.

На рисунке выше пройденная дуга равна Δs. Но эта дуга пропорциональна пройденному углу и радиусу, при этом выполняется следующее соотношение, которое действительно, пока Δϕ измеряется в радианах:

Δs = r ・ Δϕ

Если разделить предыдущее выражение на промежуток времени Δt и взять предел, когда Δt ➡0, мы получим:

v = r ・ ω

Равномерное вращательное движение

На фотографии изображен знаменитый «Лондонский глаз», вращающееся колесо высотой 135 метров, которое медленно вращается, чтобы люди могли сесть в каюты у его основания и насладиться пейзажами Лондона. Источник: Pixabay.

Вращательное движение является равномерным, если в любой наблюдаемый момент пройденный угол одинаков за тот же период времени.

Если вращение равномерное, то угловая скорость в любой момент совпадает со средней угловой скоростью.

Кроме того, при полном повороте пройденный угол составляет 2π (эквивалент 360 °). Следовательно, при равномерном вращении угловая скорость ω связана с периодом T следующей формулой:

f = 1 / T

То есть при равномерном вращении угловая скорость связана с частотой следующим образом:

ω = 2π ・ f

Решенные задачи угловой скорости

Упражнение 1

Кабины огромной прялки, известной как «Лондонский глаз», движутся медленно. Скорость кабины 26 см / с, диаметр колеса 135 м.

Используя эти данные, рассчитайте:

i) Угловая скорость колеса

ii) Частота вращения

iii) Время, необходимое кабине, чтобы сделать полный поворот.

Ответы:

i) Скорость v в м / с составляет: v = 26 см / с = 0,26 м / с.

Радиус составляет половину диаметра: r = (135 м) / 2 = 67,5 м.

v = r ・ ω => ω = v / r = (0,26 м / с) / (67,5 м) = 0,00385 рад / с

ii) ω = 2π ・ f => f = ω / 2π = (0,00385 рад / с) / (2π рад) = 6,13 x ^{10-4 об} / с

f = 6,13 x 10 ^ -4 об / с = 0,0368 об / мин = 2,21 об / час.

iii) T = 1 / f = 1 / 2,21 круга / час = 0,45311 час = 27 мин 11 сек.

Упражнение 2.

Игрушечная машинка движется по круговой трассе радиусом 2 метра. В 0 с его угловое положение равно 0 рад, но через время t его угловое положение определяется выражением:

φ (t) = 2 ・ t

Определите:

i) Угловая скорость

ii) Линейная скорость в любой момент.

Ответы:

i) Угловая скорость - это производная от углового положения: ω = φ '(t) = 2.

Другими словами, игрушечная машинка всегда имеет постоянную угловую скорость, равную 2 рад / с.

ii) Линейная скорость автомобиля: v = r ・ ω = 2 м ・ 2 рад / с = 4 м / с = 14,4 км / ч.

Упражнение 3.

Та же машина из предыдущего упражнения начинает останавливаться. Его угловое положение как функция времени определяется следующим выражением:

φ (t) = 2 ・ t - 0,5 ・ t ²

Определите:

i) Угловая скорость в любой момент

ii) линейная скорость в любой момент

iii) Время, необходимое для остановки с момента начала замедления.

iv) Пройденный угол

v) пройденное расстояние

Ответы:

i) Угловая скорость - это производная углового положения: ω = φ '(t)

ω (t) = φ '(t) = (2 ・ t - 0,5 ・ t ² )' = 2 - t

ii) Линейная скорость автомобиля в любой момент определяется по формуле:

v (t) = r ・ ω (t) = 2 ・ (2 - t) = 4-2 t

iii) Время, необходимое для остановки с момента начала замедления, определяется знанием момента, когда скорость v (t) становится равной нулю.

v (t) = 4-2 t = 0 => t = 2

Это означает, что он останавливается через 2 секунды после начала торможения.

iv) В течение 2 секунд с момента начала торможения до полной остановки проходит угол, определяемый формулой φ (2):

φ (2) = 2 ・ 2 - 0,5 ・ 2 ^ 2 = 4-2 = 2 рад = 2 x 180 / π = 114,6 градусов

v) За период 2 с от начала торможения до остановки пройдено расстояние s, которое определяется как:

s = r ・ φ = 2 м ・ 2 рад = 4 м

Упражнение 4.

Колеса автомобиля - 80 см в диаметре. Если машина едет со скоростью 100 км / ч. Найдите: i) угловую скорость вращения колес, ii) частоту вращения колес, iii) количество оборотов, сделанных колесом за 1 час пути.

Ответы:

i) Прежде всего, мы собираемся преобразовать скорость автомобиля из км / ч в ч / с.

v = 100 км / ч = (100 / 3,6) м / с = 27,78 м / с

Угловая скорость вращения колес определяется по формуле:

ω = v / r = (27,78 м / с) / (0,4 м) = 69,44 рад / с

ii) Частота вращения колес определяется по формуле:

f = ω / 2π = (69,44 рад / с) / (2π рад) = 11,05 об / с

Частота вращения обычно выражается в оборотах в минуту об / мин.

f = 11,05 об / с = 11,05 об / (1/60) мин = 663,15 об / мин

iii) Количество кругов, сделанных колесом за 1 час поездки, рассчитывается с учетом того, что 1 час = 60 минут, а частота - это количество кругов N, деленное на время, за которое эти N кругов сделаны.

f = N / t => N = f ・ t = 663,15 (оборотов / мин) x 60 мин = 39788,7 оборотов.

Ссылки

1. Джанколи, Д. Физика. Принципы с приложениями. 6-е издание. Прентис Холл. 106-108.
2. Резник, Р. (1999). Физический. Том 1. Издание третье на испанском языке. Мексика. Compañía Editor Continental SA de CV 67-69.
3. Сервей, Р., Джуэтт, Дж. (2008). Физика для науки и техники. Том 1. 7-е. Издание. Мексика. Учебные редакторы Cengage. 84-85.
4. geogebra.org