СВОЙСТВО БЛОКИРОВКИ АЛГЕБРЫ: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, ПРИМЕРЫ - МАТЕМАТИКА - 2025

Свойство блокировки алгебры - это явление, которое связывает два элемента набора с операцией, где необходимое условие состоит в том, что после того, как 2 элемента обработаны в рамках указанной операции, результат также принадлежит исходному набору.

Например, если мы возьмем четные числа как набор, а сумму как операцию, мы получим блокировку этого набора относительно суммы. Это связано с тем, что сумма 2 четных чисел всегда дает другое четное число, таким образом выполняя условие блокировки.

Источник: unsplash.com

характеристики

Есть много свойств, которые определяют алгебраические пространства или тела, такие как структуры или кольца. Однако свойство блокировки - одно из самых известных в базовой алгебре.

Не все применения этих свойств основаны на числовых элементах или явлениях. Многие повседневные примеры могут быть обработаны чисто алгебро-теоретическим подходом.

Примером могут быть граждане страны, которые вступают в правовые отношения любого рода, например, коммерческое партнерство или брак. После проведения этой операции или управления они остаются гражданами страны. Таким образом, операции по получению гражданства и управления в отношении двух граждан представляют собой блокировку.

Числовая алгебра

Что касается чисел, существует множество аспектов, которые были предметом изучения в различных направлениях математики и алгебры. В результате этих исследований появилось большое количество аксиом и теорем, которые служат теоретической основой для современных исследований и работ.

Если мы работаем с числовыми наборами, мы можем установить другое допустимое определение для свойства блокировки. Набор A называется блокировкой другого набора B, если A является наименьшим набором, содержащим все наборы и операции, которые содержит B.

демонстрация

Доказательство блокировки применяется для элементов и операций, присутствующих в множестве действительных чисел R.

Пусть A и B - два числа, принадлежащих множеству R, замыкание этих элементов определяется для каждой операции, содержащейся в R.

сумма

- Сумма: ∀ A ˄ B ∈ R → A + B = C ∈ R

Это алгебраический способ сказать, что для всех A и B, принадлежащих действительным числам, мы имеем, что сумма A плюс B равна C, которая также принадлежит действительным числам.

Легко проверить, верно ли это предложение; достаточно провести сумму между любыми действительными числами и проверить, принадлежит ли результат также действительным числам.

3 + 2 = 5 ∈ R

-2 + (-7) = -9 ∈ R

-3 + 1/3 = -8/3 ∈ R

5/2 + (-2/3) = 11/6 ∈ R

Замечено, что условие блокировки выполняется для действительных чисел и суммы. Таким образом, можно сделать вывод: сумма действительных чисел - это алгебраический замок.

умножение

- Умножение: ∀ A ˄ B ∈ R → A. B = C ∈ R

Для всех A и B, принадлежащих действительным числам, мы имеем, что умножение A на B равно C, которое также принадлежит действительным числам.

При проверке с использованием тех же элементов из предыдущего примера наблюдаются следующие результаты.

3 x 2 = 6 ∈ R

-2 х (-7) = 14 ∈ R

-3 х 1/3 = -1 ∈ R

5/2 х (-2/3) = -5/3 ∈ R

Этого достаточно, чтобы сделать вывод, что: Умножение действительных чисел - это алгебраический замок.

Это определение можно распространить на все операции с действительными числами, хотя мы найдем некоторые исключения.

Источник: pixabay.com

Особые случаи в R

разделение

Первый частный случай - это деление, при котором наблюдается следующее исключение:

∀ A ˄ B ∈ R → A / B ∉ R ↔ B = 0

Для всех A и B, принадлежащих R, мы имеем, что A среди B не принадлежит действительным числам тогда и только тогда, когда B равно нулю.

Этот случай относится к ограничению невозможности деления на ноль. Поскольку ноль принадлежит действительным числам, отсюда следует, что деление не является блокировкой действительных чисел.

подача

Существуют также операции потенцирования, в частности операции радикализации, где исключения представлены для радикальных сил четного индекса:

Для всех A, принадлежащих действительным числам, корень n-й степени из A принадлежит действительным числам, если и только если A принадлежит положительным числам, присоединенным к набору, единственный элемент которого равен нулю.

Таким образом обозначается, что четные корни применимы только к положительным действительным числам, и делается вывод, что потенцирование не является замком в R.

Логарифм

Гомологично это можно увидеть для логарифмической функции, которая не определена для значений, меньших или равных нулю. Чтобы проверить, является ли логарифм блокировкой R, выполните следующие действия:

Для всего A, которое принадлежит действительным числам, логарифм A принадлежит действительным числам, если и только если A принадлежит положительным числам.

Исключая отрицательные значения и ноль, которые также принадлежат R, можно сказать, что:

Логарифм - это не блокировка действительных чисел.

Примеры

Проверьте замок на сложение и вычитание натуральных чисел:

Сумма в N

Во-первых, необходимо проверить условие блокировки для разных элементов данного набора, где, если наблюдается, что какой-то элемент нарушает условие, существование блокировки может быть автоматически отклонено.

Это свойство верно для всех возможных значений A и B, как показано в следующих операциях:

1 + 3 = 4 ∈ N

5 + 7 = 12 ∈ N

1000 + 10000 = 11000 ∈ N

Нет естественных значений, нарушающих условие блокировки, поэтому делаем вывод:

Сумма - это замок в N.

Вычесть в N

Ищутся природные элементы, способные нарушить это состояние; A - B принадлежит аборигенам.

Работая, легко найти пары природных элементов, не удовлетворяющих условию блокировки. Например:

7-10 = -3 ∉ а Н

Таким образом, можно сделать вывод, что:

Вычитание - это не блокировка набора натуральных чисел.

Предлагаемые упражнения

1-Показать, выполняется ли свойство блокировки для набора рациональных чисел Q, для операций сложения, вычитания, умножения и деления.

2-Объясните, является ли набор действительных чисел блокировкой набора целых чисел.

3-Определите, какой числовой набор может быть замком действительных чисел.

4-Докажите свойство блокировки для набора мнимых чисел в отношении сложения, вычитания, умножения и деления.

Ссылки

1. Панорама чистой математики: выбор бурбаковцев. Жан Дьедонне. Реверте, 1987.
2. Алгебраическая теория чисел. Алехандро Х. Диас Баррига, Ана Ирен Рамирес, Франсиско Томас. Национальный автономный университет Мексики, 1975 год.
3. Линейная алгебра и ее приложения. Сандра Ибет Очоа Гарсия, Эдуардо Гутьеррес Гонсалес.
4. Алгебраические структуры V: теория тела. Гектор А. Мерклен. Организация американских государств, Генеральный секретариат, 1979 г.
5. Введение в коммутативную алгебру. Майкл Фрэнсис Атья, И. Г. Макдональд. Реверте, 1973.