АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД: ХАРАКТЕРИСТИКИ, ШАГИ, ПРИМЕРЫ - КУЛЬТУРНЫЙ СЛОВАРЬ - 2026

Аксиоматический метод или называемый также Аксиоматический формальная процедура используется науками , с помощью которых сформулированы заявлений или предложений называются аксиомы, соединен друг с другом с помощью соотношения вычета и лежит в основе гипотез или условиях определенной системы.

Это общее определение должно быть оформлено в рамках эволюции, которую эта методология имела на протяжении всей истории. Во-первых, это античный или содержательный метод, родившийся в Древней Греции от Евклида и позже развитый Аристотелем.

Во-вторых, уже в XIX веке возникновение геометрии с аксиомами, отличными от аксиом Евклида. И, наконец, формальный или современный аксиоматический метод, величайшим представителем которого был Давид Гильберт.

Помимо своего развития с течением времени, эта процедура стала основой дедуктивного метода, используемого в геометрии и логике, откуда она возникла. Он также использовался в физике, химии и биологии.

И это даже применялось в юридической науке, социологии и политической экономии. Однако в настоящее время наиболее важной сферой его применения являются математика и символическая логика, а также некоторые разделы физики, такие как термодинамика, механика и другие дисциплины.

характеристики

Хотя фундаментальной характеристикой этого метода является формулировка аксиом, они не всегда рассматривались одинаково.

Некоторые из них могут быть определены и сконструированы произвольно. И другие, согласно модели, в которой его гарантированная истинность рассматривается интуитивно.

Чтобы понять, в чем конкретно состоит эта разница и ее последствия, необходимо пройти эволюцию этого метода.

Древний или аксиоматический метод содержания

Он был создан в Древней Греции в V веке до нашей эры. Его сфера применения - геометрия. Фундаментальная работа этого этапа - «Элементы Евклида», хотя считается, что до него Пифагор уже дал жизнь аксиоматическому методу.

Таким образом, греки принимают определенные факты как аксиомы, не требуя никакого логического доказательства, то есть без необходимости доказательства, поскольку для них они являются самоочевидной истиной.

Со своей стороны, Евклид представляет пять аксиом геометрии:

1. Для двух точек есть линия, которая их объединяет или соединяет.

2-Любой сегмент может быть продолжен в неограниченную линию с обеих сторон.

3-Вы можете нарисовать круг с центром в любой точке и с любым радиусом.

4-Прямые углы все одинаковые.

5-Взяв любую прямую линию и любую точку, которая не находится в ней, есть прямая линия, параллельная ей и содержащая эту точку. Эта аксиома позже стала известна как аксиома параллелей, а также была сформулирована как: единственная параллель может быть проведена из точки вне линии.

Однако и Евклид, и более поздние математики согласны с тем, что пятая аксиома не так интуитивно ясна, как другие 4. Даже в эпоху Возрождения делаются попытки вывести пятую из четырех других, но это невозможно.

Это привело к тому, что уже в XIX веке те, кто поддерживал пятерку, были сторонниками евклидовой геометрии, а те, кто отрицал пятую, были теми, кто создал неевклидову геометрию.

Неевклидов аксиоматический метод

Именно Николай Иванович Лобачевский, Янош Бойяи и Иоганн Карл Фридрих Гаусс видят возможность построения без противоречий геометрии, которая исходит из систем аксиом, отличных от аксиом Евклида. Это разрушает веру в абсолютную истину или априори аксиом и вытекающих из них теорий.

Следовательно, аксиомы начинают восприниматься как отправные точки для данной теории. Кроме того, и его выбор, и проблема его обоснованности в том или ином смысле начинают относиться к фактам за пределами аксиоматической теории.

Таким образом, геометрическая, алгебраическая и арифметическая теории построены с помощью аксиоматического метода.

Этот этап завершается созданием аксиоматических систем арифметики, подобных системе Джузеппе Пеано в 1891 году; Геометрия Дэвида Хьюберта в 1899 году; утверждения и вычисления предикатов Альфреда Норта Уайтхеда и Бертрана Рассела в Англии в 1910 году; Аксиоматическая теория множеств Эрнста Фридриха Фердинанда Цермело в 1908 году.

Современный или формальный аксиоматический метод

Именно Дэвид Хьюберт инициировал концепцию формального аксиоматического метода и, что привело к его кульминации, Дэвид Гильберт.

Именно Гильберт формализует научный язык, рассматривая его утверждения как формулы или последовательности знаков, которые сами по себе не имеют значения. Они приобретают смысл только в определенной интерпретации.

В «Основах геометрии» он объясняет первый пример этой методологии. С этого момента геометрия становится наукой чисто логических следствий, которые извлекаются из системы гипотез или аксиом, сформулированных лучше, чем система Евклида.

Это потому, что в древней системе аксиоматическая теория основана на доказательствах аксиом. А в основании формальной теории он дается демонстрацией непротиворечивости ее аксиом.

меры

Процедура, осуществляющая аксиоматическое структурирование в рамках научных теорий, признает:

а - выбор определенного числа аксиом, то есть ряда положений определенной теории, которые принимаются без необходимости доказывать.

б - понятия, входящие в эти положения, не определены в рамках данной теории.

c - правила определения и вывода данной теории установлены и позволяют вводить новые концепции в теорию и логически выводить одни предложения из других.

г - другие положения теории, то есть теорема, выводятся из а на основе с.

Примеры

Этот метод можно проверить с помощью доказательства двух наиболее известных теорем Евклида: теоремы о ногах и теоремы о высоте.

И то, и другое возникло из наблюдения этого греческого геометра: когда высота относительно гипотенузы отображается внутри прямоугольного треугольника, появляются еще два треугольника оригинала. Эти треугольники похожи друг на друга и в то же время похожи на треугольник начала координат. Это предполагает, что их соответствующие гомологические стороны пропорциональны.

Можно видеть, что конгруэнтные углы в треугольниках таким образом подтверждают сходство, которое существует между тремя задействованными треугольниками согласно критерию сходства AAA. Этот критерий гласит, что когда два треугольника имеют одинаковые углы, они подобны.

Как только будет показано, что треугольники подобны, можно установить пропорции, указанные в первой теореме. То же утверждение, что в прямоугольном треугольнике мера каждого катета является геометрическим пропорциональным средним между гипотенузой и проекцией катета на нее.

Вторая теорема - о высоте. Он определяет, что любой прямоугольный треугольник, высота которого нарисована в соответствии с гипотенузой, является геометрическим пропорциональным средним между сегментами, которые определяются указанным средним геометрическим на гипотенузе.

Конечно, обе теоремы имеют множество приложений по всему миру не только в обучении, но и в инженерии, физике, химии и астрономии.

Ссылки

1. Джованнини, Эдуардо Н. (2014) Геометрия, формализм и интуиция: Давид Гильберт и формальный аксиоматический метод (1895–1905). Revista de Filosofía, Vol. 39 No. 2, pp.121-146. Взято с magazine.ucm.es.
2. Гильберт, Дэвид. (1918) Аксиоматическая мысль. В В. Эвальде, редакторе, от Канта до Гильберта: справочник по основам математики. Том II, стр 1105-1114. Издательство Оксфордского университета. 2005 г.
3. Хинтикка, Яако. (2009). Что такое аксиоматический метод? Synthese, ноябрь 2011 г., том 189, стр.69-85. Взято с сайта link.springer.com.
4. Лопес Эрнандес, Хосе. (2005). Введение в современную философию права. (Pp.48-49). Взято с books.google.com.ar.
5. Ниренберг, Рикардо. (1996) «Аксиоматический метод», чтение Рикардо Ниренберга, осень 1996 г., Университет в Олбани, проект «Возрождение». Взято с Albany.edu.
6. Вентури, Джорджио. (2015) Гильберт между формальной и неформальной стороной математики. Рукопись т. 38 нет. 2, Кампинас, июль / август 2015 г. Взято с scielo.br.