ПИФАГОРЕЙСКИЕ ТОЖДЕСТВА: ДЕМОНСТРАЦИЯ, ПРИМЕР, УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

Все тождества Пифагора - это тригонометрические уравнения, которые справедливы для любого значения угла и основаны на теореме Пифагора. Самым известным из тождеств Пифагора является фундаментальное тригонометрическое тождество:

Sin ² (α) + Cos ² (α) = 1

Рисунок 1. Пифагорейские тригонометрические тождества.

Далее по важности, и я использую пифагорову тождество касательной и секущей:

Tan ² (α) + 1 = Sec ² (α)

И тригонометрическое тождество Пифагора, включающее котангенс и косеканс:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

демонстрация

Тригонометрические отношения синуса и косинуса представлены на окружности радиуса один (1), известной как тригонометрическая окружность. Центр этой окружности находится в начале координат O.

Углы измеряются от положительной полуоси X, например, угол α на рисунке 2 (см. Ниже). Против часовой стрелки, если угол положительный, и по часовой стрелке, если угол отрицательный.

Нарисовывается луч с началом O и углом α, который пересекает единичный круг в точке P. Точка P проецируется ортогонально на горизонтальную ось X, дающую начало точке C. Аналогично P проецируется перпендикулярно на вертикальную ось Y, что дает место до точки S.

У нас есть прямоугольный треугольник OCP в точке C.

Синус и косинус

Следует помнить, что синус тригонометрического отношения определяется в прямоугольном треугольнике следующим образом:

Синус угла треугольника - это отношение или частное между катетом, противоположным углу, и гипотенузой треугольника.

Применительно к треугольнику OCP на рисунке 2 это будет выглядеть так:

Сен (α) = CP / OP

но CP = OS и OP = 1, так что:

Сен (α) = ОС

Это означает, что ОС проекции на оси Y имеет значение, равное синусу отображаемого угла. Следует отметить, что максимальное значение синуса угла (+1) происходит при α = 90º, а минимальное (-1) - при α = -90º или α = 270º.

Рисунок 2. Тригонометрический круг, показывающий связь между теоремой Пифагора и фундаментальным тригонометрическим тождеством. (Собственная разработка)

Точно так же косинус угла - это частное между катетом, примыкающим к углу, и гипотенузой треугольника.

Применительно к треугольнику OCP на рисунке 2 это будет выглядеть так:

Cos (α) = OC / OP

но OP = 1, так что:

Cos (α) = OC

Это означает, что проекция OC на ось X имеет значение, равное синусу показанного угла. Следует отметить, что максимальное значение косинуса (+1) происходит при α = 0º или α = 360º, а минимальное значение косинуса (-1) при α = 180º.

Основная идентичность

Для прямоугольного треугольника OCP в C применяется теорема Пифагора, которая утверждает, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

CP ² + OC ² = OP ²

Но уже было сказано, что CP = OS = Sen (α), что OC = Cos (α) и что OP = 1, поэтому предыдущее выражение можно переписать как функцию синуса и косинуса угла:

Sin ² (α) + Cos ² (α) = 1

Ось касательной

Точно так же, как ось X в тригонометрическом круге является осью косинуса, а ось Y - осью синуса, точно так же существует касательная ось (см. Рисунок 3), которая в точности является касательной к единичной окружности в точке B координат (1, 0).

Если вы хотите узнать значение тангенса угла, угол отсчитывается от положительной полуоси оси X, пересечение угла с осью касательной определяет точку Q, длина сегмента OQ - это тангенс угла угол.

Это потому, что по определению тангенс угла α является противоположным участком QB между соседним участком OB. То есть Tan (α) = QB / OB = QB / 1 = QB.

Рис. 3. Тригонометрический круг, показывающий ось касательной и пифагоровость касательной. (Собственная разработка)

Пифагорейская идентичность касательной

Пифагорова тождество касательной можно доказать, рассматривая прямоугольный треугольник OBQ в точке B (рисунок 3). Применяя к этому треугольнику теорему Пифагора, получаем, что BQ ² + OB ² = OQ ² . Но уже было сказано, что BQ = Tan (α), что OB = 1 и что OQ = Sec (α), так что подставляя в равенство Пифагора для прямоугольного треугольника OBQ, мы имеем:

Tan ² (α) + 1 = Sec ² (α).

пример

Проверить, выполняются ли тождества Пифагора в прямоугольном треугольнике катетов AB = 4 и BC = 3.

Решение: ноги известны, необходимо определить гипотенузу, которая составляет:

AC = √ (AB ^ 2 + BC ^ 2) = √ (4 ^ 2 + 3 ^ 2) = √ (16 + 9) = √ (25) = 5.

Угол ∡BAC назовем α, ∡BAC = α. Теперь определены тригонометрические соотношения:

Сен α = BC / AC = 3/5

Cos α = AB / AC = 4/5

Итак, α = BC / AB = 3/4

Котан α = AB / BC = 4/3

Сек α = AC / AB = 5/4

Csc α = AC / BC = 5/3

Он начинается с основного тригонометрического тождества:

Sin ² (α) + Cos ² (α) = 1

(3/5) ^ 2 + (4/5) ^ 2 = 9/25 + 16/25 = (9 +16) / 25 = 25/25 = 1

Делается вывод, что оно выполнено.

- Следующая пифагорейская идентичность - это касательная:

Tan ² (α) + 1 = Sec ² (α)

(3/4) ^ 2 + 1 = 9/16 + 16/16 = (9 + 16) / 16 = 25/16 = (5/4) ^ 2

И делается вывод, что идентичность касательной проверена.

- Аналогично котангенсу:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

1+ (4/3) ^ 2 = 1 + 16/9 = 25/9 = (5/3) ^ 2

Делается вывод, что он также выполнен, на этом задача проверки пифагорейских тождеств для данного треугольника была выполнена.

Решенные упражнения

Докажите следующие тождества, основываясь на определениях тригонометрических соотношений и тождеств Пифагора.

Упражнение 1

Докажите, что Cos ² x = (1 + Sin x) (1 - Sin x).

Решение: в правой части мы узнаем замечательное произведение умножения бинома на его сопряжение, которое, как мы знаем, представляет собой разность квадратов:

Cos ² x = 1 ² - грех ² x

Затем член с синусом в правой части переходит в левую с измененным знаком:

Cos ² x + Sen ² x = 1

Отмечая, что фундаментальное тригонометрическое тождество достигнуто, делается вывод, что данное выражение является тождеством, то есть оно истинно для любого значения x.

Упражнение 2.

Отталкиваясь от фундаментального тригонометрического тождества и используя определения тригонометрических соотношений, продемонстрируйте пифагорову тождество косеканса.

Решение: основная идентичность:

Грех ² (x) + Cos ² (x) = 1

Оба члена делятся на Sen ² (x), а знаменатель распределяется в первом члене:

Sin ² (x) / Sin ² (x) + Cos ² (x) / Sin ² (x) = 1 / Sin ² (x)

Это упрощено:

1 + (Cos (x) / Sen (x)) ^ 2 = (1 / Sen (x)) ^ 2

Cos (x) / Sen (x) = Cotan (x) - это (непифагорова) тождество, которое подтверждается самим определением тригонометрических соотношений. То же самое происходит со следующим тождеством: 1 / Sen (x) = Csc (x).

Наконец, вам необходимо:

1 + Ctg ² (x) = Csc ² (x)

Ссылки

1. Балдор Дж. (1973). Геометрия плоскости и пространства с введением в тригонометрию. Центральноамериканская культура. переменный ток
2. CEA (2003). Элементы геометрии: с упражнениями и геометрией компаса. Медельинский университет.
3. Кампос, Ф., Сереседо, Ф.Дж. (2014). Математика 2. Grupo Editor Patria.
4. Айгер. (SF). Математика Первый семестр Такана. Айгер.
5. Геометрия младшего. (2014). Полигоны. Lulu Press, Inc.
6. Миллер, Херен и Хорнсби. (2006). Математика: рассуждение и приложения (десятое издание). Pearson Education.
7. Патиньо, М. (2006). Математика 5. Редакция Прогресо.
8. Wikipedia. Тождества и формулы тригонометрии. Получено с: es.wikipedia.com