НЕПОЛНЫЕ ДРОБИ: СЛУЧАИ И ПРИМЕРЫ - МАТЕМАТИКА - 2025

Эти частичные фракции являются фракции , образованные многочленами, в которых знаменатель может быть линейным или квадратичным полиномом и, кроме того, она может быть увеличена до некоторой степени. Иногда, когда у нас есть рациональные функции, очень полезно переписать эту функцию как сумму частичных дробей или простых дробей.

Это потому, что таким образом мы можем лучше управлять этими функциями, особенно в тех случаях, когда необходимо интегрировать указанное приложение. Рациональная функция - это просто частное между двумя многочленами, и они могут быть правильными или неправильными.

Если степень полинома числителя меньше знаменателя, это называется рациональной собственной функцией; в противном случае она называется несобственной рациональной функцией.

Определение

Когда у нас есть несобственная рациональная функция, мы можем разделить многочлен числителя на многочлен знаменателя и, таким образом, переписать дробь p (x) / q (x), следуя алгоритму деления, как t (x) + s (x) / q (x), где t (x) - полином, а s (x) / q (x) - собственная рациональная функция.

Частичная дробь - это любая собственная функция многочленов, знаменатель которой имеет вид (ax + b) ⁿ или (ax ² + bx + c) ⁿ , если многочлен ax ² + bx + c не имеет действительных корней, а n - число естественно.

Чтобы переписать рациональную функцию в частичных дробях, первое, что нужно сделать, это разложить знаменатель q (x) на множители как произведение линейных и / или квадратичных множителей. После этого определяются частичные фракции, которые зависят от природы этих факторов.

случаи

Отдельно рассмотрим несколько случаев.

Случай 1

Все множители q (x) линейны и не повторяются. То есть:

q (x) = (a ₁ x + b ₁ ) (a ₂ x + b ₂ )… (a _s x + b _s )

Там ни один линейный коэффициент не идентичен другому. Когда это произойдет, мы напишем:

p (x) / q (x) = A ₁ / (a ₁ x + b ₁ ) + A ₂ / (a ₂ x + b ₂ )… + A _s / (a _s x + b _s ).

Где A ₁ , A ₂ ,…, A _s - константы, которые необходимо найти.

пример

Мы хотим разложить рациональную функцию на простые дроби:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x)

Приступаем к факторизации знаменателя, то есть:

х ³ + 3x ² + 2x = х (х + 1) (х + 2)

Затем:

(х - 1) / (х ³ + 3x ² + 2x) = (х - 1) / х (х + 1) (х + 2)

(х - 1) / х (х + 1) (х + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Применяя наименьшее общее кратное, можно получить, что:

х - 1 знак равно А (х + 1) (х + 2) + B (х + 2) х + C (х + 1) х.

Мы хотим получить значения констант A, B и C, которые можно найти, подставив корни, которые сокращают каждый из членов. Подставляя 0 вместо x, получаем:

0-1 знак равно A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2А

А = - 1/2.

Подставляя - 1 вместо x, получаем:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - В

В = 2.

Подставляя - 2 вместо x, получаем:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

–3 = 2C

C = –3/2.

Таким образом получаются значения A = –1/2, B = 2 и C = –3/2.

Есть еще один способ получить значения A, B и C.Если в правой части уравнения x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x объединяем термины, имеем:

х - 1 = (А + В + С) х ² + (3А + 2В + С) х + 2А.

Поскольку это равенство многочленов, мы получаем, что коэффициенты в левой части должны быть равны коэффициентам в правой части. Это приводит к следующей системе уравнений:

А + В + С = 0

3A + 2B + C = 1

2А = - 1

Решая эту систему уравнений, мы получаем результаты A = –1/2, B = 2 и C = -3/2.

Наконец, подставляя полученные значения, получаем:

(х - 1) / х (х + 1) (х + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

Случай 2

Факторы q (x) все линейны, а некоторые повторяются. Предположим, что (ax + b) - множитель, который повторяется «s» раз; тогда этому коэффициенту соответствует сумма долей «s».

A _s / (ax + b) ^s + A _s-1 / (ax + b) ^s-1 +… + A ₁ / (ax + b).

Где A _s , A _s-1 ,…, A ₁ - константы, которые необходимо определить. В следующем примере мы покажем, как определить эти константы.

пример

Разложить на частичные фракции:

(х - 1) / (х ² (х - 2) ³ )

Запишем рациональную функцию в виде суммы дробных дробей следующим образом:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ ) = A / x ² + B / x + C / (x - 2) ³ + D / (x - 2) ² + E / (x - 2 ).

Затем:

х - 1 = А (х - 2) ³ + В (х - 2) ³ х + Cx ² + D (х - 2) х ² + E (х - 2) ² х ²

Подставив 2 вместо x, мы получим:

7 = 4C, то есть C = 7/4.

Подставляя 0 вместо x, получаем:

- 1 = –8A или A = 1/8.

Подставляя эти значения в предыдущее уравнение и развивая, мы получаем:

x - 1 = 1/8 (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + Bx (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + 7 / 4x ² + Dx ³ - 2Dx ² + Ex ² (x ² - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x ⁴ + (1/8 - 6B + D - 4E) x ³ + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x ² + (3/2 - 8B) х - 1.

Приравнивая коэффициенты, получаем следующую систему уравнений:

В + Е = 0;

1 / 8-6B + D-4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Решая систему, мы имеем:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

Для этого нам необходимо:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ ) = (1/8) / x ² + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2) ³ + (5 / 4) / (х - 2) ² - (3/16) / (х - 2).

Случай 3

Факторы q (x) линейно-квадратичные, без каких-либо повторяющихся квадратичных факторов. В этом случае квадратичный множитель (ax ² + bx + c) будет соответствовать частичной дроби (Ax + B) / (ax ² + bx + c), где константы A и B должны быть определены.

В следующем примере показано, как действовать в этом случае.

пример

Разложите на простые дроби a (x + 1) / (x ³ - 1).

Сначала мы переходим к множителю знаменателя, который дает нам в результате:

(х - 1) = (х - 1) (х + х +1).

Мы можем заметить, что (x ² + x + 1) - неприводимый квадратичный многочлен; то есть не имеет настоящих корней. Его разложение на дробные части будет следующим:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x ² + x +1)

Отсюда получаем следующее уравнение:

х + 1 = (А + В) х ² + (А - В + С) х + (А - С)

Используя равенство многочленов, получаем следующую систему:

А + В = 0;

А-В + С = 1;

А-С = 1;

Из этой системы мы получаем, что A = 2/3, B = - 2/3 и C = 1/3. Подставляя, получаем:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x ² + x +1).

Случай 4

Наконец, случай 4 - это тот, в котором множители q (x) являются линейными и квадратичными, а некоторые из линейно-квадратичных множителей повторяются.

В этом случае, если (ax ² + bx + c) является квадратичным множителем, который повторяется "s" раз, то дробная часть, соответствующая множителю (ax ² + bx + c), будет:

(A ₁ x + B) / (ax ² + bx + c) +… + (A _s-1 x + B _s-1 ) / (ax ² + bx + c) ^s-1 + (A _s x + B _s ) / (ax ² + bx + c) ^s

Где A _s , A _s-1 ,…, A и B _s , B _s-1 ,…, B - константы, которые необходимо определить.

пример

Мы хотим разложить следующую рациональную функцию на частичные дроби:

(х - 2) / (х (х ² - 4x + 5) ² )

Поскольку x ² - 4x + 5 является неприводимым квадратичным множителем, мы имеем, что его разложение на частичные дроби определяется следующим образом:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² ) = A / x + (Bx + C) / (x ² - 4x +5) + (Dx + E) / (x ² - 4x + 5) ²

Упрощая и развивая, мы имеем:

х - 2 = A (x ² - 4x + 5) ² + (Bx + C) (x ² - 4x + 5) x + (Dx + E) x

х - 2 = (A + B) x ⁴ + (- 8A - 4B + C) x ³ + (26A + 5B - 4C + D) x ² + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

Из сказанного выше мы имеем следующую систему уравнений:

А + В = 0;

- 8А - 4В + С = 0;

26А + 5Б - 4С + D = 0;

- 40А + 5С + Е = 1;

25А = 2.

При решении системы нам остается:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 и E = - 3/5.

Подставляя полученные значения, получаем:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² ) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x ² - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x ² - 4х + 5) ²

Приложения

Интегральное исчисление

Частные дроби используются в основном для изучения интегрального исчисления. Вот несколько примеров того, как вычислять интегралы с использованием дробных дробей.

Пример 1

Мы хотим вычислить интеграл от:

Мы можем видеть, что знаменатель q (x) = (t + 2) ² (t + 1) состоит из линейных множителей, один из которых повторяется; Вот почему мы находимся в случае 2.

Мы должны:

1 / (t + 2) ² (t + 1) = A / (t + 2) ² + B / (t + 2) + C / (t + 1)

Перепишем уравнение и получим:

1 = А (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2) ²

Если t = - 1, имеем:

1 = А (0) + В (1) (0) + С (1)

1 = С

Если t = - 2, это дает нам:

1 = А (- 1) + В (0) (- 1) + С (0)

А = - 1

Тогда, если t = 0:

1 = А (1) + В (2) (1) + С (2)

Подставляя значения A и C:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

Из вышесказанного имеем, что B = - 1.

Перепишем интеграл в виде:

Приступаем к ее решению методом подстановки:

Вот результат:

Пример 2

Решите следующий интеграл:

В этом случае мы можем разложить aq (x) = x ² - 4 на множители как q (x) = (x - 2) (x + 2). Мы явно в случае 1. Следовательно:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Это также может быть выражено как:

5х - 2 = А (х + 2) + В (х - 2)

Если x = - 2, имеем:

- 12 = А (0) + В (- 4)

В = 3

И если x = 2:

8 = А (4) + В (0)

А = 2

Таким образом, решение данного интеграла эквивалентно решению:

Это дает нам в результате:

Пример 3

Решите интеграл:

У нас есть q (x) = 9x ⁴ + x ² , которое мы можем разложить на q (x) = x ² (9x ² + 1).

На этот раз у нас есть повторяющийся линейный фактор и квадратичный фактор; то есть мы в случае 3.

Мы должны:

1 / x ² (9x ² + 1) = A / x ² + B / x + (Cx + D) / (9x ² + 1)

1 = А (9x ² + 1) + Bx (9x ² + 1) + Cx ² + Dx ²

Группируя и используя равные многочлены, мы имеем:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

А = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

Из этой системы уравнений имеем:

D = - 9 и C = 0

Таким образом, мы имеем:

Решая вышеуказанное, мы получаем:

Закон массового действия

Интересное применение частичных дробей в интегральном исчислении находится в химии, точнее в законе действия масс.

Предположим, у нас есть два вещества, A и B, которые соединяются вместе и образуют вещество C, так что производная количества C по времени пропорциональна произведению количества A и B в любой данный момент.

Мы можем выразить закон массового действия следующим образом:

В этом выражении α - начальное количество граммов, соответствующее A, а β - начальное количество граммов, соответствующее B.

Кроме того, r и s представляют количество граммов A и B соответственно, которые объединяются, чтобы сформировать r + s граммов C. Со своей стороны x представляет количество граммов вещества C в момент времени t, а K - константа пропорциональности. Приведенное выше уравнение можно переписать как:

Вносим следующие изменения:

У нас есть это уравнение:

Из этого выражения можно получить:

Где, если a ≠ b, для интегрирования можно использовать дробные дроби.

пример

Возьмем, например, вещество C, которое возникает в результате объединения вещества A с B таким образом, что выполняется закон массы, где значения a и b равны 8 и 6 соответственно. Приведите уравнение, которое дает нам значение граммов C как функцию времени.

Подставляя значения в данный закон масс, имеем:

При разделении переменных имеем:

Здесь 1 / (8 - x) (6 - x) можно записать как сумму дробных дробей следующим образом:

Таким образом, 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Если мы подставим 6 вместо x, мы получим B = 1/2; и подставив 8 вместо x, получим A = - 1/2.

Интегрируя по частным дробям, получаем:

Это дает нам в результате:

Дифференциальные уравнения: логистическое уравнение

Еще одно приложение, которое может быть дано частным дробям, - это логистическое дифференциальное уравнение. В простых моделях мы видим, что темпы роста популяции пропорциональны ее размеру; то есть:

Этот случай является идеальным и считается реалистичным до тех пор, пока не окажется, что ресурсов, доступных в системе, недостаточно для поддержки населения.

В таких ситуациях наиболее разумно думать, что существует максимальная мощность, которую мы назовем L, которую система может поддерживать, и что скорость роста пропорциональна размеру популяции, умноженному на доступный размер. Этот аргумент приводит к следующему дифференциальному уравнению:

Это выражение называется логистическим дифференциальным уравнением. Это разделимое дифференциальное уравнение, которое можно решить с помощью метода интегрирования частных дробей.

пример

Примером может служить популяция, которая растет в соответствии со следующим логистическим дифференциальным уравнением y '= 0,0004y (1000 - y), начальные данные которого равны 400. Мы хотим знать размер популяции в момент времени t = 2, где t измеряется годами.

Если мы напишем y 'в обозначениях Лейбница как функцию, которая зависит от t, мы получим:

Интеграл в левой части может быть решен с помощью метода интегрирования частичной дроби:

Мы можем переписать это последнее равенство следующим образом:

- Подставляя y = 0, получаем, что A равно 1/1000.

- Подставляя y = 1000, получаем, что B равно 1/1000.

С этими значениями интеграл выглядит следующим образом:

Решение такое:

Используя исходные данные:

При расчистке имеем:

Тогда у нас есть это при t = 2:

Таким образом, через 2 года численность населения составляет примерно 597,37 человек.

Ссылки

1. А, РА (2012). Математика 1. Андский университет. Издательский совет.
2. Кортез, И., и Санчес, К. (nd). 801 Разрешенные интегралы. Национальный экспериментальный университет Тачира.
3. Лейтольд, Л. (1992). Расчет с аналитической геометрией. HARLA, SA
4. Перселл, Э.Дж., Варберг, Д., и Ригдон, С.Е. (2007). Расчет. Мексика: Pearson Education.
5. Саенс, Дж. (Nd). Интегральное исчисление. Гипотенузы.