СИНТЕТИЧЕСКОЕ ДЕЛЕНИЕ: МЕТОДИКА И РЕШАЕМЫЕ УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

Синтетическое разделение является простым способом деления полинома Р (х) любой из вида D (X) = х - с. Например, многочлен Р (х) = (х ⁵ + 3x ⁴ -7x ³ + 2x ² -8x + 1) может быть представлено в виде умножения двух простых многочленов (х + 1) и (х ⁴ + 2х ³ ).

Это очень полезный инструмент, поскольку, помимо того, что он позволяет нам делить многочлены, он также позволяет нам оценивать многочлен P (x) для любого числа c, что, в свою очередь, точно сообщает нам, является ли это число нулем или не является полиномом.

Благодаря алгоритму деления мы знаем, что если у нас есть два непостоянных многочлена P (x) и d (x), существуют уникальные многочлены q (x) и r (x), такие что верно, что P (x) = q (x) d (x) + r (x), где r (x) равно нулю или меньше q (x). Эти многочлены известны как частное и остаток или остаток соответственно.

В тех случаях, когда многочлен d (x) имеет форму x-c, синтетическое деление дает нам короткий способ узнать, кто такие q (x) и r (x).

Синтетический метод деления

Пусть P (x) = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 +… + a ₁ x + a ₀ - многочлен, который мы хотим разделить, и d (x) = xc - делитель. Чтобы разделить методом синтетического деления, действуем следующим образом:

1- Мы записываем коэффициенты P (x) в первой строке. Если какая-либо степень X не появляется, мы ставим ноль в качестве ее коэффициента.

2- Во втором ряду слева от _n мы помещаем c и проводим разделительные линии, как показано на следующем рисунке:

3- Опускаем ведущий коэффициент до третьей строки.

В этом выражении b _n-1 = a _n

4- Мы умножаем c на ведущий коэффициент b _n-1 и записываем результат во вторую строку, но на один столбец справа.

5- Мы добавляем столбец, в который записываем предыдущий результат, и помещаем результат под этой суммой; то есть в том же столбце в третьей строке.

При сложении получаем в результате _n-1 + c * b _n-1 , которое для удобства назовем b _n-2

6- Мы умножаем c на предыдущий результат и записываем результат справа во второй строке.

7- Мы повторяем шаги 5 и 6, пока не достигнем коэффициента ₀ .

8- Пишем ответ; то есть частное и остаток. Поскольку мы делим многочлен степени n на многочлен степени 1, мы получаем, что частное будет иметь степень n-1.

Коэффициенты полинома частного будут числами в третьей строке, кроме последней, которая будет полиномом остатка или остатком от деления.

Решенные упражнения

- Пример 1

Выполните следующее деление методом синтетического деления:

(х ⁵ + 3x ⁴ -7x ³ + 2x ² -8x + 1): (х + 1).

Решение

Сначала запишем коэффициенты дивиденда следующим образом:

Затем мы пишем c слева, во втором ряду, вместе с разделительными линиями. В этом примере c = -1.

Мы понижаем старший коэффициент (в данном случае b _n-1 = 1) и умножаем его на -1:

Записываем его результат справа во второй строке, как показано ниже:

Складываем числа во второй столбец:

Умножаем 2 на -1 и записываем результат в третий столбец второй строки:

Добавляем в третий столбец:

Действуем так же, пока не дойдем до последнего столбца:

Таким образом, мы имеем, что последнее полученное число является остатком от деления, а оставшиеся числа являются коэффициентами частного полинома. Это написано так:

Если мы хотим убедиться, что результат верен, достаточно убедиться, что следующее уравнение верно:

Р (х) = д (х) * д (х) + г (х)

Таким образом, мы можем проверить правильность полученного результата.

- Пример 2

Выполните следующее деление многочленов методом синтетического деления

(7x ³ -x + 2): (x + 2)

Решение

В этом случае член x ² не появляется, поэтому мы запишем 0 в качестве его коэффициента. Таким образом, многочлен будет 7x ³ + 0x ² -x + 2.

Пишем их коэффициенты в ряд, это:

Записываем значение C = -2 в левую часть второй строки и проводим линии деления.

Мы понижаем старший коэффициент b _n-1 = 7 и умножаем его на -2, записывая его результат во вторую строку справа.

Мы добавляем и продолжаем, как объяснялось ранее, пока не дойдем до последнего члена:

В этом случае остаток равен r (x) = - 52, а полученное частное равно q (x) = 7x ² -14x + 27.

- Пример 3

Другой способ использования синтетического деления заключается в следующем: предположим, что у нас есть многочлен P (x) степени n, и мы хотим узнать, какое значение имеет значение, оценив его при x = c.

По алгоритму деления полином P (x) можно записать следующим образом:

В этом выражении q (x) и r (x) - это частное и остаток соответственно. Теперь, если d (x) = x- c, при вычислении точки c в полиноме мы получим следующее:

Следовательно, остается только найти ar (x), и мы можем это сделать благодаря синтетическому делению.

Например, у нас есть многочлен P (x) = x ⁷ -9x ⁶ + 19x ⁵ + 12x ⁴ -3x ³ + 19x ² -37x-37, и мы хотим узнать его значение, оценив его при x = 5. Для этого мы выполняем деление между P (x) и d (x) = x -5 методом синтетического деления:

После выполнения операций мы знаем, что можем записать P (x) следующим образом:

P (x) = (x ⁶ -4x ⁵ –x ⁴ + 7x ³ + 32x ² + 179x + 858) * (x-5) + 4253

Поэтому при его оценке мы должны:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

Р (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Как мы видим, можно использовать синтетическое деление, чтобы найти значение многочлена, оценив его в c, а не просто подставив c вместо x.

Если бы мы попытались оценить P (5) традиционным способом, нам пришлось бы выполнить некоторые вычисления, которые часто становились утомительными.

- Пример 4

Алгоритм деления для полиномов также верен для полиномов с комплексными коэффициентами, и, как следствие, мы имеем, что метод синтетического деления также работает для таких полиномов. Мы увидим пример ниже.

Мы воспользуемся методом синтетического деления, чтобы показать, что z = 1+ 2i является нулем многочлена P (x) = x ³ + (1 + i) x ² - (1 + 2i) x + (15 + 5i); то есть остаток от деления P (x) на d (x) = x - z равен нулю.

Действуем так же, как и раньше: в первой строке записываем коэффициенты P (x), затем во второй пишем z и проводим линии деления.

Деление проводим как и раньше; это:

Мы можем заметить, что остаток равен нулю; отсюда заключаем, что z = 1+ 2i является нулем P (x).

Ссылки

1. Балдор Аурелио. Алгебра Grupo Editor Patria.
2. Демана, Уэйтс, Фоли и Кеннеди. Precalculus: Graphical, Numerical, Algebraic 7-е изд., Pearson Education.
3. Флемминг У. и Варсерг Д. Алгебра и тригонометрия с аналитической геометрией. Prentice Hall
4. Майкл Салливан. Precalculus 4-е изд. Pearson Education.
5. Красный. Армандо О. Алгебра 1 6-е изд. Атенеум.