ВЕКТОР НОРМАЛИ: РАСЧЕТ И ПРИМЕР - ФИЗИЧЕСКИЙ - 2025

Нормальный вектор является тот , который определяет направление , перпендикулярное к некоторой геометрической сущности рассматриваемого, который может быть кривой, плоскости или поверхности, например.

Это очень полезная концепция для позиционирования движущейся частицы или какой-либо поверхности в пространстве. На следующем графике можно увидеть, как выглядит вектор нормали к произвольной кривой C:

Рис. 1. Кривая C с вектором, нормальным к кривой в точке P. Источник: Svjo

Рассмотрим точку P на кривой C. Точка может представлять движущуюся частицу, которая движется по траектории C. Касательная линия к кривой в точке P нарисована красным.

Обратите внимание, что вектор T касается C в каждой точке, тогда как вектор N перпендикулярен T и указывает на центр воображаемой окружности, дуга которой является сегментом C. В печатном тексте векторы выделены жирным шрифтом, для отличить их от других не векторных величин.

Вектор T всегда указывает, куда движется частица, следовательно, он указывает скорость частицы. С другой стороны, вектор N всегда указывает в направлении вращения частицы, таким образом он указывает на вогнутость кривой C.

Как получить вектор нормали к плоскости?

Вектор нормали не обязательно является единичным вектором, то есть вектором, модуль которого равен 1, но в этом случае он называется нормальным единичным вектором.

Рисунок 2. Слева плоскость P и два вектора, нормальные к указанной плоскости. Справа единичные векторы в трех направлениях, определяющих пространство. Источник: Wikimedia Commons. См. Страницу для автора

Во многих приложениях необходимо знать вектор, нормальный к плоскости, а не кривой. Этот вектор показывает ориентацию указанной плоскости в пространстве. Например, рассмотрим плоскость P (желтая) рисунка:

К этой плоскости есть два нормальных вектора: n ₁ и n ₂ . Использование того или другого будет зависеть от контекста, в котором находится упомянутый самолет. Получить вектор нормали к плоскости очень просто, если известно уравнение плоскости:

Здесь вектор N выражается через перпендикулярные единичные векторы i , j и k , направленные вдоль трех направлений, которые определяют пространство xyz, см. Рисунок 2 справа.

Вектор нормали из векторного произведения

Очень простая процедура нахождения вектора нормали использует свойства векторного произведения между двумя векторами.

Как известно, три разные точки, не коллинеарные друг с другом, определяют плоскость P. Теперь можно получить два вектора u и v, которые принадлежат упомянутой плоскости, имеющей эти три точки.

Как только векторы получены, векторное произведение u x v представляет собой операцию, результатом которой, в свою очередь, является вектор, который имеет свойство быть перпендикулярным плоскости, определяемой u и v .

Известный этот вектор, он обозначается как N , и по нему можно будет определить уравнение плоскости благодаря уравнению, указанному в предыдущем разделе:

N = u x v

На следующем рисунке показана описанная процедура:

Рис. 3. С двумя векторами и их векторным произведением или крестом определяется уравнение плоскости, содержащей два вектора. Источник: Wikimedia Commons. Машиночитаемый автор не предоставлен. М.Ромеро Шмидтке предположил (на основании заявлений об авторских правах).

пример

Найти уравнение плоскости, определяемой точками A (2,1,3); В (0,1,1); С (4.2.1).

Решение

Это упражнение иллюстрирует описанную выше процедуру. Имея 3 точки, одна из них выбирается как общее начало двух векторов, которые принадлежат плоскости, определенной этими точками. Например, точка A устанавливается в качестве начала координат и строятся векторы AB и AC .

Вектор AB - это вектор, начало которого находится в точке A, а конечная точка - в точке B. Координаты вектора AB определяются соответственно вычитанием координат B из координат A:

Таким же образом поступаем и находим вектор AC :

Расчет векторного произведения

Существует несколько процедур для нахождения векторного произведения двух векторов. В этом примере используется мнемоническая процедура, которая использует следующий рисунок для нахождения векторных произведений между единичными векторами i , j и k:

Рисунок 4. График для определения векторного произведения единичных векторов. Источник: самодельный.

Для начала следует помнить, что векторные произведения между параллельными векторами равны нулю, поэтому:

я х я = 0; j x j = 0; к х к = 0

А поскольку векторное произведение - это другой вектор, перпендикулярный участвующим векторам, двигаясь в направлении красной стрелки, мы имеем:

Если вам нужно двигаться в направлении, противоположном стрелке, добавьте знак (-):

Всего можно сделать 9 векторных произведений с единичными векторами i , j и k , из которых 3 будут нулевыми.

AB x AC = (-2 i + 0 j -2 k ) x (2 i + j -2 k ) = -4 ( i x i ) -2 ( i x j ) +4 ( i x k ) +0 ( j x i ) + 0 ( j x j ) - 0 ( j x k ) - 4 ( k x i ) -2 ( k x j ) + 4 ( k x k ) = -2 k -4j -4 j +2 i = 2 i -8 j -2 к

Уравнение плоскости

Вектор N был определен с помощью предварительно рассчитанного векторного произведения:

N = 2 i -8 j -2 к

Следовательно, a = 2, b = -8, c = -2, искомая плоскость:

Значение d еще предстоит определить. Это легко сделать, если значения любой из имеющихся точек A, B или C подставить в уравнение плоскости. Например, выбрав C:

х = 4; у = 2; г = 1

Остается:

Вкратце, искомая карта:

Пытливый читатель может задаться вопросом, был бы тот же результат получен, если бы вместо выполнения AB x AC мы выбрали выполнение AC x AB. Ответ - да, плоскость, определяемая этими тремя точками, уникальна и имеет два вектора нормали, как показано на рисунке 2.

Что касается точки, выбранной в качестве исходной точки векторов, нет проблем с выбором любого из двух других.

Ссылки

1. Фигероа, Д. (2005). Серия: Физика для науки и техники. Том 1. Кинематика. Отредактировал Дуглас Фигероа (USB). 31-62.
2. Нахождение нормали к плоскости. Получено с: web.ma.utexas.edu.
3. Ларсон, Р. (1986). Исчисление и аналитическая геометрия. Мак Гроу Хилл. 616-647.
4. Линии и плоскости в R 3. Получено с: math.harvard.edu.
5. Нормальный вектор. Восстановлено с mathworld.wolfram.com.