ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА: ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ИСТОРИЯ И ДЛЯ ЧЕГО ОНО НУЖНО - МАТЕМАТИКА - 2025

Преобразование Лапласа в последние годы приобрело большое значение в инженерных исследованиях, математике, физике, среди других научных областей, а также представляет большой интерес в теории, обеспечивает простой способ решения проблем, возникающих из наука и техника.

Первоначально преобразование Лапласа было представлено Пьером-Симоном Лапласом в его исследовании теории вероятностей и первоначально рассматривалось как математический объект, представляющий чисто теоретический интерес.

Современные приложения возникают, когда различные математики пытались формально обосновать «операционные правила», используемые Хевисайдом при изучении уравнений теории электромагнетизма.

Определение

Пусть f - функция, определенная для t ≥ 0. Преобразование Лапласа определяется следующим образом:

Говорят, что преобразование Лапласа существует, если предыдущий интеграл сходится, иначе говорят, что преобразование Лапласа не существует.

Как правило, строчные буквы используются для обозначения функции, которая должна быть преобразована, а заглавная буква соответствует ее преобразованию. Таким образом мы получим:

Примеры

Рассмотрим постоянную функцию f (t) = 1. У нас есть ее преобразование:

Всякий раз, когда интеграл сходится, то есть когда s> 0. В противном случае s <0, интеграл расходится.

Пусть g (t) = t. Его преобразование Лапласа дается формулой

Интегрируя по частям и зная, что te ^-st стремится к 0, когда t стремится к бесконечности и s> 0, вместе с предыдущим примером мы имеем:

Преобразование может существовать или не существовать, например, для функции f (t) = 1 / t интеграл, определяющий ее преобразование Лапласа, не сходится, и, следовательно, его преобразование не существует.

Достаточные условия, гарантирующие существование преобразования Лапласа функции f, состоят в том, что f является кусочно-непрерывным при t ≥ 0 и имеет экспоненциальный порядок.

Функция называется кусочно-непрерывной при t ≥ 0, когда для любого интервала с a> 0 существует конечное число точек t _k, где f имеет разрывы и непрерывна на каждом подынтервале.

С другой стороны, функция называется экспоненциальной порядка c, если существуют действительные константы M> 0, c и T> 0 такие, что:

В качестве примеров мы имеем, что f (t) = t ² имеет экспоненциальный порядок, поскольку -t ² - <e ^3t для всех t> 0.

Формально имеем следующую теорему

Теорема (Достаточные условия существования)

Если f является частично непрерывной функцией для t> 0 и экспоненциального порядка c, то преобразование Лапласа существует для s> c.

Важно подчеркнуть, что это условие достаточности, то есть может случиться так, что существует функция, которая не удовлетворяет этим условиям, и даже тогда существует ее преобразование Лапласа.

Примером этого является функция f (t) = t ^-1/2, которая не является ^{кусочно-} непрерывной при t ≥ 0, но ее преобразование Лапласа существует.

Преобразование Лапласа некоторых основных функций

В следующей таблице показаны преобразования Лапласа наиболее распространенных функций.

История

Преобразование Лапласа обязано своим названием Пьеру-Симону Лапласу, французскому математику и астроному-теоретику, который родился в 1749 году и умер в 1827 году. Его слава была такова, что он был известен как Ньютон Франции.

В 1744 году Леонард Эйлер посвятил свои исследования интегралам вида

как решения обыкновенных дифференциальных уравнений, но он быстро отказался от этого исследования. Позже Жозеф Луи Лагранж, который глубоко восхищался Эйлером, также исследовал эти типы интегралов и связал их с теорией вероятностей.

1782 г., Лаплас

В 1782 году Лаплас начал изучать такие интегралы, как решения дифференциальных уравнений, и, по словам историков, в 1785 году он решил переформулировать проблему, которая позже привела к преобразованиям Лапласа в их понимании сегодня.

Будучи введенным в область теории вероятностей, в то время он мало интересовал ученых и рассматривался только как математический объект, представляющий только теоретический интерес.

Оливер Хевисайд

Это было в середине девятнадцатого века, когда английский инженер Оливер Хевисайд обнаружил, что дифференциальные операторы можно рассматривать как алгебраические переменные, что дало преобразованиям Лапласа их современное применение.

Оливер Хевисайд был английским физиком, инженером-электриком и математиком, который родился в Лондоне в 1850 году и умер в 1925 году. Пытаясь решить задачи дифференциального уравнения, применяемые к теории колебаний, и используя исследования Лапласа, он начал формировать Современные приложения преобразований Лапласа.

Результаты, представленные Хевисайдом, быстро распространились среди научного сообщества того времени, но, поскольку его работа не была строгой, он был быстро раскритикован более традиционными математиками.

Однако полезность работы Хевисайда в решении уравнений физики сделала его методы популярными среди физиков и инженеров.

Несмотря на эти неудачи и после нескольких десятилетий неудачных попыток, в начале 20-го века операционные правила, данные Хевисайдом, могли быть строго оправданы.

Эти попытки принесли плоды благодаря усилиям различных математиков, таких как Бромвич, Карсон, ван дер Пол и других.

Свойства

Среди свойств преобразования Лапласа выделяются следующие:

Линейность

Пусть c1 и c2 - константы, а функции f (t) и g (t), преобразования Лапласа которых суть F (s) и G (s) соответственно, тогда мы имеем:

Благодаря этому свойству преобразование Лапласа называется линейным оператором.

пример

Теорема о первом переводе

Если случится так:

А - любое действительное число, поэтому:

пример

Поскольку преобразование Лапласа cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4), то:

Вторая теорема о переводе

да

Так

пример

Если f (t) = t ^ 3, то F (s) = 6 / s ^ 4. И поэтому преобразование

это G (s) = 6e ^{-2 с} / с ^ 4

Изменение масштаба

да

А 'а' ненулевое действительное, мы должны

пример

Поскольку преобразование f (t) = sin (t) есть F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1), мы имеем, что

Преобразование производных Лапласа

Если f, f ', f' ', …, f ⁽ⁿ⁾ непрерывны при t ≥ 0 и имеют экспоненциальный порядок, а f ⁽ⁿ⁾ (t) кусочно непрерывны при t ≥ 0, то

Преобразование Лапласа интегралов

да

Так

Умножение на t

Если нам нужно

Так

Деление на t

Если нам нужно

Так

Периодические функции

Пусть f - периодическая функция с периодом T> 0, то есть f (t + T) = f (t), тогда

Поведение F (s) при стремлении s к бесконечности

Если f непрерывна по частям и экспоненциального порядка и

Так

Обратные преобразования

Когда мы применяем преобразование Лапласа к функции f (t), мы получаем F (s), который представляет это преобразование. Таким же образом мы можем сказать, что f (t) является обратным преобразованием Лапласа для F (s) и записывается как

Мы знаем, что преобразования Лапласа f (t) = 1 и g (t) = t равны F (s) = 1 / s и G (s) = 1 / s ² соответственно, поэтому мы имеем, что

Некоторые общие обратные преобразования Лапласа следующие:

Кроме того, обратное преобразование Лапласа линейно, т. Е. Верно, что

Упражнение

найти

Чтобы решить это упражнение, мы должны сопоставить функцию F (s) с одной из предыдущих таблиц. В этом случае, если мы возьмем + 1 = 5 и, используя свойство линейности обратного преобразования, мы умножим и разделим на 4! Получение

Для второго обратного преобразования мы применяем частичные дроби, чтобы переписать функцию F (s), а затем свойство линейности, получая

Как мы можем видеть из этих примеров, часто вычисляемая функция F (s) не точно соответствует ни одной из функций, приведенных в таблице. Для этих случаев, как видно, достаточно переписать функцию до тех пор, пока она не достигнет нужного вида.

Приложения преобразования Лапласа

Дифференциальные уравнения

Основное применение преобразований Лапласа - решение дифференциальных уравнений.

Используя свойство преобразования производной, ясно, что

Y из n-1 производных, оцененных при t = 0.

Это свойство делает преобразование очень полезным для решения задач с начальным значением, в которых участвуют дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

В следующих примерах показано, как использовать преобразование Лапласа для решения дифференциальных уравнений.

Пример 1

Учитывая следующую задачу начального значения

Используйте преобразование Лапласа, чтобы найти решение.

Применяем преобразование Лапласа к каждому члену дифференциального уравнения

По свойству преобразования производной имеем

Разрабатывая все выражения и очищая Y (s), мы имеем

Используя частные дроби для переписывания правой части уравнения, получаем

Наконец, наша цель - найти функцию y (t), удовлетворяющую дифференциальному уравнению. Использование обратного преобразования Лапласа дает нам результат

Пример 2

Решить

Как и в предыдущем случае, мы применяем преобразование к обеим сторонам уравнения и разделяем его почленно.

Таким образом, мы имеем в результате

Подставляя заданные начальные значения и решая для Y (s)

Используя простые дроби, мы можем переписать уравнение следующим образом

А применение обратного преобразования Лапласа дает нам результат

В этих примерах можно ошибочно заключить, что этот метод не намного лучше традиционных методов решения дифференциальных уравнений.

Преимущества преобразования Лапласа заключаются в том, что вам не нужно использовать вариацию параметров или беспокоиться о различных случаях метода неопределенных коэффициентов.

Кроме того, при решении задач с начальным значением этим методом с самого начала мы используем начальные условия, поэтому нет необходимости выполнять другие вычисления для поиска конкретного решения.

Системы дифференциальных уравнений

Преобразование Лапласа также можно использовать для поиска решений совместных обыкновенных дифференциальных уравнений, как показано в следующем примере.

пример

Разрешить

При начальных условиях x (0) = 8 и y (0) = 3.

Если нам нужно

Так

Решение дает нам в результате

И применяя обратное преобразование Лапласа, мы имеем

Механика и электрические схемы

Преобразование Лапласа имеет большое значение в физике, в основном оно применяется в механике и электрических схемах.

Простая электрическая схема состоит из следующих элементов

Переключатель, батарея или источник, индуктор, резистор и конденсатор. Когда переключатель замкнут, вырабатывается электрический ток, который обозначается i (t). Заряд конденсатора обозначается q (t).

Согласно второму закону Кирхгофа, напряжение, создаваемое источником E в замкнутой цепи, должно быть равно сумме каждого из падений напряжения.

Электрический ток i (t) связан с зарядом q (t) конденсатора соотношением i = dq / dt. С другой стороны, падение напряжения в каждом из элементов определяется следующим образом:

Падение напряжения на резисторе iR = R (dq / dt)

Падение напряжения на катушке индуктивности L (di / dt) = L (d ² q / dt ² ).

Падение напряжения на конденсаторе q / C

С этими данными и применением второго закона Кирхгофа к простой замкнутой цепи получается дифференциальное уравнение второго порядка, которое описывает систему и позволяет определить значение q (t).

пример

Катушка индуктивности, конденсатор и резистор подключены к батарее E, как показано на рисунке. Катушка индуктивности 2 генри, конденсатор 0,02 фарада и сопротивление 16 Ом. В момент времени t = 0 цепь замыкается. Найдите заряд и ток в любой момент времени t> 0, если E = 300 вольт.

Мы имеем, что дифференциальное уравнение, описывающее эту схему, имеет следующий вид

Если начальные условия q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

Применяя преобразование Лапласа, получаем, что

И решая для Q (t)

Тогда, применяя обратное преобразование Лапласа, имеем

Ссылки

1. Дж. Холбрук, Дж. (1987). Преобразование Лапласа для электронщиков. Лимуса.
2. Руис, Л. М., и Эрнандес, член парламента (2006). Дифференциальные уравнения и преобразование Лапласа с приложениями. От редакции УПВ.
3. Симмонс, Г. Ф. (1993). Дифференциальные уравнения с приложениями и историческими записками. McGraw-Hill.
4. Шпигель, MR (1991). Преобразования Лапласа. McGraw-Hill.
5. Зилл, Д.Г., и Каллен, М.Р. (2008). Дифференциальные уравнения с краевыми задачами. Cengage Learning Editores, SA