ПРАВИЛО САРРУСА: ИЗ ЧЕГО ОНО СОСТОИТ И ТИПЫ ДЕТЕРМИНАНТ - КУЛЬТУРНЫЙ СЛОВАРЬ - 2026

Правило Sarrus используется для вычисления результата 3 × 3 детерминанта. Они используются для решения линейных уравнений и выяснения, совместимы ли они.

Совместимые системы упрощают получение решения. Они также используются для определения, являются ли наборы векторов линейно независимыми, и для формирования основы векторного пространства.

Эти приложения основаны на обратимости матриц. Если матрица регулярная, ее определитель отличен от 0. Если матрица сингулярна, ее определитель равен 0. Определители могут быть вычислены только в квадратных матрицах.

Для вычисления матриц любого порядка можно использовать теорему Лапласа. Эта теорема позволяет нам упростить матрицы большой размерности в виде сумм малых определителей, которые мы разлагаем из основной матрицы.

В нем говорится, что определитель матрицы равен сумме произведений каждой строки или столбца, умноженной на определитель ее сопряженной матрицы.

Это уменьшает детерминанты так, что определитель степени n становится n определителем n-1. Если мы применяем это правило последовательно, мы можем получить определители размерности 2 (2 × 2) или 3 (3 × 3), где его вычисление намного проще.

Правило Сарруса

Пьер Фредерик Саррус был французским математиком 19 века. Большинство его математических трактатов основаны на методах решения уравнений и вариационном исчислении в рамках числовых уравнений.

В одном из своих трактатов он разгадал одну из самых сложных загадок механики. Чтобы решить проблемы шарнирных частей, Саррус ввел преобразование альтернативных прямолинейных движений в однородные круговые движения. Эта новая система известна как механизм Сарруса.

Наибольшую известность этому математику принесло исследование, в котором он представил новый метод вычисления определителей в статье «Новые методы решения уравнений» (Новый метод решения уравнений), которая была опубликована в 1833 год. Этот способ решения линейных уравнений известен как правило Сарруса.

Правило Сарруса позволяет вычислить определитель матрицы 3 × 3 без необходимости использования теоремы Лапласа, вводя гораздо более простой и интуитивно понятный метод. Чтобы проверить значение правила Сарруса, возьмем любую матрицу размерности 3:

Расчет его определителя будет выполняться с использованием произведения его главных диагоналей, вычитая произведение обратных диагоналей. Это было бы следующим образом:

Правило Сарруса позволяет нам получить гораздо более простое видение при вычислении диагоналей определителя. Это можно было бы упростить, добавив первые два столбца в конец матрицы. Таким образом, для расчета произведения более ясно видно, какие диагонали являются его главными, а какие - обратными.

На этом изображении мы можем увидеть применение правила Сарруса, мы включаем строки 1 и 2 под графическим представлением исходной матрицы. Таким образом, главные диагонали - это три диагонали, которые появляются первыми.

Три обратные диагонали, в свою очередь, появляются первыми сзади.

Таким образом, диагонали выглядят более наглядно, не усложняя разрешение определителя, пытаясь определить, какие элементы матрицы принадлежат каждой диагонали.

Как показано на изображении, мы выбираем диагонали и вычисляем результирующее произведение каждой функции. Диагонали, которые отображаются синим цветом, совпадают. Из их суммы мы вычитаем значение диагоналей, выделенных красным.

Чтобы упростить сжатие, мы можем использовать числовой пример вместо использования алгебраических терминов и подтермингов.

Если взять любую матрицу 3 × 3, например:

Чтобы применить правило Сарруса и решить его более наглядно, мы должны включить строки 1 и 2 как строки 4 и 5 соответственно. Важно, чтобы ряд 1 оставался на 4-м месте, а ряд 2 - на 5-м. Поскольку, если мы их обменяем, правило Сарруса не действует.

Чтобы вычислить определитель, наша матрица будет следующей:

Для продолжения расчета умножим элементы главных диагоналей. Потомки, начинающиеся слева, будут иметь положительный знак; а обратные диагонали, начинающиеся справа, имеют отрицательный знак.

В этом примере синие будут иметь положительный знак, а красные - отрицательный. Окончательный расчет правила Сарруса будет выглядеть так:

Типы детерминант

Определитель размерности 1

Если размерность матрицы равна 1, матрица выглядит так: A = (a)

Следовательно, его определитель будет следующим: det (A) = -A- = a

Таким образом, определитель матрицы A равен модулю матрицы A, которая в данном случае является a.

Определитель размерности 2

Если перейти к матрицам размерности 2, мы получим матрицы вида:

Если его определитель определяется как:

Разрешение этого определителя основано на умножении его главной диагонали на вычитание произведения обратной диагонали.

В качестве мнемоники мы можем использовать следующую диаграмму, чтобы запомнить ее определитель:

Определитель размерности 3

Если размер матрицы равен 3, результирующая матрица будет такого типа:

Определитель этой матрицы можно было бы решить с помощью правила Сарруса следующим образом:

Ссылки

1. Дженни Олив (1998) Математика: Руководство по выживанию для студентов. Издательство Кембриджского университета.
2. Ричард Дж. Браун (2012) 30-секундная математика: 50 наиболее расширяющих разум теорий в математике. Айви Пресс Лимитед.
3. Дэйв Киркби (2004) Maths Connect. Heinemann.
4. Авол Ассен (2013) Исследование по вычислению детерминантов матрицы 3 × 3. Lap Lambert Academic Publishing.
5. Энтони Николаидес (1994) Детерминанты и матрицы. Пройти публикацию.
6. Джесси Рассел (2012) Правило Сарруса.
7. М. Кастелейро Вильяльба (2004) Введение в линейную алгебру. Редакция ESIC.