КРУГОВЫЕ ПЕРЕСТАНОВКИ: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, ПРИМЕРЫ, РЕШЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ - ДУДАС - 2025

Эти круговые перестановки различных типов группировок всех элементов множества, когда они должны быть расположены по кругу. В этом типе перестановки порядок имеет значение, и элементы не повторяются.

Например, предположим, что вы хотите узнать количество различных массивов цифр с первого по четвертый, поместив каждое число в одну из вершин ромба. Всего будет 6 аранжировок:

Не следует путать, что цифра один находится в верхнем положении ромба во всех случаях как фиксированное положение. Круговые перестановки не изменяются вращением массива. Ниже приведены единственные или одинаковые перестановки:

Демо и формулы

В примере различных 4-значных круговых массивов, расположенных в вершинах ромба, количество массивов (6) можно найти следующим образом:

1- Любая из четырех цифр берется в качестве отправной точки в любой из вершин и переходит к следующей вершине. (неважно, по часовой стрелке или против часовой стрелки)

2- Осталось 3 варианта выбора второй вершины, затем есть 2 варианта выбора третьей вершины и, конечно же, есть только один вариант выбора для четвертой вершины.

3- Таким образом, число круговых перестановок, обозначенное (4-1) P (4-1), получается как произведение вариантов выбора в каждой позиции:

(4 - 1) P (4 - 1) = 3 * 2 * 1 = 6 различных 4-значных круговых массивов.

В общем, количество циклических перестановок, которые могут быть достигнуты со всеми n элементами набора, составляет:

(N - 1) P (N - 1) = (N - 1)! = (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

Обратите внимание, что (n - 1)! Он известен как факториал n и представляет собой аббревиатуру произведения всех чисел от числа (n - 1) до числа один включительно.

Примеры

Пример 1

Сколько разных способов сесть за круглый стол 6 человек?

Вы хотите найти количество различных способов, которыми 6 человек могут сесть за круглый стол.

Кол-во способов сесть = (6 - 1) P (6 - 1) = (6 - 1)!

Количество способов сесть = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 разных способов

Пример 2

Сколько разных способов у пяти человек найти себя в вершинах пятиугольника?

Ищется количество способов, которыми 5 человек могут быть расположены в каждой из вершин пятиугольника.

Количество способов расположения = (5 - 1) P (5 - 1) = (5 - 1)!

Кол-во способов расположения = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 разных способа

Решенные упражнения

- Упражнение 1

Ювелир приобретает 12 различных драгоценных камней, чтобы поместить их в стрелки часов, которые он изготавливает от имени королевского дома европейской страны.

а) Сколько разных способов расставить камни на часах?

б) Сколько у него разных форм, если камень, показывающий 12 часов, уникален?

c) Сколько разных форм, если камень в положении «12 часов» уникален, а камни в трех других сторонах света - 3, 6 и 9 часах; Есть ли три конкретных камня, которые можно обменивать, а остальные часы распределяются по остальным камням?

Решения

a) Требуется количество способов разместить все камни по окружности часов; то есть количество круговых расположений, включающих все доступные камни.

Количество расположений на часах = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

Количество фиксов на часах = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Количество расположений на часах = 39976800 различных форм

б) Он задается вопросом, сколько существует различных способов упорядочивания, зная, что камень на 12-часовой ручке уникален и неподвижен; то есть количество круговых расположений, включающих оставшиеся 11 камней.

Количество расположений на часах = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Кол-во исправлений на часах = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Количество расположений на часах = 3 628 800 различных форм

c) Наконец, ищется количество способов упорядочить все камни, за исключением фиксированного камня на 12 часов, камней 3, 6 и 9, у которых есть 3 камня, которые нужно сопоставить друг другу; то есть 3! возможности расположения, а также количество круговых расположений, включающих оставшиеся 8 камней.

Количество фиксов в часах = 3! * = 3! * (8–1)!

Количество расположений в часах = (3 * 2 * 1) (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Количество расположений на часах = 241920 различных форм

- Упражнение 2.

Руководящий комитет компании состоит из 8 человек, которые собираются за овальным столом.

а) Сколько различных форм организации вокруг стола существует в комитете?

б) Предположим, что председатель сидит во главе стола в любом механизме комитета, сколько различных форм организации есть у остальной части комитета?

c) Предположим, что вице-президент и секретарь сидят по обе стороны от президента в любом механизме комитета. Сколько разных форм размещения есть у остальной части комитета?

Решения

а) Мы хотим найти множество различных способов расставить 12 членов комитета вокруг овального стола.

Количество договоренностей комитета = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

Количество договоренностей комитета = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Количество договоренностей комитета = 39976800 различных форм

б) Поскольку председатель комитета находится в фиксированном положении, ищется количество способов расположить оставшихся 11 членов комитета вокруг овального стола.

Количество договоренностей комитета = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Количество договоренностей комитета = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Количество договоренностей комитета = 3 628 800 различных форм

c) Президент занимает фиксированное положение, а по бокам находятся вице-президент и секретарь с двумя вариантами расположения: вице-президент справа и секретарь слева или вице-президент слева и секретарь справа. Затем вы хотите найти количество различных способов расположить оставшиеся 9 членов комитета вокруг овального стола и умножить на 2 формы договоренностей, которые есть у вице-президента и секретаря.

Количество договоренностей комитета = 2 * = 2 *

Количество договоренностей комитета = 2 * (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Количество договоренностей комитетов = 80640 различных форм

Ссылки

1. Боада, А. (2017). Использование перестановки с повторением как обучение эксперименту. Журнал Vivat Academia. Получено с сайта researchgate.net.
2. Канавос, Г. (1988). Вероятность и статистика. Приложения и методы. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. Стекло, G .; Стэнли, Дж. (1996). Статистические методы не применяются в социальных науках. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Spiegel, M .; Стивенс, Л. (2008). Статистика. Четвертое изд. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Уолпол, Р.; Майерс, Р.; Myers, S .; Е, Ка. (2007). Вероятность и статистика для инженеров и ученых. Восьмое изд. Международный Прентис Холл Pearson Education.
6. Вебстер А. (2000). Статистика применительно к бизнесу и экономике. Третье изд. McGraw-Hill / Interamericana SA
7. Wikipedia. (2019). Перестановка. Восстановлено с en.wikipedia.org.