ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УГЛЫ: КАКИЕ ОНИ, РАСЧЕТ, ПРИМЕРЫ, УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2024

Два или более углов являются дополнительными, если сумма их размеров соответствует размеру прямого угла. Мера прямого угла, также называемого плоским углом, в градусах равна 180 °, а в радианах - π.

Например, мы обнаруживаем, что три внутренних угла треугольника являются дополнительными, поскольку сумма их мер равна 180º. На рисунке 1 показаны три угла. Из вышесказанного следует, что α и β являются дополнительными, так как они смежны и их сумма составляет прямой угол.

Рисунок 1: α и β являются дополнительными. α и γ являются дополнительными. Источник: Ф. Сапата.

Также на том же рисунке у нас есть углы α и γ, которые также являются дополнительными, потому что сумма их мер равна мере плоского угла, то есть 180º. Нельзя сказать, что углы β и γ являются дополнительными, потому что, поскольку оба угла тупые, их размеры больше 90 ° и, следовательно, их сумма превышает 180 °.

Источник: lifeder.com

Вместо этого можно сказать, что мера угла β равна мере угла γ, поскольку, если β является дополнительным к α, а γ является дополнительным к α, тогда β = γ = 135º.

Примеры

В следующих примерах предлагается найти неизвестные углы, обозначенные вопросительными знаками на рисунке 2. Они варьируются от простейших примеров до более сложных, и читателю следует быть более внимательным.

Рисунок 2. Несколько проработанных примеров дополнительных углов. Источник: Ф. Сапата.

Пример А

На рисунке мы видим, что смежные углы α и 35º складываются в плоский угол. То есть α + 35º = 180º и, следовательно, верно, что: α = 180º- 35º = 145º.

Пример Б

Поскольку β является дополнительным к углу 50º, то отсюда следует, что β = 180º - 50º = 130º.

Пример C

Из рисунка 2C можно увидеть следующую сумму: γ + 90º + 15º = 180º. То есть γ является дополнительным с углом 105º = 90º + 15º. Отсюда делается вывод, что:

γ = 180º- 105º = 75º

Пример D

Поскольку X является дополнительным к 72º, отсюда следует, что X = 180º - 72º = 108º. Кроме того, Y дополняет X, поэтому Y = 180º - 108º = 72º.

И, наконец, Z дополняет 72º, поэтому Z = 180º - 72º = 108º.

Пример E

Углы δ и 2δ являются дополнительными, поэтому δ + 2δ = 180º. Это означает, что 3δ = 180º, а это, в свою очередь, позволяет нам написать: δ = 180º / 3 = 60º.

Пример F

Если мы назовем угол между 100º и 50º U, тогда U будет дополнять их обоих, потому что наблюдается, что их сумма составляет плоский угол.

Отсюда сразу следует, что U = 150º. Так как U по вершине противоположно W, то W = U = 150º.

упражнения

Ниже предлагаются три упражнения, в каждом из которых значение углов A и B должно быть найдено в градусах, чтобы выполнялись соотношения, показанные на рисунке 3. При решении всех из них используется концепция дополнительных углов.

Рисунок 3. Рисунок для решения упражнений I, II и III на дополнительных углах. Все углы указаны в градусах. Источник: Ф. Сапата.

- Упражнение I

Определите значения углов A и B из части I) рисунка 3.

Решение

A и B являются дополнительными, из чего мы получаем, что A + B = 180 градусов, тогда выражение A и B подставляется как функция от x, как показано на изображении:

(х + 15) + (5x + 45) = 180

Получено линейное уравнение первого порядка. Для ее решения термины сгруппированы ниже:

6 х + 60 = 180

Разделив оба члена на 6, мы получим:

х + 10 = 30

И, наконец, решая, следует, что x стоит 20º.

Теперь мы должны подставить значение x, чтобы найти требуемые углы. Следовательно, угол A равен: A = 20 +15 = 35º.

В свою очередь, угол B равен B = 5 * 20 + 45 = 145º.

- Упражнение II.

Найдите значения углов A и B из части II) рисунка 3.

Решение

Поскольку A и B - дополнительные углы, мы имеем A + B = 180 градусов. Подставляя выражение для A и B как функцию от x, приведенное в части II) рисунка 3, мы имеем:

(-2x + 90) + (8x - 30) = 180

Снова получается уравнение первой степени, для которого необходимо удобно сгруппировать члены:

6 х + 60 = 180

Разделив оба члена на 6, мы получим:

х + 10 = 30

Отсюда следует, что x стоит 20º.

Другими словами, угол A = -2 * 20 + 90 = 50º. При этом угол B = 8 * 20 - 30 = 130º.

- Упражнение III.

Определите значения углов A и B из части III) рисунка 3 (зеленого цвета).

Решение

Поскольку A и B - дополнительные углы, мы имеем A + B = 180 градусов. Мы должны подставить выражение для A и B как функцию от x, приведенное на рисунке 3, из которого мы имеем:

(5x - 20) + (7x + 80) = 180

12 х + 60 = 180

Разделив оба члена на 12, чтобы найти значение x, мы имеем:

х + 5 = 15

Наконец, оказывается, что x стоит 10 градусов.

Теперь переходим к замене, чтобы найти угол A: A = 5 * 10 -20 = 30º. А для угла B: B = 7 * 10 + 80 = 150º.

Дополнительные углы в двух параллелях, разрезанных секущей

Рис. 4. Углы между двумя параллелями, разрезанные секущей. Источник: Ф. Сапата.

Две параллельные прямые, пересекаемые секущей, - обычное геометрическое построение в некоторых задачах. Между такими линиями образовано 8 углов, как показано на рисунке 4.

Из этих 8 углов некоторые пары углов являются дополнительными, которые мы перечисляем ниже:

1. Внешние углы A и B, а также внешние углы G и H
2. Внутренние углы D и C, а также внутренние углы E и F
3. Внешние углы A и G, а также внешние углы B и H
4. Внутренние углы D и E, а внутренние C и F

Для полноты также называются равные между собой углы:

1. Внутренние альтернативы: D = F и C = E
2. Внешние альтернативы: A = H и B = G
3. Соответствующие: A = E и C = H
4. Противоположности по вершине A = C и E = H
5. Соответствующие: B = F и D = G
6. Противоположности вершин B = D и F = G

- Упражнение IV.

Ссылаясь на рисунок 4, на котором показаны углы между двумя параллельными линиями, пересеченными секущей, определите значение всех углов в радианах, зная, что угол A = π / 6 радиан.

Решение

A и B - дополнительные внешние углы, поэтому B = π - A = π - π / 6 = 5π / 6

А = Е = С = Н = π / 6

B = F = D = G = 5π / 6

Ссылки

1. Балдор, Дж. А. 1973. Геометрия на плоскости и в пространстве. Центральноамериканская культура.
2. Математические законы и формулы. Системы измерения углов. Получено с: ingemecanica.com.
3. Вентворт, Г. Плоская геометрия. Получено с: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Дополнительные углы. Получено с: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Конвейер. Получено с: es.wikipedia.com
6. Сапата Ф. Гониометро: история, детали, работа. Получено с: lifeder.com